《电路基础》-项目五

5.1一阶电路的基本概念

在前面章节的学习中，分析和讨论了由电阻和电源构成的电路，称为电阻电路。在现实生活中存在着这样一种电路:最初处于一种稳定的状态，当条件发生变化后，经过一定的时间又会过渡到一种新的稳定状态。这种从一种稳定状态到另一种稳态的转变过程，需要经历一个被称为过渡的过程。例如，电路中由于电容元件的存在，电源接通后对电容充电而使其电压逐渐升高，这一过程就是一个过渡过程;电感由于电磁感应作用而使电流不能立即达到稳定值，这也是一个渐变的过渡过程。电路过渡过程所经历的时间往往较为短暂，所以过渡过程又被称为暂态过程。电路的暂态过程虽然在很短的时间内就会结束，但却会给电路带来比稳态大得多的过电流和过电压。电路中出现的这种短暂的过电流和过电压，一方面可用来产生所需要的波形或电源，但另一方面它又可能会使电气设备工作失效，甚至造成严重的事故。因此有必要对电路的暂态过程进行分析，以掌握其规律，为电路分析和设计服务。下一页返回5.1一阶电路的基本概念

研究暂态过程，就是要认识和掌握暂态过程的规律。分析暂态电路的基本方法主要有数学分析和实验分析。数学分析方法的理论依据是欧姆定律及基尔霍夫定律;实验分析方法是将在实验课程中综合应用示波器或仿真软件等来观测暂态过程中各物理量随时间变化的规律。5.1.1暂态过程在某一时刻t，如果能用一条uc-q曲线来表示二端元件所存储的电荷量q(t)与其两端的电压uc(t)间的关系，那么这样的二端元件被称为电容元件。电容器可以用来存储电荷和电能，如果uc-q曲线是uc-q平面上的一条通过原点的直线，这样的电容元件就称为线性时不变电容元件，本书只讨论如图5-1所示的线性电容元件。上一页下一页返回5.1一阶电路的基本概念

设电容上的电压uc(t)、电流ic(t)为关联性参考方向，如图5-1所示，则或对t在(-∞，+∞)区间上进行变上限积分得对式(5-1)、式(5-2)和式(5-3)分析可得:(1)电容元件具有通交流隔直流的作用。即在任何时刻，通过电容器的电流与此时刻的电压变化率成正比。若电容器两端加交流电时，有电流ic通过;如果电容器两端加一直流电时，电流ic=0，相当于电容器处于开路状态。

(2)电容器上的电压不能突变。通过电容的电流t为有限值，电容两端的电压是时间t的连续函数，不能突变。电容器两端的电压uc(t)与t时刻以前的电流有关，即电容器具有“记忆”电流的功能。上一页下一页返回5.1一阶电路的基本概念

(3)电容器上消耗的功率。电容器两端的电压uc(t)、电流ic(t)参考方向如图5-1所示，电容器的功率P(t)为

(4)电容器上存储的能量。设ω(t)为电容器在t时刻存储的电能，则有对式(5-5)两边乘dt后，再积分，并利用式(5-4)关系，得在大多数应用中，上式中uc(-∞)=0，此时上一页下一页返回5.1一阶电路的基本概念[例5一1」现有一个4.75μF的理想电容器上，加上频率为的电压，求通过电容的电流i(t)、功率p(t)和电能ω(t)。解:(1)由(5-1)有(2)由(5-4)有上一页下一页返回5.1一阶电路的基本概念(3)由(5-6)有电感是存储磁场能量的元件，和电容元件类似，并不消耗能量。在任一时刻，通过二端元件的电流iL(t)与其磁链Φ(t)呈曲线关系，此二端元件称为电感元件。若此曲线为通过Φ(t)平面原点的直线，如图5-2(b)所示，则此电感被称为线性时不变电感元件，其符号如图5-2(a)所示。设电感线圈中通以电流iL(t)，根据毕奥一萨伐尔定律，iL(t)在空间所激发的磁感强度B(t)与iL(t)成正比，而对同一线圈，其磁链数Φ(t)又与B成正比，所以Φ(t)与线圈中的电流iL(t)成正比，即

Φ(t)=LiL(t)上一页下一页返回5.1一阶电路的基本概念

式(5-7)中的比例系数上称为电感线圈的自感系数，简称自感。根据法拉第的电磁感应定律:线圈中的感应电压与磁链的变化率成正比，即根据式(5-7)和式(5-8)，得由上述式(5-7)~式(5-9)3个公式可知:(1)电感元件对直流电相当于短路。若通过电感线圈的电流不随时间而变化，即为直流电时，uL(t)=0，电感线圈相当于短路。

