初中数学六年级上册“有理数的除法”教案

初中数学六年级上册“有理数的除法”教案

一、教学内容分析

本课隶属“数与代数”领域，是鲁教版（五四制）六年级上册“有理数及其运算”单元的核心节点。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》的宏观视角审视，本课知识是小学整数、分数除法运算在数系扩充到有理数范围后的自然延伸与发展。其教学坐标精准定位于：深化对运算意义与算理的理解，掌握基本的运算技能，并初步感悟数学中的转化与化归思想。在单元知识链中，它上承“有理数的乘法”的运算律及倒数概念，下启乘除混合运算乃至后续的乘方、四则混合运算，是构建有理数完整运算体系不可或缺的关键一环。课标不仅要求学生会进行准确的计算（技能层面），更强调在理解除法转化为乘法的算理基础上，发展学生的运算能力和推理意识（素养层面）。这要求教学不能停留于法则的机械记忆，而需设计有效的探究活动，让学生在“为何可以这样转化”以及“如何确定符号与绝对值”的思辨中，完成知识的主动建构，体会数学的内在统一性与逻辑美。

基于“以学定教”原则，进行学情研判。学生已熟练掌握有理数的乘法法则，理解了倒数的概念，并具备了运用数轴进行直观辅助的初步经验。这些是建构新知的坚实基础。然而，从乘法到除法的认知迁移，尤其是对“除以一个数等于乘这个数的倒数”这一核心法则的逻辑必然性理解，可能成为潜在的思维难点。部分学生易陷入单纯记忆符号法则“同号得正，异号得负”的定势，而忽略了对运算本身意义的回溯。另一常见障碍是，在涉及分数或小数，特别是带分数、负小数的除法时，计算的准确性和规范性易出现问题。因此，教学对策在于：首先，通过创设对比性情境，引发认知冲突，激发探究“为什么”的内驱力；其次，搭建从具体数值计算到抽象法则归纳的“脚手架”，引导学生多角度验证、说理，亲历法则的生成过程，化解理解难点；最后，设计分层、变式的练习与及时的动态评价（如观察小组讨论中的观点交锋、分析随堂练习中的典型错误），精准把握不同层次学生的理解程度，并提供差异化的指导与支持，确保所有学生都能在原有基础上获得实质性发展。

二、教学目标

知识目标：学生通过探究与推理，能够完整表述有理数的除法法则，理解“除法转化为乘法”的算理依据；能准确、熟练地进行两个有理数的除法运算，并解决简单的实际问题，建构起乘、除法运算之间互为逆运算的认知联系。

能力目标：在从具体实例归纳一般法则的过程中，发展学生的归纳概括能力和数学语言表达能力；在解决除法运算问题的变式练习中，提升运算的准确性、灵活性及有条理的推理能力。

情感态度与价值观目标：通过探究活动，激发学生对数学内在逻辑的好奇心与求知欲，在小组合作与交流中培养严谨求实的科学态度和乐于分享、倾听他人见解的合作精神。

科学（学科）思维目标：重点渗透转化与化归的数学思想，引导学生将未学习的有理数除法问题转化为已掌握的有理数乘法问题，体验化未知为已知的思维路径，发展逻辑推理能力。

评价与元认知目标：引导学生通过设计并运用简单的自我检查清单（如“符号判对了吗？”“倒数找对了吗？”“绝对值算对了吗？”），初步形成对运算过程进行监控与反思的习惯，提升学习的元认知水平。

三、教学重点与难点

教学重点：有理数的除法法则及其应用。确立依据在于，该法则是进行所有有理数除法运算的基石，其理解深度直接影响后续混合运算的掌握以及整个有理数运算体系的完备性。从课标要求看，它直接关联“运算能力”这一核心素养；从学业评价看，它是各类考查中基础且高频的考点。

教学难点：理解除法可以转化为乘法的算理，并自主归纳出完整的除法法则。难点成因在于，此过程需要学生克服从具体数字运算到抽象符号概括的认知跨度，并理解“倒数”在转化中的桥梁作用，而非简单记忆操作步骤。预设突破方向是：设计层层递进的探究任务，从特殊数值计算入手，引导观察、比较、猜想，再通过一般化的推理（如利用“除法是乘法的逆运算”这一本质）进行验证，从而让法则的生成水到渠成。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式多媒体课件（含探究情境、引导性问题、例题与变式练习）、实物投影仪。

