小学五年级数学《因数与倍数：概念建构与思维奠基》教学设计

小学五年级数学《因数与倍数：概念建构与思维奠基》教学设计一、教材与学情分析：基于核心素养的立体化双维度解读（一）【基础】教材内容的深度剖析与逻辑重构本课“因数与倍数”是人教版五年级下册第二单元的起始课，是整个小学阶段数论知识的基石。教材编排遵循“具体情境—抽象概念—方法建构—性质发现”的认知逻辑，其深层意图在于通过整数除法这一学生已有的运算经验，引出对数的整除关系的研究。本课内容并非孤立的定义记忆，而是承上启下的核心节点：它上承整数四则运算中“整除”的隐性经验，下启后续质数、合数、最大公因数、最小公倍数等核心概念，甚至影响到六年级对分数运算（约分、通分）算理的理解。教材通过“12÷2=6”这样的典型整除算式，首次定义了“因数”与“倍数”的概念，并特别强调了研究范围——“指非0自然数”。随后，通过“找18的因数”和“找2的倍数”两个探究活动，引导学生从概念理解转向方法掌握，并最终归纳出一个数因数和倍数的基本性质（如最大因数、最小倍数等）。从知识技能图谱来看，本课重点在于建立概念的“相互依存”关系，并初步渗透“有序思考”的数学思想，为构建结构化的数论知识体系奠定坚实的基础18。（二）【难点】学情的精准研判与教学应对五年级的学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们已熟练掌握整数乘除法，具备探究新知的运算基础。然而，面对“因数与倍数”这一对抽象概念，学生的认知障碍主要体现在三个层面：其一，概念的孤立性与混淆。受以往学习经验影响，学生容易将算式中的“因数”（乘法算式的组成部分）与今天所学的“因数”（一个数的属性）相混淆，也容易孤立地说“2是因数，12是倍数”，而忽略其相互依存的关系。其二，思维的无序性与遗漏。在找一个数的因数时，学生往往凭借直觉随意寻找，导致重复或遗漏，特别是对于因数个数较多的数（如36），很难做到既不重复又不遗漏地全面列举1。其三，有限与无限的辩证理解。对于“一个数的倍数个数是无限的”这一抽象结论，学生仅靠口头归纳难以形成深刻感悟。因此，教学必须从学生的真实起点出发，通过丰富的具体实例、直观的图形表征和有序的思维框架，帮助学生跨越这些认知障碍，实现概念的深度建构8。二、教学目标设计：指向核心素养的融合性目标群（一）【重要】知识技能目标学生能结合具体情境和整除算式，准确理解因数和倍数的意义，掌握其相互依存的关系。能运用乘法或除法，有序地找出100以内某个自然数（非0）的所有因数（1除外）及10以内某个自然数的倍数。能规范、清晰地用数学语言描述（）是（）的因数，（）是（）的倍数。（二）【核心】过程方法目标学生通过观察、分类、操作（如拼长方形）、类比等数学活动，经历因数与倍数概念的建构过程，以及探究寻找因数和倍数方法的过程，初步发展抽象概括能力和逻辑推理能力。在“找因数”的活动中，体验并掌握“有序思考”、“一一对应”的数学思想方法，养成全面、缜密的思维品质。（三）【重要】情感态度与价值观目标在探究数与数之间内在联系的过程中，感受数学的严谨与美妙，激发对数论知识的初步兴趣。通过小组合作交流，培养倾听、质疑与反思的学习习惯，树立学好数学的自信心。（四）【高频考点】评价与元认知目标能够依据“有序、不重复、不遗漏”的标准，对自己和同伴找因数的结果进行评价与修正。在学习小结时，能有意识地反思“我是用什么方法找到的？”“这个方法好在哪里？”，初步实现对学习策略的自我监控与优化。三、教学重难点与突破策略（一）教学重点理解并掌握因数和倍数的概念，体会二者相互依存的关系。掌握找一个数的因数和倍数的方法。【确立依据】此重点源于概念本身在知识体系中的基础性地位，它是后续所有数论知识的逻辑起点，也是达成该模块学业质量标准的根本前提8。（二）教学难点1.深刻理解因数与倍数的“相互依存性”，不能孤立地叙述。2.学会有序、全面地找出一个数的所有因数。【难点成因】“相互依存”涉及辩证思维的萌芽，学生需打破对数的孤立认知；而“有序找因数”则需要从散点思维向系统性思维跃迁，是思维品质提升的关键一步1。（三）突破策略1.以大量“正向”与“反向”的整除算式实例，通过反复的“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”的句式训练，强化概念的关系属性。2.引入“数形结合”，通过拼摆正方形的活动（如用12个小正方形拼长方形），将抽象的因数分解直观化为长方形的“长与宽”的配对，使“有序寻找”和“成对出现”变得可视、可感，为逻辑思维提供形象支撑48。