(2)电感元件是储能元件。因为电感上的电压uL(t)为有限值，所以电感中的电流iL为时间的连续函数，不能产生突变。式(5-9)中的感应电流(感应电压)的方向由楞次定律确定。对式(5-9)两端积分，并设iL(-∞)=0，得上一页下一页返回5.1一阶电路的基本概念

由式(5-10)可知，t时刻的电流iL(t)与t时刻以前的电压有关，所以电感元件具有“记忆”电压的作用。

(3)电感的功率。设电流iL(t)、电压uL(t)为关联性参考方向，如图5-2示，这样电感元件吸收的功率为

(4)电感存储的磁能。对式(5-11)进行变上限积分，并取iL(-∞)=0得上一页下一页返回5.1一阶电路的基本概念5.1.2换路定律

1.换路电路在接通、断开、短路、电压或电路参数改变时，将由一种状态变换为另外一种状态，电路中的这种条件改变就称为电路的换路。不论电路的状态如何发生改变，电路中所具有的能量是不能突变的。比如，电感的磁能及电容的电能都不能发生突变。若要使电路的状态发生改变必须满足下列三个条件:(1)电路中至少需要有一个动态元件;(2)电路需要换路;(3)换路后的瞬间，电容电压、电感电流值不等于新的稳态值。上一页下一页返回5.1一阶电路的基本概念2.换路定则根据电功率的公式，能量的积累和释放是需要一定时间的，即能量是不能突变的。例如，白炽灯在开关接通和断开时其温度升高或降低不能跃变，因为其存储的热能不能产生跃变的缘故。

如图5-3(a)和图5-3(b)所示，分别是由RC和RL组成的电路。开关接通或断开时，由于电源的输出功率是有限的，电路中的能量虽有改变，但电容器中的电能和线圈中的磁能是不能发生跃变的。设t=0为换路的瞬间，t=0-和t=0+为换路的前后极限时刻，对于线性电容，由式(5-3)得上一页下一页返回5.1一阶电路的基本概念

当t=0+时，由式(5-13)得电容器上的电压为在换路的瞬间，iC(t)为一有限值，式(5-14)右边第2项的积分值为零，这样电容电压值为

式(5-15)表明，电路换路瞬间，电容器两端的电压不发生跃变，即换路前后电压维持不变。与电容类似，对线性电感，电路换路瞬间，电感两端的电压为有限值时，电感电流不产生跃变，即电流的初始值为

式(5-15)、式(5-16)表述的规律称为换路定则:当电路中的电容电流和电感电压为有限值时，换路后一瞬间电容的电压和电感的电流保持换路前一瞬间的原有值，不能跃变。上一页下一页返回5.1一阶电路的基本概念5.1.3初始值换路定则只能确定换路瞬间的电容电压值和电感电流值，而电容电流、电感电压以及电路中的其他元件的电流、电压初值是可以发生跃变的。将uc(0+)和iL(0+)称为独立的初始条件，把除电容电压和电感电流外、在t=0+时刻的其他响应值称为非独立初始值。独立的初始值和非独立的初始值统称为暂态电路的初始值，即t=0+时电路中电压、电流的瞬态值。由换路定则确定了独立的初始值后，电路中非独立初始值可按下列原则确定:(1)换路前的瞬间，将电路视为一稳态，即电容开路、电感短路。

(2)换路后瞬间，电容元件被看做恒压源。如果uc(0-)=0，那么uc(0+)=0，换路时，电容器相当短路。上一页下一页返回5.1一阶电路的基本概念(3)换路后瞬间，电感元件可看做恒流源。如果当iL(0-)=0时，iL(0+)=0，电感元件在换路瞬间相当于开路。

(4)运用直流电路分析方法，计算换路瞬间元件的电压、电流值。

[例5-2」确定图5一4所示电路在换路后各储能元件的电流与电压的初始值，设开关闭合前电路处于稳态。解:(1)求独立的初始值uc(0+)和iL(0+)

开关闭合前电路处于稳态时，电容相当于开路，电感相当于短路，由图5-4所示得上一页下一页返回5.1一阶电路的基本概念(2)由换路后0+时的等效电路图5-4(b)知，非独立初始值为

[例5-3」电路如图5一5(a)所示。开关闭合前，电路已处于稳定状态，且R1=4Ω,R2=8Ω，当t=0时开关闭合，求初始值i1(0+),i2(0+),iC(0+)。

