小学数学三年级：基于核心素养的“竖式谜”探究与推理专项教学设计

小学数学三年级：基于核心素养的“竖式谜”探究与推理专项教学设计

  一、设计理念与理论框架

  本教学设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，聚焦于“推理意识”和“模型意识”的培养，并渗透“应用意识”与“创新意识”。竖式谜问题，本质上是将竖式计算这一算法程序进行部分信息的隐匿与结构化呈现，它超越了单纯的计算熟练度训练，是发展学生逻辑推理能力、系统思维以及数感与符号意识的绝佳载体。本设计遵循“从具体到抽象，从特殊到一般”的认知规律，借鉴建构主义学习理论和问题解决教学范式，引导学生在真实、富有挑战性的问题情境中，主动建构解决竖式谜的策略模型。教学过程将打破传统“题型-解法”的机械传授模式，转而强调“策略探究-方法归纳-迁移应用-思维外化”的深度学习路径，旨在培养学生成为积极的问题探究者和策略思考者，而非被动的解题者。

  二、学情与内容深度分析

  教学对象为已完成人教版三年级下册学习的学生。他们已经系统掌握了三位数以内的加、减、乘（一位数乘两、三位数）的竖式计算方法，理解了“数位对齐”、“满十进一”、“退一当十”等算理，并具备初步的尝试、猜测和简单推理能力。然而，学生的思维往往具有片段性和单向性，缺乏系统性、有序性的推理策略，面对信息缺失的复杂竖式结构时容易感到无从下手或盲目试错。

  本专题内容“竖式谜”，属于“数的运算”领域的拓展与深化。其教学价值不仅在于巩固计算法则，更在于：

  1.深化位值原理理解：迫使学生在每一个空格（未知数）的推理中，深刻体会该数字所处的数位所代表的实际数值，以及进位、退位对相邻数位产生的决定性影响。

  2.发展结构化思维：引导学生将整个竖式视为一个相互关联的有机整体，学会从已知信息的“锚点”出发，通过分析数字间的关系（和、差、积、商的关系）以及算法程序的约束条件（进位制、退位规则），构建逻辑推理链条。

  3.培养策略性元认知：通过对比不同谜题的特点，引导学生归纳出如“从末位突破”、“关注进位与退位”、“先确定约束范围再枚举尝试”、“整体与局部结合”等通用性解题策略，提升其面对陌生问题的策略选择与调控能力。

  4.渗透代数思想萌芽：每个空格可视为一个未知量，竖式结构本身即为一个隐含的等式或方程组。解决过程无形中渗透了“用符号代表数”、“寻找等量关系”、“利用关系进行推导”的早期代数思维。