1.2学习材料：设计并印制分层“探究学习任务单”（内含引导性问题、计算表格、归纳空格）和“当堂巩固训练卷”。

2.学生准备

2.1知识回顾：熟练掌握有理数乘法法则及倒数的概念。

2.2学具：草稿纸、笔。

3.环境布置

3.1座位安排：便于开展四人小组合作讨论的布局。

3.2板书记划：预留核心法则推导过程与范例的板书空间。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境激疑，提出问题：

1.2.教师呈现生活化问题：“气象记录显示，某地从中午12点到夜间12点，气温总共下降了12℃。如果气温是均匀下降的，请问平均每小时下降多少℃？”

2.3.（口语化互动）“请大家快速列式。我听到有同学说‘12÷12’，结果是1℃/小时。很好！那如果我们把问题稍微变一下：从中午12点到夜间12点，气温总共下降了-12℃（这里的‘下降-12℃’意味着什么？对，意味着实际上升了12℃），还是均匀变化，平均每小时变化多少℃？”

3.4.引导学生列出算式：(-12)÷12

。提问：“这个算式的结果应该是多少？它的实际意义又是什么？”制造认知冲突，引出课题：“今天，我们就一起来揭开‘有理数的除法’运算的奥秘。”

1.1唤醒旧知，明确路径：

4.5.快速提问回顾：“我们学过的有理数乘法法则是？什么是倒数？”并明确告知学生：“解决这个新问题的钥匙，可能就藏在乘法和倒数里。本节课，我们将通过几个小任务，像数学家一样，自己去发现有理数除法的运算规律。”

第二、新授环节

本环节以“支架式教学”理念为核心，设计环环相扣的探究任务，引导学生主动建构知识。

任务一：从“逆运算”关系入手，初步感知

教师活动：

首先，引导学生回顾小学知识：“已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数，用什么运算？”明确除法是乘法的逆运算。接着，出示一组填空题：

(1)因为3×4=12，所以12÷4=___。

(2)因为(-3)×4=-12，所以(-12)÷4=___。

(3)因为(-3)×(-4)=12，所以12÷(-4)=___。

(4)因为3×(-4)=-12，所以(-12)÷(-4)=___。

（口语化引导）“请大家仔细观察每一组算式，被除数、除数、商，和已知的乘法算式中的积、因数之间有什么关系？商的符号和绝对值又是如何确定的？”

学生活动：

独立完成填空，并观察、思考教师提出的问题。在小组内交流自己的发现，尝试用语言描述每组算式中各部分的关系及符号、绝对值的确定方法。

即时评价标准：

1.能否准确运用“逆运算”关系完成填空。

2.在小组讨论中，能否清晰地表达自己的观察发现（如“商等于积除以另一个因数”）。

3.能否初步关注到符号的变化规律（如“负数除以正数得负”等）。

形成知识、思维、方法清单：

★除法是乘法的逆运算：这是推导除法法则的根本逻辑起点。在已知积和一个因数求另一个因数时，除法是乘法的逆向过程。

▲具体到特殊的感知：通过四组具体数字的计算，学生能直观感受到有理数除法结果的符号和绝对值与乘法之间存在密切联系，为一般化归纳积累素材。

（教学提示）此任务旨在建立新旧知识间的实质性联系，降低认知起点，让学生“有据可依”地进行探究。

任务二：聚焦“倒数”桥梁，提出猜想

教师活动：

承接任务一，提出关键引导性问题：“大家看，(-12)÷4=-3。我们有没有别的办法得到-3这个结果？回想一下，(-12)乘以哪个数也等于-3？”引导学生发现(-12)×(1/4)=-3

。同理，分析其他几个填空：12÷(-4)=-3与12×(-1/4)=-3的关系。（口语化启发）“神奇的事情发生了！‘除以4’好像和‘乘以4的倒数’结果一样；‘除以(-4)’和‘乘以(-4)的倒数’结果也一样。这是一个巧合，还是一个普遍规律呢？请大家大胆提出猜想！”