解:(1)开关闭合前电路已处于稳定状态，所以iC(0-)=0，UC(0-)=12V(2)换路瞬间，等效电路如图5-5(b)所示，根据换路定则，UC(0+)=UC(0-)=12V上一页返回5.2一阶电路的零输入相应5.2.1一阶电路零输入响应的分析当讨论由电阻元件和电源构成的电路，称为电阻电路，其电路特性一般由代数方程描述。如果电路中含有电容或电感元件，那么这样的电路称为动态电路，动态电路需要用微分方程加以描述。本书仅讨论由电容、电阻组成的RC一阶电路和由电感、电阻组成的RL一阶电路。

1.RC一阶电路零输入响应动态电路的响应分为零输入响应和零状态响应两部分。零输入响应是电路在无输入激励的情况下仅由初始条件引起的响应。RC电路的零输入响应是指输入信号为零，即激励为零，由电容元件的初始状态uC(0+)所产生的电流和电压。如图5-6(a)所示的RC动态电路，开关处于位置1时，电路已处于稳定状态，uC(0+)=Us。下一页返回5.2一阶电路的零输入相应

当开关由1的位置扳到3的位置，即换路瞬间，根据换路定则，uC(0+)=uC(0-)=Us，此时(t=0+)，电容通过电阻R放电，电容器储存的电能被逐渐释放出来，电容电压和电流逐渐减小，直到零为止。下面对这一电容器放电过程进行分析。如图5-6(a)所示电路，由KVL定律得

将代入式(5-17)，得式(5-18)的通解可写成

式(5-19)中A为积分常数，由初始条件决定。将=Us代入式(5-19)得

A=Us

所以式(5-17)，满足初始条件的通解为上一页下一页返回5.2一阶电路的零输入相应

式(5-20)中的ε(t)为单位阶跃信号，其解析式为式(5-21)对应的波形如图5-6(b)所示电路中电流变化规律为

令τ=RC,τ是具有时间的量纲，反映了RC电路中过渡过程进行的快慢程度，是描述过渡过程特性的一个重要的物理量，其大小由电路本身的结构所决定，与外界的激励无关。:越大，过渡过程持续时间就越长，电流、电压衰减得就越慢;若:越小，过渡过程持续时间就越短，电流、电压衰减得就越快。uc(t)和i(t)随时间变化的曲线如图5-7(a)、图5-7(b)所示。上一页下一页返回5.2一阶电路的零输入相应

下面的表5-1给出了指数流随时间t变化的数值关系。此表中的数值说明:在开始一段时间，数值下降得较快，t=τ时的值约为t=0时值的0.368倍，以后数值衰减得较慢t=3τ时的值约为t=0时值的0.050倍，t=5τ时的值约为t=0时值的0.007倍。在工程中，一般认为经过(3~5)τ时间以后，衰减过程基本结束，电路已达到新的稳态。

2.RL一阶电路的零输入响应在无电源激励即输入信号为零时，由电感元件的初始状态iL(0+)所引起的响应，称为RL的零输入响应。如图5-8所示，开关S1闭合、S2断开时，电路已处于稳定状态，iL(0+)=iL(0-)=电路换路时，S1断开、S2闭合，由基尔霍夫电压定律得根据电磁感应定律并经整理，式(5-23)变为上一页下一页返回5.2一阶电路的零输入相应

解上式得iL的零输入响应为将初始条件代入式(5-25)，得令式(15-26)中的为RL电路的时间常数，具有时间量纲，单位为秒(s)，式(5-26)简化为电感电压为将式(5-28)代入式(5-23)得电阻R2上的电压为式(5-27)、式(5-28)和式(5-29)的波形如图5一8所示。上一页下一页返回5.2一阶电路的零输入相应

由图5-8可知，在RL零输入响应电路中，电感初始时存储的磁能消耗在电阻中，理论上需要经过无穷长时间，电感中储存的磁能才能消耗完毕，暂态过程才算结束。工程应用过程中常取(3~5)τ时，认为电路已达新的稳定状态。电路的时间常数τ决定了暂态过程进行的快慢，改变电路参数R和L可以控制RL电路暂态过程的进程。5.2.2一阶电路零输入响应的应用

[例5-4]已知图5-6(a)中的C=10μF,R=5kΩ,，电容的初始电能为2X10-3J,求:①电路的零输入响应uc(t)和ic(t);②电容电压衰减到8V时所需时间;③要使电压在4s时衰减到2V，电阻R取值为多少?解:①由式(5-6)知:，所以上一页下一页返回5.2一阶电路的零输入相应将uc(0+)、ic(0+)和τ代入式(5-20)、式(5-22)中，得