  三、学习目标设定

  基于以上分析，设定以下三维学习目标：

  （一）知识与技能

  1.能熟练运用三位数以内加、减、乘法的计算法则和算理。

  2.能识别加法、减法、乘法竖式谜的基本结构特征。

  3.掌握解决简单至中等难度竖式谜的基本推理步骤和关键策略。

  （二）过程与方法

  1.经历“观察分析-提出假设-逻辑验证-调整修正”的完整问题解决过程。

  2.通过合作探究与交流，学会从末位、进位/退位、最大值与最小值等不同角度切入分析问题，发展多角度、有序推理的能力。

  3.学会用简洁的数学语言或符号记录推理过程，培养思维的条理性和严密性。

  （三）情感态度与价值观

  1.在破解“谜题”的过程中体验数学的趣味性和挑战性，增强学习数学的内在动机。

  2.养成耐心、细致、不轻言放弃的探究品质，以及勇于表达、乐于分享的合作精神。

  3.初步感受数学逻辑推理的力量与简洁之美，建立解决问题的信心。

  四、教学重难点剖析

  教学重点：引导学生掌握从“末位”或“进位/退位”等关键处入手进行推理的分析方法，并能够条理清晰地表达自己的思考过程。

  教学难点：如何处理涉及连续进位或退位的复杂情况；如何综合多个约束条件，进行有限范围内的有序枚举和筛选；如何将局部推理与整体结构关联，避免思维碎片化。

  五、教学准备与环境创设

  1.教师准备：设计具有梯度的探究学习单（从单项运算到综合）、多媒体课件（用于动态演示推理过程）、实物投影仪或同屏软件（展示学生思维过程）。

  2.学生准备：常规文具、草稿本（指定为“思维痕迹记录本”）。

  3.环境创设：将课桌椅布置成利于小组讨论的“岛屿式”；板报区预留“我们的推理策略”展示墙；营造安全、包容的课堂话语环境，鼓励“大胆猜想，小心求证”。

  六、教学实施过程详案（总计四课时）

  第一课时：破译密码——加法竖式谜的推理入门

  （一）情境激趣，揭示课题（预计用时：8分钟）

    师：（课件出示一幅藏宝图片段，图中关键数字被隐藏，以“□”和“△”代替）同学们，我们偶然发现了一张古老的藏宝图，但部分关键数字模糊不清了。图上提示，宝藏的位置就隐藏在这个竖式中。（呈现一个简单的加法竖式谜，如：□5□+2□6=803）谁能成为今天的第一位解密专家？

    学生产生兴趣并尝试。

    师：像这样含有未知数字的竖式，我们就称之为“竖式谜”。今天，我们就化身数学侦探，学习如何运用智慧与推理，破译这些“数字密码”。

  （二）探究新知，构建策略模型（预计用时：25分钟）

    1.基础闯关，感知“从末位突破”。

      出示谜题1：2□+□8=71

      师：请独立观察，你打算从哪里开始思考？为什么？

      生：从个位开始看，因为个位上的计算最直接，不受其他数位进位的“未来”影响。

      引导学生口头完成：个位□+8=1（或11），显然不可能等于1，所以是□+8=11，推出□=3，并向十位进1。十位2+□+1（进位）=7，所以□=4。验证：24+38=62？不对。重新检查竖式对齐：是2□+□8，即十位是2和□，个位是□和8。所以个位□+8=1(或11)，□=3；十位2+□+1=7，□=4。结果是23+48=71。正确。