学生活动：

跟随教师的引导，进行算式间的对比计算（如计算(-12)×1/4

与12×(-1/4)

），验证教师的观察。基于验证，小组讨论并提出关于有理数除法运算方法的猜想，初步尝试用语言表述：“有理数的除法，可能可以转化为乘以这个数的倒数。”

即时评价标准：

1.能否通过具体计算验证教师的观察结果。

2.提出的猜想是否基于前面的计算事实，表述是否合理。

3.小组内能否就猜想达成基本共识。

形成知识、思维、方法清单：

★转化猜想的萌芽：学生初步形成“除法运算可能转化为乘法运算”的直觉，而转化的中介是“倒数”。这是本节课最核心的思维转折点。

▲归纳推理的初步运用：从有限的特殊例子中发现共同特征，并提出一般性猜想，是数学发现的重要方法。

（教学提示）教师要鼓励学生大胆猜想，即使语言不严密也没关系，关键是经历“观察-发现-猜想”的过程。

任务三：一般化验证与法则归纳

教师活动：

首先肯定学生的猜想。然后提出挑战：“这个猜想适用于所有的有理数除法吗？我们如何证明它？”引导学生从除法的定义（逆运算）和倒数的定义进行一般化推理。

设a÷b=x

，根据除法定义，则有b×x=a

。

在等式b×x=a

两边同时乘以b

的倒数1/b

（b≠0）。

得到(b×1/b)×x=a×(1/b)

，即1×x=a×(1/b)

，所以x=a×(1/b)

。

（口语化解说）“瞧，我们从除法的定义出发，利用倒数的性质，严谨地推导出了a÷b=a×(1/b)

（b≠0）。这说明我们的猜想是完全正确的！现在，谁能结合我们之前对符号和绝对值的观察，把这个发现完整地表述成一条运算法则？”

学生活动：

跟随教师的板书和讲解，理解一般化的推导过程。理解后，尝试用自己的语言完整表述有理数除法法则，并与课本上的规范表述进行对比、修正。最终明确法则的两层含义：1.将除法转化为乘这个数的倒数；2.由此亦可直接得出“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”的符号与绝对值法则。

即时评价标准：

1.能否理解教师展示的一般化推导逻辑。

2.最终归纳的法则表述是否完整、准确（包含转化方法和符号、绝对值确定）。

3.能否指出法则成立的前提是“除数不为零”。

形成知识、思维、方法清单：

★有理数除法法则：a÷b=a×1/b(b≠0)

。★符号与绝对值法则：同号两数相除得正，异号两数相除得负，并把绝对值相除。▲0不能作除数：因为0没有倒数，这是法则应用的重要前提。★转化与化归思想：这是本课核心思想。将新的除法问题转化为已熟的乘法问题，是解决数学问题的基本策略之一。

（教学提示）此处的逻辑推导是提升思维严密性的关键，教师需放慢节奏，确保学生跟上思路。法则的两种表述应让学生理解其内在统一性。

任务四：法则的初步应用与辨析

教师活动：

出示例题：计算(1)(-15)÷(-3)

;(2)12÷(-1/3)

;(3)(-2.4)÷4/5

。

（口语化互动）“请大家任选两种思路来计算：一种是直接利用‘除以一个数等于乘以这个数的倒数’来转化；另一种是先确定符号，再把绝对值相除。做完后比一比，在具体题目中，你觉得哪种方法更便捷？”巡视指导，重点关注学生寻找倒数、处理小数与分数运算时的步骤规范性。

学生活动：

独立完成例题计算，尝试两种方法，并比较优劣。小组内交流计算过程和体会，重点辨析容易出错的地方，如(-2.4)÷4/5

中，将-2.4

化成分数-12/5

再进行运算更简便。

即时评价标准：

1.计算过程是否规范，结果是否正确。

2.能否根据题目特点灵活选择较优的计算策略。

3.在交流中能否指出同伴计算中的细节问题（如倒数找错、符号处理错误）。

形成知识、思维、方法清单：

▲运算策略的选择：对于分数除法，转化为乘法通常更直接；对于整数除法，直接使用符号和绝对值法则可能更快捷。培养学生根据算式特点灵活选择方法的能力。★运算的规范性：强调步骤书写，特别是“÷”改为“×”及除数变成其倒数的过程要清晰呈现。▲易错点警示：带分数要先化为假分数再求倒数；小数通常化为分数再运算更不易出错。

