《概率论》-一概率论的基本概念

第一节随机事件、样本空间在个别试验中其结果出现不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称之为随机现象。1、随机试验概率论是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。则把这一试验称为随机试验，常用E表示。对随机现象进行的观察或实验称为试验。（1）可以在相同条件下重复进行试验；（2）试验的结果事先不知道，只知道可能有什么结果。若一个试验具有下列两个特点：样本空间：随机试验E的所有可能结果组成的集合。记为

。例1.1:

从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数，则这一试验的样本空间为：

={0，1，2，3，4，5，6，7，8}引入下列随机事件:A={正品件数不超过3}={0，1，2，3}B={取到2件至3件正品}={2，3}C={取到2件至5件正品}={2，3，4，5}D={取到的正品数不少于2且不多于5}={2，3，4，5}E={取到的正品数至少为4}={4，5，6，7，8}F={取到的正品数多于4}={5，6，7，8}

例1.2:

写出下列随机试验的样本空间：E1:掷一枚均匀硬币，

={正,反}={,};E2:将一枚硬币抛掷三次，观察正面教育H,反面T出现的情况，

={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};E3:将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数，

={0,1,2,3};E4:记录某电话机某段时间电话呼叫次数，

={0,1,2,…}={,,…};E5:测试某台电视机的寿命，

={：<+}.2、随机事件随机事件（简称事件）：在随机试验中，可能发生也可能不发生的事件。通常用大写字母A、B,…表示。基本事件（或称为样本点）：随机试验中的每一个基本结果是一个随机事件。样本空间：随机试验E的全体基本事件组成的集合。记为

。随机事件中有两个极端情况：每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件

。每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件

。基本事件是样本空间的单点集。复合事件是由多个样本点组成的集合。必然事件包含一切样本点，它就是样本空间

。不可能事件不含任何样本点，它就是空集

。

若事件A发生，则事件B发生，就称事件B包含事件A，或A包含于B，记作（如图1.1所示）。第二节事件的关系及其运算

图1.1“事件A与事件B至少有一个发生”也是一随机事件,称为事件A与事件B的和（并）事件记作AB或A+B,即A+B={事件A与事件B至少有一个发生}。如图1.2中的阴影部分。事件A1，A2，…An的和记为,或A1∪A2∪…∪An图1.2表示事件A与事件B同时发生,称为事件A与事件B的积（交）事件，或记为AB。积事件AB是由A与B的公共样本点所构成的集合。可列个事件A1,A2,…,An的积记为A1∩

A2∩

…∩An

或A1A2…An

，也可简记为。在可列无穷的场合，用表示事件“A1、A2

…诸事件同时发生。”图1.3例题2.1

在抛一颗骰子试验里，事件A=“出现奇数点”={1，3，5}，事件B=“出现点数不超过3”={1，2，3}。则：AB={1,2,3,5}AB={1,3}

设A为中的任一事件，则AA=A,A=,A=A,AA=A,A=A,A=

事件的和与积的定义可以推广到n个（n3）或无穷多个事件的情形。事件A发生但事件B不发生,称为事件A与事件B的差事件。（如图1.4所示）显然有：对于任意两事件A，B总有如下分解：

图1.4

则称A和B是互不相容的或互斥的,指事件A与B不可能同时发生。（如下图1.5所示）基本事件是两两互不相容的。

则称A和B互为对立事件，或称A与B互为逆事件。（如图1.6所示）事件A的逆事件记为,表示“A不发生”这一事件。

图1.6ABBAABBAABBAA事件的运算律（1）交换律：A∪B=A∪B，AB=BA（2）结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）（3）分配律：A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）（A∩B）∩C=A∩（B∩C）A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）（4）德·摩根律（DeMorgan）：例2.2:

设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表示下列事件：（1）A发生且B与C至少有一个发生；（2）A与B都发生而C不发生；（3）A，B，C恰有一个发生；（4）A，B，C中不多于一个发生；（5）A，B，C不都发生；（6）A，B，C中至少有两个发生。例题2.3：化简下列各式：第三节事件的频率与概率的统计定义1、频率定义1:在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发生了k次，则比值称为事件A的频率，记为频率具有下列性质：(1)对于任一事件A，有(2)

历史上著名的统计学家蒲丰（Buffon）和皮尔逊（Pearson）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表所示.实验者nnHF(H)德·摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069K·皮尔逊1200060190.5016K·皮尔逊24000120120.5006可见出现正面的频率总在0.5附近摆动.随着试验次数的增加,它会逐渐稳定于0.5.定义2:设事件A在n次重复试验中发生了k次,n很大时,频率稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n的增加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率，记为根据频率的性质可知统计概率具有以下性质：第四节古典概型定义4：