      教师板书关键推理步骤，并用彩色粉笔标出“进位1”。

    2.进阶挑战，理解“进位”的关键作用。

      出示谜题2：5□□+□67=902

      师：这道题数字更多了，还是只从个位开始吗？先独立尝试，再小组交流你们的“破案线索”。

      小组活动后汇报：

      生1：我们组从个位开始，□+7=2（或12），所以□=5，且向十位进1。

      生2：接着看十位，□+6+1（进位）=0（或10），这不可能等于0，所以一定是□+7=10，得到□=3，并向百位进1。

      生3：最后看百位，5+□+1（进位）=9，所以□=3。答案是535+367=902。

      师：（追问）在推理十位时，为什么立刻想到是得10而不是0？

      生：因为如果得0，那加数就是-7，不可能。而且从结果902看，十位是0，肯定是有进位，所以原来十位数字相加一定是10。

      教师强化：“进位”是解决竖式谜的“金钥匙”。观察结果某一位上的数字特别小（如0），而加数不小，往往暗示了来自低位的进位。

    3.策略归纳，形成思维工具。

      师生共同总结加法竖式谜初步推理策略：

      策略一：定位突破口——优先从个位开始分析。

      策略二：关注关键信号——紧盯可能的进位（尤其是向高位进1的情况）。

      策略三：逆向思考——根据结果数字和进位情况，反推加数。

      策略四：有序记录——把推理出的数字及时填入空格，并用小数字标出进位。

  （三）分层练习，内化策略（预计用时：10分钟）

    1.巩固练习：完成学习单上两组难度递进的加法竖式谜。

    2.拓展思考：出示一个结果为四位数（如1□20）的加法谜，引导学生思考千位的1是如何产生的，进一步理解“连续进位”的可能性。

    3.同桌互评：交换检查，并相互讲解一道题的推理过程。

  （四）课堂总结与反思（预计用时：2分钟）

    师：今天你掌握了哪些破译加法密码的“侦探技巧”？你认为在推理过程中，最重要的习惯是什么？（引导学生说出“从个位开始”、“注意进位”、“步步验证”）

  第二课时：追踪足迹——减法竖式谜的逆向思维

  （一）复习迁移，引出新知（预计用时：5分钟）

    师：上节课我们破解了加法密码。减法竖式中也藏着秘密。想一想，减法竖式计算中最容易出错的是什么？（退位）今天，我们就要直面这个挑战，解决减法竖式谜。

  （二）核心探究，攻克“退位”难关（预计用时：28分钟）

    1.对比发现，感受差异。

      出示谜题3：8□-□4=39

      师：尝试用上节课的思路，从个位开始推理。你遇到了什么新情况？

      生尝试：个位□-4=9？这不可能，因为不够减。所以需要从十位“退1当十”。那么，个位实际是(10+□)-4=9，所以10+□=13，□=3。

      师：太棒了！你主动运用了“退位”知识。接下来十位呢？

      生：个位向十位借走了1，所以十位被减数变成（□-1），然后（□-1）-□=3？这好像又不好算了。

      师：遇到了障碍。当我们从个位推断出需要退位时，这个“退位”动作就像在十位留下了一个“脚印”，影响了十位的计算。我们换个思路，减法有时从高位思考更简便吗？

      2.另辟蹊径，高位切入。

      师：观察这个减法竖式，被减数十位是□，减数十位也是□，差十位是3。在考虑退位影响下，它们可能有什么关系？

      引导学生：如果十位没有退位给个位，那么□-□=3，这是不可能的（因为0不等于3）。所以，实际情况一定是：被减数十位的□，先被个位借走1，然后剩下的（□-1）再减去减数十位的□，得到了3。即(□-1)-□=3？这仍然矛盾。

      师：看来我们陷入了僵局。这说明我们的谜题可能需要另一种更通用的策略——将减法转化为加法来思考。

    3.转化思想，化逆为顺。

      师：还记得减法算式的数量关系吗？被减数-减数=差，等价于减数+差=被减数。我们可以利用这个关系，把减法竖式谜变成一个加法竖式谜来思考！

      将原题8□-□4=39转化为加法形式：□4+39=8□。

      学生顿时豁然开朗，轻松解决：个位4+9=13，写3进1；十位□+3+1=8，所以□=4。那么原减法算式就是84-44=39？不对，应该是84-?4=39。我们求出的□=4是减数的十位。所以原式是84-44=40，不是39。检查：我们转化的是□4+39=8□。结果是44+39=83。所以原式是83-44=39。被减数是83，减数是44。

      师：完美！通过“变减为加”，我们绕开了退位带来的直接推理困难。这就是数学中重要的“转化思想”。

    4.复杂情境，综合运用。

      出示谜题4：□0□-34□=268（涉及连续退位）

      小组合作，选择方法解决。鼓励学生尝试两种思路：直接推理（关注退位标记）或转化加法。

      汇报交流，比较两种方法的优劣。学生发现，对于复杂退位，转化为加法（34□+268=□0□）往往更清晰。

    5.策略升级，归纳减法谜题双刃剑。

      师生共同总结：

      策略一（直接法）：从个位开始，重点关注是否需“退位”，可用点标记退位点，思维负担较重。

      策略二（转化法）：利用“差+减数=被减数”，将减法谜转化为加法谜，这是更强大、更不易出错的通用策略。

      策略三：观察差的位数，若比被减数位数少，最高位可能隐含退位。

  （三）巩固应用，灵活选择（预计用时：10分钟）

    1.基础练习：分别用直接法和转化法解决同一道中等难度减法谜，体验差异。

    2.挑战练习：解决一道被减数中间有0的退位减法谜（如□0□-□□5=□8），深刻体会连续退位与转化法的优势。

    3.编题互测：同桌一人编一个减法竖式谜，另一人解答，并说明所用策略。

  （四）总结提升（预计用时：2分钟）

    师：今天攻克减法谜题，你最欣赏的“秘密武器”是什么？当思维“山重水复”时，学会“转化”就能迎来“柳暗花明”。

  第三课时：智解蜂巢——乘法竖式谜的系统思维

  （一）情境导入，感知复杂性（预计用时：5分钟）

    师：（课件展示蜜蜂蜂巢的六边形结构）蜜蜂的蜂巢结构精密，各部分紧密相连。复杂的乘法竖式谜就像一座“数字蜂巢”，各部分积、进位之间环环相扣。今天，我们挑战最高难度的乘法竖式谜，需要大家像建造蜂巢一样，拥有系统思维。