（教学提示）此任务是法则的“首秀”，旨在巩固操作，并引导学生在应用中初步体会优化策略，形成良好的运算习惯。

任务五：综合情境中的简单应用

教师活动：

回到导入环节的气温问题，请学生规范解答(-12)÷12

，并解释其实际含义（平均每小时气温上升1℃）。再出示一个涉及速度、时间、路程的简单情境题，如“一辆汽车在东西向公路上行驶，规定向东为正。若它以-60千米/小时的速度行驶了2小时，它的位置发生了什么变化？如何用除法算式表示这个过程？”（口语化点评）“看，数学规律一旦被掌握，就能帮助我们清晰、准确地解释和解决生活中的许多现象和问题。”

学生活动：

独立解决返回的导入问题，体会学以致用的成就感。尝试分析新的情境题，理解“速度-60千米/小时”的含义（向西行驶），并列出算式(-120)÷2=-60

或(-120)÷(-60)=2

，说明其实际意义。

即时评价标准：

1.能否正确列出除法算式并计算。

2.能否结合“正负号表示相反意义”的约定，合理解释运算结果的实际含义。

3.能否体会数学与生活的紧密联系。

形成知识、思维、方法清单：

★数学的应用价值：有理数除法可用于刻画具有相反意义的量的变化率或等分关系。▲数形结合辅助理解：结合数轴，可以更直观地理解除法运算的结果（如向西行驶）。★模型思想萌芽：将实际问题抽象为有理数除法算式，是一个简单的数学建模过程。

（教学提示）本任务旨在实现从“数学内部”到“外部世界”的连接，巩固对运算意义的理解，体现数学的实用价值。

第三、当堂巩固训练

设计分层、变式训练体系，并提供及时反馈。

基础层（全员必做）：

1.口答：快速说出下列各数的倒数：5,-2,2/3,-0.2,-1。

2.计算：(1)(-36)÷9

;(2)(-2/5)÷(-3/5)

;(3)0÷(-100)

。

（设计意图：巩固倒数概念、法则的直接应用，关注0的特殊性。）

综合层（多数学生完成）：

3.计算：(1)(-3/4)÷(-6)

;(2)(-1.2)÷0.3

;(3)(-5/8)÷5/4

。

（设计意图：综合考查分数、小数的处理，以及运算的规范性。）

4.填空：若a>0,b<0

，则a÷b___0

；若ab<0

，且a+b<0

，则a___0,b___0

，a÷b___0

。（填“>”或“<”）

（设计意图：将符号法则与逻辑推理结合，提升思维层次。）

挑战层（学有余力选做）：

5.探究：已知|x|=4，|y|=1/2

，且xy<0

，求y÷x

的值。

（设计意图：综合绝对值、有理数乘法符号规律与除法运算，考查分类讨论思想。）

反馈机制：学生独立完成后，通过投影展示不同层次学生的解答（匿名），组织同伴互评，重点辨析典型错误（如符号错误、倒数找错）。教师进行总结性讲评，强调通性通法和易错点。

第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结与元认知反思。

1.知识整合：“同学们，今天我们共同探索出了一条重要的运算法则。谁能用一句话概括我们的最大收获？”（有理数的除法可以转化为乘法）。“请大家在笔记本上画出本节课的知识结构图，可以围绕‘转化’这个核心思想来构建。”

2.方法提炼：“回顾探索过程，我们用了哪些方法来得到这条法则？”（从具体例子观察、提出猜想、一般化推理验证）。“遇到新的数学问题时，‘转化’为我们提供了一种强大的武器。”

