第01讲 生活中的立体图形（3种题型）（解析版）

第01讲生活中的立体图形（3种题型）一．认识立体图形（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．（3）重点和难点突破：结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．二．点、线、面、体（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．（2）从运动的观点来看点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．（3）从几何的观点来看点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合．（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．三．几何体的表面积（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式①圆柱体表面积：2πR2+2πRh（R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）②圆锥体表面积：πr2+nπ（h2+r2）360（r为圆锥体低圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）③长方体表面积：2（ab+ah+bh）（a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长）【考点剖析】一．认识立体图形（共9小题）1．（2023•石家庄三模）图中的正方体是由第一、第二两部分无缝隙拼接而成的，这两部分分别由3个（阴影部分）、5个同样大小的小正方体粘成，则第二部分所对应的几何体是（）A． B． C． D．【分析】观察正方体，可知第一部分上面有二个小正方体，下面有一个小正方体，根据选项即可得出答案．【解答】解：由正方体和第一部分所对应的几何体可知，第一部分上面有二个小正方体，下面有一个小正方体，第二部分所对应的几何体与选项D相符．故选：D．【点评】本题考查了认识立体图形，找到正方体中，第一部分所对应的几何体的形状是解题的关键．2．（2023•平谷区一模）下面几何体中，是圆柱的为（）A． B． C． D．【分析】根据圆柱体的特征判断即可．【解答】解：A、是圆柱，故此选项符合题意；B、是圆锥，故此选项不符合题意；C、是三棱锥，故此选项不符合题意；D、是球体，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键．3．（2022秋•二七区期末）如图中柱体的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】柱体分为圆柱和棱柱，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案．【解答】解：柱体分为圆柱和棱柱，所以图中的柱体有①③④⑤⑥，共5个．故选：C．【点评】本题考查认识立体图形，掌握棱柱、棱锥、球的形体特征是正确判断的前提．4．（2022秋•射洪市期末）下列属于多面体的是（）A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．棱柱【分析】多面体指四个或四个以上多边形所围成的立体图形．【解答】解：A、圆柱有3个面，一个曲面两个平面，不符合题意；B、圆锥有2个面，一个曲面，一个平面，不符合题意；C、球只有一个曲面，不符合题意；D、棱柱至少有5个面，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了认识立体图形，关键点在于：多面体指四个或四个以上多边形所围成的立体图形．5．（2022秋•忠县期末）由大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则该几何体小正方体个数为（）A．7 B．6 C．5 D．4【分析】根据几何体的形体特征进行判断即可．【解答】解：这个几何体是由7个小正方体搭建而成的，故选：A．【点评】本题考查认识立体图形，理解立体图形的搭建方法是正确解答的前提．6．（2023春•栾城区期中）有一种长度单位叫纳米（nm），1nm＝10﹣9m，现用边长为1纳米的小正方体堆垒成边长为1cm的正方体要用多少个边长为1纳米的小正方体？【分析】首先利用nm表示出1cm的长度，然后利用体积公式即可求得．【解答】解：∵1nm＝10﹣9m＝10﹣7cm，∴1cm＝107nm．∴1cm3＝（107）3nm3＝1021nm3．答：要用1021个．【点评】本题考查了幂的运算以及科学记数法，正确理解幂的意义是关键．7．（2022秋•定南县期末）如（1）、（2）、（3）图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，请在原图上画出所添的面．【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【解答】解：如图，添加一个正方形，折叠后才能围成一个正方体，，，，．