四、教学准备教师准备：多媒体课件（PPT）、12个小正方形磁力贴片、板书卡片。学生准备：每人12个相同的小正方形学具（或圆片）、学习任务单。五、教学实施过程：思维进阶的五个环节（一）唤醒经验，情境导入——在分类中孕育概念（预计5分钟）1.创设情境，呈现算式：课件出示问题：“将12名同学进行队列表演，要求每排人数相同，可以排成几排？”引导学生列出不同的乘法算式（如：1×12=12，2×6=12，3×4=12）。同时，教师出示一个非整除算式，如“12÷5=2.4”，引发认知冲突。2.任务驱动，初步分类：让学生观察黑板上的几组算式（包括整除和有余数除法的例子），尝试将其分类。学生自然会将商是整数的算式与商不是整数的算式分开。3.聚焦核心，揭示课题：【重要】教师抓住“商是整数而没有余数”这类算式，指出这在数学上称为“整除”。今天我们就专门来研究整数除法中，这种“商是整数而没有余数”的情况下，除数和被除数之间存在的特殊关系。揭示课题：因数和倍数。【设计意图】从学生熟悉的排队情境出发，既激活了已有的乘法知识，又通过分类活动，让学生直观感知“整除”是今天研究的大前提，为概念的精确建立扫清第一重障碍。（二）抽象概括，建构概念——在对话中厘清关系（预计8分钟）1.以例析理，初步建模：【基础】以算式“12÷2=6”为例，教师规范阐述概念：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说，被除数12是除数2的倍数，也是商6的倍数；除数2和商6是被除数12的因数。随即板书核心句式：12是2的倍数，12是6的倍数；2和6是12的因数。2.变式训练，强化关系：让学生尝试用规范的语言描述“2×6=12”中各个数的关系，并出示其他算式如“3×4=12”、“12÷3=4”，请同桌两人互相说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。3.关键设问，突破难点：【难点】教师出示两个算式：18÷3=6和2×9=18。提问：同样都是18，为什么在第一道算式里，18是3和6的倍数？在第二道算式里，18是2和9的倍数？而18的因数为什么一会儿是3和6，一会儿又是2和9？引导学生讨论，最终明确：不能孤立地说18是倍数，必须说清楚是谁的倍数。因数和倍数表示的是两个数之间的一种关系，是相互依存的。这就好比我们不能说小明是儿子，必须说小明是他爸爸的儿子。4.明确范围，严谨概念：【高频考点】引导学生观察黑板上的所有算式，思考是不是所有的数都能这样研究？出示1.5×4=6，提问：能说1.5是6的因数吗？为什么？引导学生理解：我们研究因数和倍数，是在整数（不包括0）范围内进行的。【设计意图】通过多角度、多层次的句式和反例辨析，将概念的三个核心要素——“整除”、“相互依存”、“非0自然数”深深地印在学生脑海中，实现概念的精致建构1。（三）操作探究，建构方法——在有序中发展思维（预计15分钟）1.活动一：动手操作，感知因数“成对出现”（1）任务驱动：【重要】教师提出任务：你能用手中的12个小正方形拼成一个长方形吗？想一想每排摆几个，摆几排？并用乘法算式把你的摆法记录下来。（2）汇报展示，数形结合：学生展示不同摆法，课件同步出示对应的长方形和算式：1×12=12，2×6=12，3×4=12。（3）【核心】引导发现：观察这些算式，它们和找12的因数有什么关系？（长方形的长和宽就是12的一对因数。）教师强调：因数总是成对出现的，找到一对，就找到了两个因数。2.活动二：方法探究，体验“有序”的价值（1）【难点】任务升级：刚才我们找到了12的因数。现在请找出18的所有因数。你能做到既不重复，又不遗漏吗？学生尝试独立寻找。（2）展示错例，暴露思维：选取几个有遗漏或重复的学生作品（如只找到1,18,2,9，漏了3,6；或写成1,2,3,6,9,18,2,9），引导学生评价：这样找怎么样？有没有好办法可以避免遗漏？（3）【高频考点】总结策略，优化方法：学生讨论交流后，教师引导总结出“有序思考”的策略。①乘法思路：从1开始，想1×（18）=18，2×（9）=18，3×（6）=18，4×？没有，5×？没有。当乘到6时，发现6×3与前面重复，就停止。②除法思路：用18除以1、2、3……看能否整除，商和除数就是一对因数。一直除到商小于除数时停止。（4）规范记录，形成技能：教师示范，用从小到大的顺序记录18的因数：1，2，3，6，9，18。并介绍集合图的表示方法。