②uc(t)=8V时，20e-50t=8，解此式得

t=-0.018s③由uc(t+)=20·e-50t，得将uc(t)=2V,C=10μF,t=4s代入上式，计算得R=173.9kΩ上一页下一页返回5.2一阶电路的零输入相应

[例5一5」如图5一9所示电路中，RL串联由直流电源供电。S开关在t=0时断开，设S断开前，电路已处于稳定状态。已知Us=200V,Ro=10Ω，L=0.5H,R=40Ω，求换路后:iL、uL、uR的响应。解:(1)计算iL:S断开前，S断开后，，其中:所以，(2)uL=(3)uR=上一页下一页返回5.2一阶电路的零输入相应[例5-6」如图5-10所示，换路前开关S断开且电路处于稳定状态，计算换路后的电流iL。解:在t>0时，S闭合将上式代入，得上一页下一页返回5.2一阶电路的零输入相应令，解上面得微分方程，得上一页返回5.3一阶电路的零状态相应5.3.1一阶电路零状态响应分析

1.RC一阶电路零状态响应如图5-11(a)所示，在开关S末闭合时，RC电路中电容电压uc(0-),RC动态电路初始状态为零时，由外加激励信号所引起的响应，称为电路的零状态响应。开关S闭合后，电源通过电阻R对电容器C进行充电，这样电容电压逐渐升高，充电电流逐渐减小，直到电容电压、等于电源电压U，电路中电流为零时充电过程结束。下面分析这一充电过程。根据换路定则，有根据KVI定律，有下一页返回5.3一阶电路的零状态相应将代入式(5-30)得图5-11(a)所示电路的一阶非齐次微分方程式(5-31)的解可分为齐次方程的通解uCh(t)和非齐次方程的特解uCp(t)两部分之和，即

式(5-31)对应的齐次方程为其特征方程所对应的特征根为故齐次方程的通解形式为上一页下一页返回5.3一阶电路的零状态相应

当t-->+∞时，动态电路的暂态过程结束而进入新的稳定状态，使电容电压等于电源电压，这样式(5-31)的特解可表示为

由式(5-35)和式(5-36)得到式(5-31)的解为

将uc(0+)=0代入式(5-37)解，得积分常数为

A=-Us(5-38)因此，RC零状态电路的电压uc(t)响应式(5-37)变为

将式(5-39)代入式(5-30)，得电路的电流i(t)响应为上一页下一页返回5.3一阶电路的零状态相应

根据式(5-39)和式(5-40)画出的uc(t)和i(t)波形如图5-11(b)和图5-11(c)。

2.RL一阶电路的零状态响应如图5-12所示电路，开关S闭合前电路中的电流为零，即电路处于零状态。开关闭合后，电感元件中的电流从零逐渐增加到新的稳态值，电感中存储的磁能从无到有，也就是电感元件的将电能转化为磁能的过程。

iL和uL取关联参考方向，换路瞬间，根据KVL定律和电磁感应定律可得由换路定则得:iL(0+)=iL(0-)=0，当电路进入新的稳定状态时将iL(0+),iL(+∞)代入三要索公式中得RL零状态响应上一页下一页返回5.3一阶电路的零状态相应

其中时间常数根据式(5-43)、式(5-44)和式(5-45)可画出图5-12所示的iL、uL和uR随时间变化的曲线。由图5-12(b)可知:一阶RL电路的零状态响应，是由零值按指数规律向新的稳态值变化的过程，变化的快慢由电路的时间常数τ来决定。上一页下一页返回5.3一阶电路的零状态相应5.3.2一阶电路零状态响应的应用

[例5-7」在图5-12(a)中，已知Us=12V,R=5kΩ,C=1000μF。开关S闭合前，电路处于零状态，t=0时开关闭合，求闭合后的uc和ic。解:

[例5-8」如图5-13(a)所示电路，已知Us=10V,R=10Ω,L=5H，当开关S闭合后，试求:(1)电路到达新的稳定状态时的电流;(2)t=0s和t=+∞时电感上的电压。

上一页下一页返回5.3一阶电路的零状态相应解:(1)电路到达新的稳定状态时，电流也到达稳定，这样有

(2)电路时间常数t=0s时，电感上的电压t=+∞时，，说明电感L相当于开路。上一页返回5.4一阶电路的全响应

在非零状态的电路中，由外施激励和初始储能共同作用产生的响应称为全响应。

图5-13电路中，在开关S闭合前电容已被充电，即uc(0+)=uc(0-)=Uo。t=0时开关闭合，电路与直流电源接通。电路的响应由外施激励Us和初始电压Uo共同作用产生，电路属于全响应。因为电路的激励有两种:一是外施激励;二是储能元件(电容或电感)的初始储根据线性电路的叠加性，即全响应=零输入响应十零状态响应，因此，图5-13电路中的全响应可分解为如图5-13(a)所示电路的零输入响应和图5-13(b)所示电路的零状态响应。电容两端的电压uc(t)的全响应可表示为