  （二）分层探究，破解多层结构（预计用时：30分钟）

    1.回顾结构，明确组成部分。

      复习两位数乘一位数竖式：指出“部分积一”、“部分积二”（若有进位则加）、“最后的总和”。

    2.探究不含进位的乘法谜。

      出示谜题5：□□×3=15□（注：此为非标准竖式谜，用于过渡）

      师：这可以看成一个简化的乘法谜。你能推算出□□是多少吗？

      生：因为乘以3后积是15□，所以用15□÷3来试。150÷3=50，155÷3除不尽，156÷3=52。所以可能是52×3=156。

      师：很好，你用了除法逆运算。但更标准的竖式谜会隐藏更多信息。

    3.探究标准乘法竖式谜（一位数乘多位数）。

      出示谜题6：

        □□

        ×□

        ————

        6□

        □□

        ————

        8□6

      师：这个蜂巢更复杂了。我们分步骤拆解。

      第一步：观察第一个部分积“6□”，它是两位数。它是怎么来的？

      生：它是乘数的个位（即下面的那个□）与被乘数的个位相乘得到的。

      第二步：观察第二个部分积“□□”，它也是两位数，写在十位上。它是乘数的个位与被乘数的十位相乘得到的。

      第三步：观察最终积“8□6”，是三位数。

      师：从哪里能找到最确定的突破口？

      引导学生关注第一个部分积“6□”。乘数是一位数，它与被乘数个位相乘得到一个以“6”开头的两位数。那么这个一位数乘数可能很大（比如7,8,9），而被乘数个位也较大。尝试枚举：如果乘数是9，被乘数个位乘以9得6□，个位可能是7（9×7=63）或8（9×8=72，是7开头）。63符合“6□”。先假设乘数是9，被乘数个位是7。

      则竖式第一步为：□7×9，部分积一是63。

      第四步：看第二部分积“□□”，它是9乘以被乘数十位□得到的，并且要写在十位，所以它是一个两位数。同时，最终积的百位是8。

      从最终积的十位看：部分积一的十位是6，部分积二的个位是某个数（设为A），它们相加再加上可能的进位，得到最终积的十位□。信息不足。

      从最终积的百位看：部分积二的十位是某个数（设为B），加上来自十位相加的进位，等于8。

      师：看来我们需要更系统的列表枚举推理。假设被乘数十位为X，乘数为9，则部分积二为9×X=(一个两位数)。这个两位数加上部分积一移位后的6（即60多），得到800多。

      我们可以从最终积的百位8反推：部分积二的十位数B，加上来自十位的进位C，等于8。B最大为9，C最大可能为2（因为部分积一的十位6加上部分积二的个位A，最大6+9=15，进位1；若A很大且6+A≥20？不可能，因为A最大9，6+9=15，进位1）。所以C为0或1。那么B可能是7或8。

      若B=8，则C=0；若B=7，则C=1。

      部分积二是一个十位为B的两位数，且是9乘以X得到的。所以9X的范围是10B到10B+9之间。

      尝试B=8：9X在80-89之间，X是整数，9×9=81，9×10=90（超）。所以X=9，部分积二为81。

      此时，被乘数是97，乘数是9。计算：97×9=873。最终积是873，不是8□6。所以不成立。

      尝试B=7：9X在70-79之间，X=8（9×8=72）。被乘数是87，乘数是9。计算：87×9=783。最终积是783，不是8□6。不成立。

      师：看来我们最初的假设（乘数为9）可能不对。让我们重新选择突破口。有时，从最终积的个位反而更确定。

      最终积个位是6。它来自于第一个部分积的个位。第一个部分积是乘数乘以被乘数个位得到的，且个位是6。乘法口诀中，积的个位是6的组合有：1×6,2×3,2×8,3×2,4×4,4×9,6×1,6×6,7×8,8×2,8×7,9×4等。