强调这样一对一对地找，从1开始按顺序找，就能做到“不重复，不遗漏”。3.活动三：自主迁移，探索“倍数”的无限（1）【基础】任务驱动：我们已经会找一个数的因数了，那怎么找一个数的倍数呢？你能找出2的倍数吗？试试看。（2）汇报展示，引发冲突：学生汇报（2,4,6,8……），教师追问：能找完吗？为什么用省略号？引导学生得出：2的倍数有2×1=2,2×2=4,2×3=6……永远也找不完，所以要用省略号。（3）总结方法：找一个数的倍数，可以用这个数分别乘1、乘2、乘3……这样有序地找。一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数，倍数的个数是无限的。【设计意图】此环节是本课的重中之重。通过“拼摆”让抽象的因数概念“落地”，通过错例辨析让无序思维“显形”，通过策略总结让有序思考“扎根”。学生经历了从直观到抽象、从无序到有序的完整思维过程，不仅掌握了方法，更提升了思维品质48。（四）分层练习，巩固内化——在游戏中感悟性质（预计10分钟）1.基础练习，人人过关：【基础】完成学习任务单上的“找一找”。找出24的因数和5的倍数。同桌互相检查，重点评价是否有序、完整。2.游戏激趣，发现规律：【热点】组织“猜猜我是谁”的游戏。（1）第一轮：我的学号是9。请学号是9的因数的同学起立。请学号是9的倍数的同学起立。（发现9号同学两次都起立）（2）第二轮：请学号是30的因数的同学起立。请学号是30的倍数的同学起立。（引导学生观察、计数）（3）【重要】交流感悟：通过刚才的游戏，你对一个数的因数和倍数有什么新的发现？引导学生归纳总结：①一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。②一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。③一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。（4）第三轮（提升）：请学号是1的倍数的同学起立。（全班起立，深刻感悟“1是任何一个非0自然数的因数，任何一个非0自然数都是1的倍数”）3.辨析练习，深化理解：【高频考点】判断下列说法是否正确，并说明理由。（1）8是倍数，4是因数。（）（2）因为2.1÷0.3=7，所以2.1是0.3的倍数。（）（3）36÷5=7.2，所以36是5的倍数。（）（4）一个数的因数一定比它的倍数小。（）【设计意图】通过游戏化练习，将枯燥的规律发现变为有趣的探究活动，学生在轻松的互动中自然归纳出因数和倍数的深层性质。判断题的设计直指概念易错点，进一步巩固了概念的外延与内涵17。（五）课堂总结，拓展延伸——在反思中架构网络（预计2分钟）1.全课小结，梳理收获：今天我们研究了什么？我们是怎样研究的？你学会了哪些找因数、倍数的方法？你有什么特别深的体会？（引导学生从知识、方法、情感三个维度回顾）2.沟通联系，展望新知：【重要】今天我们认识了因数和倍数这对好朋友。就像玩游戏一样，我们现在只认识了两个“人物”，后面我们还要认识更多“人物”，比如“质数”和“合数”，还有“公因数”和“最大公因数”。因数与倍数的知识就像一颗种子，将会生长出一片茂密的数学森林。3.拓展问题，引发思考：猜一猜，你认为一个数的因数可能有什么奇妙的性质？关于倍数，你还想研究什么？【设计意图】总结不仅要回顾知识，更要梳理学习方法，让学生成为会学习的人。同时，将本课内容置于更宏大的知识背景中，激发学生对后续学习的期待，实现“课虽止，思未止”的效果7。六、板书设计：思维可视化的核心场域（黑板左侧）（黑板中部）（黑板右侧）【概念区】【探究区】【性质区】12÷2=618的因数因数的性质在整数除法中，商是整数1,2,3,6,9,18最小因数是1而没有余数。（集合图表示）最大因数是它本身2和6是12的因数。方法：有序思考！个数是有限的。12是2和6的倍数。1×18=18因数与倍数是相互依存的。2×9=18倍数的性质（非0自然数）3×6=18最小倍数是它本身没有最大的倍数。2的倍数：个数是无限的。2,4,6,8,……方法：用这个数×1,×2,×3……七、作业设计：基础与拓展的有机统一（一）【基础】必做题1.课本练习题：完成练习二第1、2、3、5题。要求写出找的过程，体现有序思考。2.对口令游戏：和家长一起玩“因数倍数对口令”游戏，一人说一个数，另一人快速说出它的一个因数或一个倍数，并完整表述关系。（二）【难点】挑战题1.“完美数”初探：完全数（Perfectnumber），又称