设随机试验E满足如下条件:试验的样本空间只有有限个样本点，即(2)每个样本点的发生是等可能的，即则称试验为古典概型，也称为等可能概型。古典概率定义

设E为一古典概型随机试验，共有n个基本事件，而随机事件A包括其中的k个基本事件，则事件A发生的概率P(A)=k/n;古典概率有如下性质：例题4.1：在一个盒子中装有10个完全一样的球，球上分别标有号码1，2，…，10,从中任取一球,求取出的球号码是偶数的概率。解：设A={取出的球的号码为偶数}，则

={1，2，…，10}，A={2,4,，…，10}，

P(A)=5/10=1/2例4.2：从0,1,2,…,9共10个数字中随机地有放回地接连取4个数字,并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概率例4.3：(一个古老的问题)一对骰子连掷25次.问出现双6与不出现双6的概率哪个大?二、古典概型的几类基本问题

例1:设合中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A-----取到一红一白答:取到一红一白的概率为3/51、取球问题一般地，设合中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是:

例2：将3个球随机的放入3个盒子中去，问：

（1）每盒恰有一球的概率是多少？

（2）空一盒的概率是多少？

解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒2、分球入盒问题一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：3.分组问题例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组一般地，把n个球随机地分成m组(n>m),要求第i组恰

有ni个球(i=1,…m)，共有分法：第五节几何概型若试验具有如下特征:例5.1

(约会问题)甲、乙两人相约在某一段时间T内在预定地点会面。先到者等候另一人，经过时间t(t<T)后即离去,求甲乙两人能会面的概率.(假定他们在T内任一时刻到达预定点是可能的)例5.2

平面上画有等距离为a的一些平行线，向平面上任意投一长为l(l<a)的针,试求针与平行线相交的概率.针与平行线相交的充要条件为几何概率有如下性质：

第六节概率的定义及性质定义若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，称P(A)为事件A的概率，P(A)满足下列条件：(1)P(A)≥0（非负性）；(2)P(

)＝1（规范性）； (3)可列可加性：设

,,…,是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(

A2

…)＝P(A1)＋P(A2)+….(1.1)则称P(A)为事件A的概率。概率的性质互补性：P(A)＝1－P(A)；设为不可能事件，则P（）=0;单调不减性：若事件A

B，则

P(A)≥P(B)(4)可减性：

A、B是两个事件AB

，则

P(B-A)=P(B)-P(A)(5)加法公式：对任意两随机事件A、B，有

P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形；例题6.1：甲乙两人向目标同时进行射击，每人击中一次，甲击中的概率为0.9，乙击中的概率为0.8，两人同时击中的概率为0.72，求目标被击中的概率。解：设A={甲击中目标}，B={乙击中目标}，

P（目标90被击中）=P（A+B）=P（A）+P（B）

=0.98由性质3还可以推广为三个事件A1,A2,A3，更一般的，可以用归纳法推广到n个事件。第七节条件概率、乘法公式1、条件概率的定义例题7.1：设从0，1，…9这10个数中任取一个（设10个数均等可能被取到），求（1）取得的数大于4的概率，（2）已知取得的是奇数，而它大于4的概率，（3）取到一个大于的奇数的概率。解设

A={取得的数大于4}B={取得奇数}AB={取到一个大于4的奇数}（1）由古典概型，P（A）=5/10.(2)十个数中有5个是奇数，而大于4的奇数只有3个，故P(A|B)=3/5,(3)P(AB)=3/10

由上可知：

P(A|B)=P(AB)/P（B）例题7.2：一个盒子中装有5件产品，其中3件正品，2件次品，今两次从中各取一球（不放回），设A={第一次取到正品}，B={第二次取到正品}，求。

解法一：

解法二：用1、2、3表示正品，4、5表示次品则(2)在原样本空间中计算,由于(1)在缩减的样本空间中计算.因第一次已经取得了次品,剩下的产品共19件其中3件次品,从而

P(B│A)=3/19例7.3：某批产品共20件,其中4件为次品,其余为正品,不放回地从中任取两次,一次取一件.若第一次取到的是次品,问第二次再取到次品的概率是多少?解：令A={第一次取到次品},B={第二次取到次品},

