小学五年级数学（上册）核心素养知识清单：小数乘法进阶

小学五年级数学（上册）核心素养知识清单：小数乘法进阶一、【学科基石】小数乘法的算理与算法深化（一）小数乘法的计算法则再巩固【基础】★小数乘法的计算核心在于“转化”与“还原”。计算时，先暂时忽略小数点，将小数转化为整数进行乘法运算，然后根据因数中小数的位数将积还原为小数。具体步骤如下：第一，按照整数乘法的法则算出积。第二，数一数因数中一共有几位小数。第三，就从积的右边起数出几位，点上小数点。当积的小数位数不够时，要在前面用0补足，再点小数点。例如，计算0.56×0.04，先计算56×4=224，因数共有四位小数，从224右边起数四位，位数不够，补三个0后点小数点，即0.0224。第四，积的小数部分末尾有0的，要依据小数的基本性质进行化简，去掉末尾的0147。（二）积的小数点定位与处理【高频考点】▲1.位数判断：两个因数的小数位数之和，就是积的小数位数（化简前）。这是检验计算结果的重要依据。2.补“0”占位：当整数乘法的积的位数少于因数中小数位数之和时，必须在积的左边用“0”补足，这是学生最容易出错的地方【难点】。如计算0.25×0.8，25×8=200，因数共有三位小数，积应为0.200，化简后为0.2。3.末尾“0”的化简：点上小数点后，必须观察积的小数末尾是否有“0”，如果有，一定要根据小数的性质将其去掉，使结果化为最简形式。例如，1.25×0.8=1.000，应化简为1。二、【核心规律】积与因数的动态关系【热点】★★（一）积的大小比较规律（一个数（0除外）乘另一个数）【非常重要】这一规律是解决估算和比较大小问题的关键，渗透了函数思想。1.乘一个大于1的数，积大于原数。例如：3.6×1.2>3.6。2.乘一个小于1的数，积小于原数。例如：7.5×0.8<7.5。3.乘一个等于1的数，积等于原数。例如：5.4×1=5.4。需要特别注意的是，这里的比较是针对“原数”而言，且前提是“0除外”，因为0乘任何数都得01710。（二）积的变化规律【难点】▲掌握积的变化规律，有助于进行简算和解决拓展问题。1.一个因数不变，另一个因数乘或除以一个数（0除外），积也相应地乘或除以这个数。2.一个因数扩大a倍，另一个因数扩大b倍，则积扩大（a×b）倍。反之，若因数缩小，积也相应缩小。3.在乘法中，如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，那么积不变。这是进行“积不变”变形的重要依据2。三、【精确数学】积的近似数与运算顺序（一）求积的近似数【高频考点】★★在实际生活和科学计算中，往往不需要保留太多的小数位数，这时就需要用“四舍五入”法求积的近似数。1.方法：先精确计算出积的准确值，再看清题目要求保留的小数位数，看需要保留位数的下一位上的数字，如果该数字大于或等于5，则向前一位进一；如果小于5，则直接舍去。2.注意：在表示近似数时，小数末尾的“0”不能随意去掉。例如，将2.996保留两位小数，结果是3.00，这里的两个“0”表示精确到百分位，体现了近似数的精确度14。3.实际应用：在解决与钱款有关的问题时，通常保留两位小数，表示精确到分；保留一位小数，表示精确到角1。（二）小数的四则混合运算【基础】★小数四则混合运算的顺序与整数完全相同。1.无括号：在同一级运算中，按照从左到右的顺序依次计算。如果含有两级运算，要先算乘除法（第二级运算），后算加减法（第一级运算）7。2.有括号：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。这是确保计算结果唯一性的法则。四、【思维飞跃】整数乘法运算定律的推广与简算【非常重要】★★★整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于小数乘法同样适用。运用这些运算定律可以使一些计算变得简便，这是本讲培优的核心内容。（一）乘法交换律与结合律的运用【基础】乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)在简算中，它们往往结合使用，特别是看到“25”找“4”或“0.4”，看到“125”找“8”或“0.8”，通过交换位置、结合相乘得到整数，从而使计算简便。【典型例题】计算：0.25×4.78×4【简算思路】利用乘法交换律，交换4.78和4的位置，先算0.25×4=1，再算1×4.78=4.78。这个过程既运用了交换律，也蕴含了结合律的思想18。（二）乘法分配律的正向运用【高频考点】▲乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c；(ab)×c=a×cb×c。其核心是将一个接近整数的因数拆分成一个整数与一个小数的和或差的形式。