【点评】本题考查展开图折叠成几何体的知识，注意掌握只要有“田”“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．8．（2022秋•兰溪市期末）放置在水平地面上两个无盖（朝上的面）的长方体纸盒，大小、形状如图．小长方体的长、宽、高分别为：a（cm）、b（cm）、c（cm）；大长方体的长、宽、高分别为：1.5a（cm）、2b（cm）、2c（cm）．（1）做这两个纸盒共需要材料多少平方厘米？（2）做一个大的纸盒比做一个小的纸盒多多少平方厘米材料？【分析】（1）根据长方体表面积的计算方法列式计算即可；（2）用大长方体的表面积减去小长方体的表面积即可．【解答】解：（1）小长方体的表面积为：（ab+ac+bc）×2＝（2ab+2ac+2bc）（cm2），大长方体的表面积为：（3ab+3ac+4bc）×2＝（6ab+6ac+8bc）（cm2）；（2ab+2ac+2bc）+（6ab+6ac+8bc）＝（8ab+8ac+10bc）（cm2）；答：做这两个纸盒共需要材料（8ab+8ac+10bc）平方厘米；（2）（6ab+6ac+8bc）﹣（2ab+2ac+2bc）＝（4ab+4ac+6bc）（cm2）答：做一个大的纸盒比做一个小的纸盒多（4ab+4ac+6bc）平方厘米材料．【点评】本题考查认识立体图形，表面积的计算方法，掌握立体图形的形体特征和表面积的计算方法是正确解答的前提．9．（2022秋•碑林区校级期末）一个长方体合金底面长为80、宽为60、高为100，现要锻压成新的长方体，其底面边长是40的正方形，则新长方体的高为多少？【分析】设新的长方体的高为x，利用钢锭的体积不变列方程40×40•x＝80×60×100，然后解一元一次方程即可．【解答】解：设长方体钢锭的高为x，根据题意得40×40•x＝80×60×100，解得x＝300．答：新长方体的高为300．【点评】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．二．点、线、面、体（共8小题）10．（2022秋•海陵区校级期末）观察图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的立体图形是（）A． B． C． D．【分析】根据面动成体的原理以及空间想象力即可得到答案．【解答】解：由图形可以看出，左边的长方形的竖直的两个边与已知的直线平行，因而这两条边旋转形成两个柱形表面，因而旋转一周后可能形成的立体图形是一个管状的物体．故选：D．【点评】本题考查了点、线、面、体，关键要注意观察，培养空间想象力．11．（2022秋•高邮市期末）已知一个长方形的长、宽分别是4cm、3cm，若以这个长方形的一条边为轴旋转一周，则形成的立体图形的体积是（）A．36πcm3 B．24πcm3 C．24πcm3或48πcm3 D．36πcm3或48πcm3【分析】分情况讨论绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积和绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积．【解答】解：绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×32×4＝36π（cm3），绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积：π×42×3＝48π（cm3），故选：D．【点评】本题考查求圆柱的体积，解题的关键是分情况进行讨论．12．（2022秋•荔湾区期末）如图平面图形绕轴旋转一周，得到的立体图形是（）A． B． C． D．【分析】根据点、线、面、体的关系进行判断即可．【解答】解：由“面动成体”可知，将直角三角形绕着一条直角边旋转一周，所得到的几何体是圆锥．故选：A．【点评】本题考查点、线、面、体，掌握“面动成体”是正确判断的前提．13．（2022秋•香洲区期末）下列平面图形绕虚线旋转一周，能形成如图这种花瓶形状的几何体的是（）A． B． C． D．【分析】根据立体图形的形状，平面图形旋转的性质即可求解．【解答】解：A．旋转后不是所需立体图形，故不符合题意；B．旋转后是圆柱体，不是所需立体图形，故不符合题意；C．旋转后是所需立体图形，符合题意；D．旋转后不是所需立体图形，故不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查点、线、面、体，理解并掌握平面图形旋转的性质，立体图形的形状特点是解题的关键．14．（2022秋•常州期末）如图，长方形的相邻两边的长分别为x、y，将它分别绕相邻两边旋转一周．（1）两次旋转所形成的几何体都是圆柱；（2）若x+y＝a（a是常数），分别记绕长度为x、y的边旋转一周的几何体的体积为Vx、Vy，其中x、Vx、Vy的部分取值如表所示：x123456789VxmVy96πn①通过表格中的数据计算：a＝10，m＝128π，n＝144π；②当x逐渐增大时，Vy的变化情况：先增大，后减小；③当x变化时，请直接写出Vx与Vy的大小关系．