3.作业布置与延伸：

1.4.必做（基础+拓展）：课本对应练习题；仿照课堂例题，自编2道有理数除法计算题（要求包含分数和小数）并解答。

2.5.选做（探究）：思考：有理数的乘法和除法运算都满足交换律、结合律吗？请举例说明你的结论。预习：如何计算(-8)÷4×(-2)

？它与(-8)÷[4×(-2)]

结果一样吗？

（口语化结束语）“今天大家像数学家一样思考、发现，非常棒！记住，理解算理比记住算法更重要。期待下节课我们一起探索更复杂的运算。”

六、作业设计

基础性作业：

1.完成教材本节后配套的基础练习题A组（通常为直接应用法则的计算题）。

2.判断题：辨析关于除法法则和倒数概念的正误陈述（如“任何数都有倒数”“两数相除，商一定小于被除数”等）。

拓展性作业：

3.生活数学：记录家中一周内每天的最高气温和最低气温，计算其中任意两天的平均日温差，并用有理数除法算式表示计算过程。

4.错题分析：整理本节课练习中的错题，分析错误原因（是符号问题、倒数问题还是计算粗心？），并写出正确解答。

探究性/创造性作业：

5.（选做）数学小论文（雏形）：以“为什么‘负负得正’？”为题，尝试从生活实例（如反复播放录像的倒带）、数轴运动或逻辑推理等角度，撰写一篇300字左右的说明短文，阐述你对有理数乘除法符号规则的理解。

七、本节知识清单、考点及拓展

★有理数除法法则（两种表述）：①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×1/b(b≠0)

。②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（考点核心）两种表述须理解其等价性，计算题直接考查。

★倒数：乘积为1的两个数互为倒数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。求一个数的倒数是除法转化运算的关键步骤。（易错点）求带分数、小数的倒数时，要先化为真分数或分数形式。

▲0的特殊规定：0除以任何一个不等于0的数，都得0。0不能作除数。（考点）常在判断题或填空题中考查。

★运算的转化思想：将除法运算转化为乘法运算，是化归思想的典型体现。这是理解算理、简化运算的核心思维方式。

▲符号法则的推理应用：不通过具体计算，仅根据乘除法的符号法则判断式子的正负，是常见的思维提升类考点，常与绝对值、有理数大小比较结合。

★运算步骤与规范性：在混合运算（后续课程）中，除法转乘法的步骤书写清晰是得分关键。（教学提示）强调“一变（除号变乘号）、二倒（除数变倒数）、三算（按乘法算）”的口诀辅助记忆。

▲与乘法的关系：除法是乘法的逆运算。这一本质关系是推导除法法则的理论基础，也是检验除法计算正确性的一种方法（用商乘除数看是否等于被除数）。

八、教学反思

（一）教学目标达成度分析

本课预设的知识与技能目标达成度较高。通过探究任务链，绝大多数学生能准确表述法则并进行基本运算。从“当堂巩固训练”的完成情况看，基础层和综合层题目正确率预计可达85%以上。能力目标方面，学生在任务二、三中展现了较好的观察、归纳和初步的逻辑推理能力，小组讨论中能听到“我觉得是因为…”“我们可以这样想…”等有推理意味的表达。情感与思维目标在探究过程中得到了渗透，学生对“转化”思想有了切身感受。然而，元认知目标的达成可能不均，仅有部分学优生能在练习后有意识地进行策略反思。

（二）核心教学环节有效性评估

1.导入环节：生活化情境与认知冲突成功激发了学习动机。“下降-12℃”的提问迅速将学生带入思考状态。回顾“逆运算”则精准搭建了认知桥梁。

2.新授探究环节（任务二、三）：这是本课设计的精髓。从特殊猜想到一般验证，符合学生的认知规律。（内心独白）“在引导学生进行一般化推理时，是否需要更直观的模型（如数轴上的运动）辅助部分理解困难的学生？也许可以作为一个备选路径。”小组合作在提出猜想时作用显著，但在推理验证时，个别小组显得依赖教师引导，独立思考深度有待加强。

3.巩固与小结环节：分层练习满足了不同需求，挑战题激发了部分学生的好胜心。学生自主小结时，多数能提到“转化”，但对知识结构的梳理仍显零散，未来可