需求P(B│A).设P(A)>0,则有

P(AB)=P(A)P(B│A)同样,当P(B)>0时,有：

P(AB)=P(B)P(A│B)2、乘法公式乘法公式可推广至任意有限个事件的情形:例7.4：设袋中有a只白球,b只黑球.任意取出一球后放回,并再放入与取出的球同色的球c只,再取第二次,如此继续,共取了n次,问前n1次取出黑球,后n2=n

-n1

次取白球的概率是多少?例题7.5：在例题7.1中，两次都取到正品的概率：

例题7.6：设袋中有b个黑球，r个红球，今从中连续三次取球，取球的方式是：任取一只，观察其颜色，放回，并再放入一只与刚取得的一只同颜色的球，求第一、二两次取到黑球且第三次取到红球的概率。解设Ai={第i次取到黑球}，i=1，2，3则P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)P(|A1A2)=例题7.7（配对问题）某人写了n封信，将其分别装入n（n2）个信封，并在每个信封上分别随机地写上n个收信人的地址（不重复），求：（1）设有一个信封上的所写的地址正确的概率q0(n),（2）恰有r（）个信封上所写的地址正确的概率qr(n).

解：设Ai={第i个信封上所写的地址正确}，i=1,2,…,n

则={n个信封上至少有一个所写地址正确}。由乘法公式，有

（2）由乘法公式，在指定的“某r个信封（不妨设前r个信封）上所写的地址正确”的概率为

第八节全概率公式与贝叶斯公式全概率公式例题：在例题7.1中求第二次取到正品的概率解A={第一次取到正品}，B={第二次取到正品}显然“第二次取正品”与第一次取什么产品有关，而第一次抽取产品只有两种可能结果，即A和,A=,A+=.所以P（B）=P（B）=P[（A+）B]=P（AB+B）=P（AB）+P（B）=P（A）P（A│B）+P（）P（B│）=3/5全概率公式例题8.1：某工厂有四条流水线生产同一产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，这四条流水线的次品率为0.05，0.04，0.03，0.02，现从出厂的产品中任取意见，问恰好抽到次品的概率为多少？解设B={抽到次品}Ai={抽到第i条流水线的产品}，i=1，2，3，4

于是由全概率公式，P（B）=

=0.0325例题8.2

（接例题8.1）在例8.1中若规定，出了次品要追究有关人员的责任，则从该厂的出品中任取一件，发现是次品，求该次品是第四条流水线生产的概率。解:贝叶斯公式例8.3：某工厂由甲,乙,丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占30%,35%,35%,废品率分别为5%,4%,3%.产品混在一起.(1)从该厂的产品任取一件,求它是废品的概率.(2)若取出产品是废品,求它是由甲,乙,丙三台机器生产的概率各是多少?例8.4：对以往的数据分析结果表明,当机器调整良好时,产品的合格率为90%,而机器未调整良好时,其合格率为30%.每天机器开动时,机器调整良好的概率为75%.试求已知某日生产的第一件产品是合格品,机器调整良好的概率是多少?解:设A={机器调整良好},B={生产的第一件产品为合格品}.已知例题8.5

：设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表分别为3份、7份和5份，随机地抽取一个地区的报名表，从中先后抽取两份.

（1）求先抽到的一份为女生表的事件概率P.

（2）已知后抽取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.解令Hi={报名表是第i区考生的表}，i=1,2,3Aj={第j次抽到的报名表是男生表}，j=1,2第九节随机事件的独立性1、事件的独立性定理定义7:（2）若事件A与B相互独立，则A与,与B，与也相互独立。（3）若P（A）>0,P（B）>0,则A、B相互独立与A、B互不相容不能同时成立。例题9.1：甲乙两人各掷一枚硬币，设

A={甲出现正面}，B={乙出现正面}

问事件A、B是否相互独立？解样本空间={（正，正），（正，反）（反，正），（反，反）}，

A={正，正），（正，反）},B={（正，正），（反，正)}AB={（正，正）},P(A)=P(B)=1/2.P(AB)=1/4=P(A)=P(B)

事件A、B相互独立例题9.2：假设男生女生是等可能的，考虑有两个孩子的家庭，设A={一个家庭中有男孩又有女孩}，B={一个家庭中最多有一个女孩}，A,B是否独立？解样本空间

={（男、男）（男、女）（女、男）（女、女）}A={（男、女）（女、男）},B={（男、男）（男、女）（女、男）},AB={（男、女）（女、男）},于是由等可能性有P(A)=1/2，P(B)=3/4，P(AB)=1/2由此可知P(AB)P(A)P(B).

事件A、B不独立。定义8：例题9.3：考虑两个孩子的家庭，假定生男生女是等可能的，设A={第一个是男孩}={（男，男）（