下一页返回5.4一阶电路的全响应

可见，求解全响应，即求解电路的零输入响应和零状态响应之和。将式(5-46)改写成另一种形式为

上式中第一项是随时间的增长而稳定存在的分量，称为稳态响应;第二项是随时间增长最终衰减为零的分量，称为暂态响应。则全响应=稳态响应(强制分量)十暂态响应(自由分量)

于是，全响应又可分为稳态响应和暂态响应。全响应无论怎样分解，这都是人为地为了分析方便而作的分解，电路的实质是，换路前的电路处于一种能量状态，换路后电路又处于另一种能量状态，过渡过程就是电路从一种能量状态向另一种能量状态的转换过程。上一页返回5.5一阶电路的三要素法

一阶电路的全响应可分解为零输入响应和零状态响应之和，但这两种求解都比较麻烦，下面介绍一种求解一阶电路暂态过程的简便方法—三要素法。由式(5-47)，一阶电路的全响应为

其一般形式为

一阶线性电路的全响应由稳态值f(∞)、初始值f(0+)和时间常数τ三个特征值组成，这些特征值称为一阶电路的三要素。

1.三要素法公式对于任何一阶电路中任意处的电压或电流，均可用三要索法进行分析，三要素法公式为

式中，f(t)为电路中任意处的电压或电流;f(∞)为电压或电流的稳态值;下一页返回5.5一阶电路的三要素法f(0+)为换路后一瞬间电压或电流的初始值;τ为电路的时间常数。

2.三要素法解题步骤

(1)确定电压或电流初始值f(0+)

关键:利用L,C元件的换路定律，作出t=0+的等效电路。

(2)求电压或电流的稳态值f(∞)

关键:电路达到稳态时L用短路线代替，C视为开路。

(3)确定时间常数τ值

RC电路中，τ=RC;RL电路中，τ=L/R。其中，R是将电路中所有独立源置零后，从C或L两端看进去的等效电阻(即戴维南等效电路中的Ro)。

3.三要素法的应用三要素法公式不仅适用于全响应，也适用于零输入响应或零状态响应，具有普遍适用性。上一页下一页返回5.5一阶电路的三要素法[例5一9]某供电局向距离L=20km的一企业供电，供电电压为10kV，在切断电源瞬间，电网上遗留有的电压，已知电网对地绝缘电阻为800MΩ，电网的分布电容为Co=0.006μF/km。试求:(1)拉闸1min后，电网对地的残余电压为多少?(2)拉闸10min后，电网对地的残余电压又为多少?

解:电网拉闸后，储存在电网分布电容上的电能逐渐通过对地绝缘电阻放电，本题是一个RC串联电路的零输入响应问题。电网总电容为上一页下一页返回5.5一阶电路的三要素法

[例5-10」在图5-14(a)中，已知电路源已处于稳态，R1=R3=10Ω，R2=40Ω，L=0.1H，Us=180V。t=0时开关S闭合，求开关闭合后电感中的电流iL(t)。解:(1)求iL(t)的初始值，如图5-14(b)上一页下一页返回5.5一阶电路的三要素法(2)求iL(t)稳态值，如图5-14(c)，稳态时电感相当短路，其电流等于流过R2的电流。根据分流公式上一页下一页返回5.5一阶电路的三要素法(3)求时间常数τ

先求L两端的等效电阻:电压源置零，从电感两端a,b看进去的等效电阻，如图5-14(d)，有则(4)用三要索法公式求iL(t)上一页返回小结一、电路的过渡过程

1.过渡过程电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程，过渡过程也称为暂态过程。

2.过渡过程发生必须满足下列三个条件

(1)电路中至少需要有一个动态元件。

(2)电路需要换路。

(3)换路后的瞬间，电容电压、电感电流值不等于新的稳态值。

3.换路开关的断、合;电路的开、短路;线路结构突变;元件参数变化;激励源改变等。

4.研究过渡过程的意义防止过电压、过电流。下一页返回小结5.研究过渡过程的方法:(1)经典法—解微分方程(时域分析法)。

(2)运算法—拉普拉斯变换(频域分析法);(本书略)(3)数值法—求解微分方程组(计算机辅助分析)。(本书略)二、换路定律

1.内容

(1)若ic为有限值，则换路前后uc,q保持不变

(2)若uL