【分析】（1）根据圆柱的定义可知，旋转所得的几何体是圆柱；（2）圆柱的体积＝底面积×高，解答即可；【解答】解（1）根据圆柱的定义可知，旋转所得的几何体是圆柱．故答案为：圆柱；（2）圆柱的体积＝底面积×高，①当x＝4时，Vy＝πx2y＝96π，解得y＝6，此时x+y＝10，所以a＝10；当x＝2时，y＝10﹣2＝8，Vx＝πy2x＝π×8×8×2＝128π＝m；当x＝6时，y＝10﹣6＝4，Vy＝πx2y＝π×6×6×4＝144π＝n；故答案为：10，128π，144π；②V＝πx2y＝πx2（10﹣x），当x逐渐增大时，V的变化为：先增大，后减小．故答案为：先增大，后减小；③Vy＝πx2у＝πх2（10﹣x），Vx＝πу2х＝π（10﹣x）2x，当Vy≥VX时，x2（10﹣x）≥π（10﹣x）2x，解得x≥5，当Vy＜Vx时，πx（10﹣x）＜π（10﹣x）2x，解得0＜x＜5，综上所述，x≥5时，Vy≥VX，；0＜x＜5时，Vy＜Vx．【点评】本题考查了点、线、面、体，掌握圆柱的体积＝底面积×高是解题的关键．15．（2022秋•鄄城县期末）如图，阴影图形是由直角三角形和长方形拼成的，绕虚线旋转一周可以得到一个立体图形，求得到立体图形的体积．（V圆柱＝πr2h，V圆锥＝πr2h，r2＝r×r，结果保留π）．【分析】根据面动成体的原理可知，图中阴影图形旋转一周后得到的立体图形为一个圆锥和一个圆柱的组合体．【解答】解：图中阴影图形旋转一周后得到的立体图形为一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆柱的体积等于π×32×4＝36π，圆锥的体积等于×π×32×2＝6π，所以立体图形的体积等于36π+6π＝42π．【点评】本题考查了面动成体的相关知识，解题关键是在于掌握圆柱和圆锥的体积公式．16．（2022秋•滕州市校级期末）把一个长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周能得到一个圆柱体，那么把一个长为4cm，宽为3cm的长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周后，得到的圆柱体的体积是多少？（结果保留π）【分析】分两种情况进行解答，即绕长边旋转和短边旋转，分别得出底面半径和高即可．【解答】解：绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×32×4＝36π（cm3），绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×42×3＝48π（cm3），答：得到的圆柱体的体积是36πcm3或者48πcm3．【点评】本题考查点、线、面、体，掌握“圆柱体体积计算方法”是解决问题的关键．17．王老师在给五年级同学介绍“立体图形”时，将下图中的连线题设置为课堂竞赛活动，组织A、B两班各45人参加，规则如图．在活动中，所有同学均按要求一对一连线，无多连少连．图中各个花瓶的表面可以看做是由哪个平面图形绕虚线旋转一周而得到？请一对一连线．（1）分数5，10，15，20中，每个人的得分都不可能是15分；（2）A班有3人全错，其余参赛同学中，满分人数是未满分人数的2倍；B班所有参赛同学都得分，最低分人数的2倍与其他未满分人数之和等于满分人数．①问A班有多少人得满分？②若A班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，问哪个班的总分高？【分析】（1）根据得分规则判断出不可能得的分数；（2）①设A班未满分的人数是x人，则满分的人数是2x人，列方程即可；②分别计算出两班得分的情况计算出两个班的总分，再比较即可．【解答】解：（1）∵共有4条线，可能全部连错，得0分，可能1条线对，3条线错，得5分，可能2条线对，2条线错，得10分，可能3条线对，则第4条也对，得20分，∴每人得分不可能是15分；故答案为：15；（2）①设A班未得满分的有x人，得满分的有2x人，依题意得：x+2x＝45﹣3，解得x＝14，2x＝28．答：A班得满分的有28人；②∵A班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，∴得5分的和得10分的都是7人，∴A班总分为：28×20+7×10+7×5＝665（分）；设B班最低得分a人，其余未满分b人，则满分人数为（2a+b）人，∴总分为：5a+10b+20（2a+b）＝（45a+30b）（分），∵a+b+2a+b＝3a+2b＝45，∴B班总分为：45a+30b＝15（3a+2b）＝675（分）＞665（分），∴B班总分高．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用，线动成面，找到等量关系列出方程是解题关键．三．几何体的表面积（共5小题）18．（2022秋•兴化市校级期末）如图，由27个相同的小正方体拼成一个大正方体，从中取出一块小正方体，剩下的图形表面积最大的取法为（）A．取走①号 B．取走②号 C．