【典型例题】计算：0.65×201【简算思路】将201拆分成200+1，然后运用乘法分配律：0.65×201=0.65×(200+1)=0.65×200+0.65×1=130+0.65=130.658。【变式练习】计算：1.5×105、4.8×99。其中4.8×99应将99拆分为(1001)，再运用分配律。（三）乘法分配律的逆向运用（提取公因数）【难点】★★★这是乘法分配律的逆用，形式为：a×c±b×c=(a±b)×c。关键在于找到两个乘法算式中共同的因数（公因数）。【典型例题】计算：4.5×99+4.5【思路解析】算式的右边是“+4.5”，可以看作是“4.5×1”。这样，原式就变成了两个乘积相加的形式，且都有公因数4.5。于是，可以逆用乘法分配律：4.5×99+4.5×1=4.5×(99+1)=4.5×100=4503。【拓展延伸】对于形如“9.8×63+98×3.7”的题目，需要先运用积不变的规律，将98转化为9.8，同时3.7转化为37，或者将9.8转化为98，从而构造出相同的因数，再提取公因数简算。体现了转化的数学思想3。五、【生活应用】小数乘法解决问题【高频考点】★★（一）“乘加、乘减”问题在解决实际问题时，经常需要先求出一个量，再求出另一个量，涉及两步计算。例如，修路队第一天修路82.8米，第二天比第一天修的1.6倍少7.2米，求第二天修了多少米？需先算第一天的1.6倍是多少，再减去7.25。（二）“分段计费”问题【热点】▲这是生活中最常见的问题之一，如出租车收费、水费、电费、停车费等。解决此类问题的关键是理解计费规则，将总费用分成几段来计算。【典型例题】某市出租车收费标准：3千米以内7元；超过3千米的部分，每千米1.5元（不足1千米按1千米计算）。小明乘出租车行驶了6.3千米，应付多少钱？【解题步骤】首先，6.3千米要按7千米计算。然后，将7千米分成两部分：前3千米和后面4千米。总费用=起步价7元+超出部分的费用(1.5×4=6元)=13元2。（三）“估算”与“判断”问题在生活中，我们常常不需要算出精确结果，而是通过估算来判断“够不够”、“能不能”。估算时，要根据实际情境选择“估大”或“估小”的策略。【典型例题】一个房间长8.1米，宽5.2米，现要铺上边长为0.6米的正方形地砖，100块够吗？【解题策略】可以将8.1估成8，5.2估成5，算出最小面积是40平方米。100块地砖最大面积是100×0.36=36平方米。36<40，所以100块肯定不够2。六、【易错诊察】本讲常见错例分析与防范（一）计算过程中的典型错误1.点错小数点：如计算3.76×0.25时，学生算出积后，容易数错位数或点错位置，导致结果相差10倍、100倍8。2.末尾“0”未化简：如计算1.25×0.8=1.00，部分学生会写成1.00而不化简。3.分配律使用不全：在运用乘法分配律时，如计算4.8×9.9，错写成4.8×(100.1)=4.8×100.1，漏乘了4.8与0.1。（二）运算顺序混淆在乘加或乘减混合运算中，学生容易受数字特点干扰，不遵守运算顺序，先算加减后算乘除。如50.4×1.91.8，容易错误地先算1.91.8=0.1，再用50.4×0.18。（三）比较大小中的陷阱当因数是0或1时，学生容易忽略特殊情况。例如，比较2.3×a与2.3的大小，在没有说明a的取值范围时，无法确定。必须考虑a>1、a=1、a<1、a=0等多种情况9。七、【能力拓展】思维训练与创新应用（一）算式谜题与巧填根据因数与积的变化规律，可以设计开放性的填空题目。【典型例题】根据65×39=2535，在下面的括号里填上合适的数，使等式成立。25.35=()×()。答案不唯一，可以是0.65×39，也可以是6.5×3.9，还可以是65×0.39。这类题目考查学生对小数点位调整与积不变规律的深度理解8。（二）简算的灵活运用在熟练掌握基本运算定律的基础上，可以进行更高层次的组合简算。【典型例题】计算：3.6×2.8+3.6+6.2×3.6观察算式，中间的“3.6”可以看成“3.6×1”，这样三个乘法算式中都有公因数3.6，提取后为3.6×(2.8+1+6.2)=3.6×10=3610。这需要学生对乘法分配律的模型有非常深刻的认识。（三）跨学科融合题数学知识常与其他学科或科普知识相结合。【典型例题】激光从地球发射到月球又从月球反射回地球需要2.56秒，光速约为30万千米/秒，求月球到地球的距离。这道题融合了物理常识，需要理解2.56秒是往返时间，必须先除以2求出单程时间，再乘以速度得到距离：30×2.56÷2=38.4（万千米）8。八、【综合测评】达标检测与查漏补缺（一）核心考点扫雷1.填空：3.7×0.45的积有（）位小数；5.46×1.02的积有（）位小数。2.判断：一个数乘小数，积一定小于这个数。（）3.比大小：8.5×1.01○8.5；3.9×0.98○3.9；4.6×0.45○0.46×4.5。（二）简便运算过关