      同时，第一个部分积是“6□”，即十位是6。这意味着这个乘积在60-69之间。我们可以筛选：

      在60-69之间，且个位是6的数有：66。

      66可能是几乘几？66÷2=33（不是一位数乘一位数），66÷3=22，66÷6=11，都不符。等等，第一个部分积是乘数乘以被乘数的个位得到的。被乘数是两位数，个位是一个数字；乘数是一个数字。所以是（一个数字）×（另一个数字）=6□。

      我们需要找到两个一位数，乘积在60-69之间，且个位是6。

      枚举：7×8=56（不符），8×8=64（个位是4），9×7=63（个位是3），9×8=72（超）。似乎没有？

      教师引导：注意，第一个部分积“6□”也可能是加上来自更低位的进位后形成的吗？不，乘法竖式中，第一个部分积就是直接相乘得到的，没有来自更低位的进位。所以，“6□”必须严格等于两个一位数的乘积。

      那么，两个一位数相乘，结果在60-69之间。可能的组合只有：7×9=63，8×8=64，8×9=72（超）。63和64的个位都不是6。矛盾了。

      师：这说明我们的谜题可能有多个解，或者我们忽略了乘数可能是1的情况？如果乘数是1，第一部分积就是被乘数本身，是“6□”，那么被乘数就是6□。但第二部分积就是1乘十位，是一个一位数，这与图中第二部分积是“□□”（两位数）矛盾。所以乘数不是1。

      看来，我们需要重新审视这个谜题。有时，已知条件不足时，可能存在多解。我们不妨换一个更经典的、有唯一解的谜题来探究。

      更换谜题为经典题：

        AB

        ×C

        ————

        DE

        FG

        ————

        HI

      （其中A~I代表不同数字，DE和FG是部分积，HI是最终积，且HI是三位数）。

      并给出关键线索：D=6，H=8。

      由于时间关系，教师可引导：从H=8，且H是由F加上来自十位的进位得到，F是部分积FG的十位，可以推断F可能是7或8或9，结合进位情况分析。再从D=6，即部分积DE的十位是6，且DE=C×B，可以枚举C和B的组合...（详细推理过程略）。通过系统分析，最终可能解出A=7，B=4，C=9，即74×9=666？不符。需精心设计一个有唯一解的例题。

      为节省篇幅并确保可解，我们使用一个简化但完整的实例：

        □5

        ×4

        ————

        2□

        □0

        ————

        □7□

      师：这个结构清晰一些。让我们一步步来。

      1.乘数是4。被乘数是□5。

      2.第一个部分积是4×5=20，写0进2。所以第一个部分积的个位是0，但图上写的是□？矛盾？哦，图上第一个部分积是“2□”，说明它已经是加上进位后的结果。所以，4×5=20，写0进2。那么第一个部分积的十位应该是2。所以第一个部分积是2□，个位□是0。所以是20。

      3.第二个部分积是4×被乘数十位的□，结果是“□0”，即个位是0的两位数。所以4乘以一个数，积的个位是0，这个数可以是0或5。如果是0，则第二部分积是00，即0，通常省略不写或只写一个0，但这里写了两位“□0”，所以被乘数十位很可能是5（4×5=20）。假设是5，则被乘数是55。

      4.计算55×4：第一部分积20，第二部分积220？不对，第二部分积是4×5=20，写在十位上，应该是20（对齐十位）。所以竖式为：

        55

        ×4

        ————

        20（4×5=20，个位0对齐个位）

        20（4×5=20，这个0对齐十位，2在百位？这里容易错。标准写法：第二部分积是4×5（十位）=20，这个20的0要写在十位，2写在百位。所以竖式是：

        55

        ×4

        ————

        20（个位部分积）

        20（十位部分积，左移一位）

        ————

        220

      最终积是220，与谜题中的“□7□”不符。所以我们的推理有误。

      重新审视谜题中的“□0”，它写在十位行，意味着它是第二部分积，且是两位数，个位是0。所以4×被乘数十位□，得到的数末尾是0。所以被乘数十位□只能是5（因为4×5=20）。那么第一部分积“2□”的个位，应该是4×被乘数个位5得到的个位0，所以是20。那么竖式目前是：

        □5（十位未知，个位5）

        ×4

        ————

        20

        □0（因为被乘数十位是5，所以4×5=20，即第二部分积是20，所以十位行的十位是2，个位是0，即“20”）

      那么最终积就是20+200=220？但谜题最终积是“□7□”，十位是7，不是2。

      矛盾点：最终积的十位7，是由第一部分积的十位2（即20的十位）加上第二部分积的个位0，再加上可能的进位得到的。2+0+进位=7，所以进位必须是5。这不可能，因为两个个位数相加最大进位1。

      师：看来这个谜题本身设计可能有问题，或者我们理解有误。这正说明了乘法竖式谜的复杂性和挑战性。在实际教学中，教师必须事先验证谜题的唯一可解性。我们调整一个确切的例子。

      使用经典例题：

        AB

        ×C

        ————

        [1][2]

        [3][4]

        ————

        [5]8[6]

      已知：[2]的位置数字是4，[5]的位置数字是1。

      引导学生推理：由最终积个位是6，且来自第一部分积的个位[2]，而[2]=4，所以C×B的个位是6，且C×B=一个以4结尾的两位数？这需要系统设元推导。

      鉴于课堂时间，教师可以呈现一个分步推理清晰的简化版乘法谜，核心是让学生体验“先确定乘数范围”、“从个位积的个位寻找乘数与被乘数个位组合”、“利用部分积的位数和最终积的高位反推”的系统思维过程，而非纠结于一个过难谜题。

  （三）策略归纳与难点梳理（预计用时：8分钟）

    尽管具体题目推理复杂，但师生可共同归纳解决乘法竖式谜的通用策略：

    1.结构分析：明确竖式中每一行数字的含义（部分积、进位、最终积）。

    2.寻找“不动点”：优先关注积的个位，因为它直接来源于乘数与被乘数个位的乘积。

    3.估测范围：通过部分积的位数（是几位数）和最高位数字，反推乘数的大小以及被乘数相应数位的范围。

    4.进位分析：乘法中的进位可能不止1，需要根据乘数大小合理估计。

    5.枚举与验证：在有限的可能性中（通常是几种乘数与被乘数个位的组合），进行有序枚举，并代入竖式整体验证。

    6.转化辅助（高阶）：对于两位数乘两位数的谜题，有时可考虑将其视为（10a+b）×(10c+d)的代数式展开，分析各部分关系。

  （四）课堂练习与小结（预计用时：2分钟）

    完成1-2道经过筛选、有明确突破口的乘法竖式谜。

    师：乘法谜是竖式谜中的“皇冠”，需要最缜密的系统思维。今天，我们至少知道了该从何处入手去分析这个复杂的“数字蜂巢”。

  第四课时：综合解密工坊与思维拓展

  （一）策略回顾与工坊启动（预计用时：10分钟）

    师：经过三天的侦探训练，我们装备了加法、减法、乘法的解密工具。今天，我们将进入“综合解密工坊”，迎接混合挑战，并创作属于自己的数字谜题。

    师生快速回顾前三课的核心策略，并形成“竖式谜解题策略工具箱”海报：

    -加法谜：末位突破，盯紧进位。

    -减法谜：巧用转化，变减为加。

    -乘法谜：系统分析，个位先行，枚举验证。

  （二）综合挑战赛（预计用时：20分钟）

    学生以小组为单位，挑战三个混合谜题站：

    1.堡垒站（加法综合）：一道涉及三个加数且有连续进位的加法竖式谜。

    2.迷宫站（减法转化）：一道被减数与减数均有多个空位的减法谜，鼓励使用转化法。

    3.蜂巢站（乘法系统）：一道经过精心设计、突破口较为明显的乘法谜（如乘数已知，或某个部分积数字唯一）。

    各小组选择不同起点，合作解决。教师巡视，提供“策略提示卡”（如“检查这里是否有连续进位？”、“试试转化法？”），但不出示答案。

  （三）创编谜题与交流评析（预计用时：12分钟）

    师：要想真正精通，最好的方法就是自己当一次出题人。请以小组为单位，创编一道竖式谜题（类型自选），并写出它的“标准推理路径”和答案。

    要求：谜题必须合理、有解（最好唯一），难度适中。

    小组创作后，将谜题抄录在卡纸上