取走③号 D．取走④号【分析】弄清取出小正方体后，其剩下的图形的表面积与原正方体的面表积的关系即可．【解答】解：取走①号或③号剩下的图形表面积不变，取走②号剩下的图形表面积增大两个小正方体的面，取走④号剩下的图形表面积增大4个小正方体的面，故选：D．【点评】本题主要考查几何体的表面积，关键是挖去的正方体中相对的面的面积都相等．19．（2022秋•崂山区校级期末）由7个相同的棱长为1的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为（）A．23 B．24 C．26 D．28【分析】从6个方向数正方形的个数，再加上层中间的两个表面，从而得到几何体的表面积．【解答】解：它的表面积＝5+5+5+5+3+3+2＝28．故选：D．【点评】本题考查了几何体的表面积：几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）．20．（2022秋•黄埔区校级期末）棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积为（）A．36cm2 B．33cm2 C．30cm2 D．27cm2【分析】几何体的表面积是几何体正视图，左视图，俯视图三个图形中，正方形的个数的和的2倍．【解答】解：正视图中正方形有6个；左视图中正方形有6个；俯视图中正方形有6个．则这个几何体中正方形的个数是：2×（6+6+6）＝36个．则几何体的表面积为36cm2．故选：A．【点评】本题考查的是几何体的表面积，这个几何体的表面积为露在外边的面积和底面之和．21．（2022秋•宜阳县期末）如图是由四个棱长为1的正方体堆成的物体，它的表面积为18．【分析】将四个棱长为1的正方体拼成一个组合体，根据图形求出表面积即可．【解答】解：如图，表面积为：1×1×6×4﹣1×1×2×3＝24﹣6＝18．故答案为：18．【点评】本题考查几何体表面积的计算，掌握不同拼法的表面积的变化是正确解答的关键．22．（2022秋•高新区期末）三个棱长为2厘米的正方体，拼成一个长方体，表面积减少了8平方厘米．【分析】三个边长为2厘米的正方体，拼成一个长方体，表面积少了4个正方体的面，据此计算即可．【解答】解：棱长为2厘米的三个正方体拼成一个长方体，表面积减少4个面的面积，4×22＝16（平方厘米）．故答案为：16．【点评】本题主要考查了正方体的表面积公式，熟知拼成一个长方体，表面积少了4个正方体的面是解答本题的关键．【过关检测】1．如图所示的几何体的面数为（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据图形可知此图形为三棱柱，再利用三棱柱的特点即可得到答案．【解答】解：由图可知：此图为三棱柱，所以有2个底面，3个侧面，共有5个面．故选：C．【点评】本题主要考查了立体图形的特点，认识立体图形的特点是解题的关键．2．如图所示的立体图形是由个面组成的，其中有个平面，有个曲面；图中共有条线，其中直线有条，曲线有条．【分析】观察图形是半圆柱，即可得到答案．【解答】解：立体图形是由4个面组成的，其中有3个平面，有1个曲面；图中共有6条线，其中直线有4条，曲线有2条．故答案为：4，3，1，6，4，2．【点评】本题考查立体图形相关的概念，解题的关键是仔细观察已知图形，掌握相关概念．3．三棱柱有个面，条棱．【分析】根据三棱柱的特征即可解答．【解答】解：三棱柱有5个面，9条棱，故答案为：5，9．【点评】本题考查了认识立体图形，熟练掌握三棱柱的特征是解题的关键．4．与九棱锥的棱数相等的是棱柱．【分析】求出九棱锥的棱数，再根据棱柱的特征进行计算即可．【解答】解：九棱锥的棱的条数为9+9＝18（条），而六棱柱的棱的条数为6+6+6＝18（条），故答案为：六．【点评】本题考查认识立体图形，掌握棱柱、棱锥的形体特征是正确解答的关键．5．求出如图图形的体积．【分析】根据圆锥体积的计算公式进行计算即可．【解答】解：由图形中所标识的数据可知，圆锥的底面半径为6厘米，高为10厘米，∴体积V＝π×62×10＝120π（立方厘米），答：这个圆锥的体积为120π立方厘米．【点评】本题考查认识立体图形，掌握圆锥体积的计算方法是正确解答的前提．6．将如图几何体分类，并说明理由．【分析】根据立体图形的分类：柱体，锥体，球体，可得答案．【解答】解：根据几何体的概念可得，柱体：①正方体，②长方体，③圆柱体，⑥四棱柱，⑦三棱柱；锥体：④圆锥；球体：⑤球．【点评】本题考查了认识立体图形，立体图形分为三大类：柱体，锥体，球体．7．如图，图①所示的几何体叫三棱柱，它有6个顶点，9条棱，5个面，图②和图③所示的几何体分别是四棱柱和五棱柱．（1）四棱柱有个顶点，条棱，个面；（2）五棱柱有个顶点，条棱，个面；（3）那么n棱柱有个顶点，条棱，个面．【分析】根据棱柱的形体特征进行解答即可．【解答】解：由棱柱的形体特征可知：（1）四棱柱有8个顶点，12条棱，6个面；（2）5棱柱有10个顶点，15条棱，7个面；（3）n棱柱有2n个顶点，3n条棱，（n+2）个面；故答案为：（1）8，12，6；（2）10，15，7；（3）2n，3n，（n+2）．【点评】本题考查认识立体图形，掌握棱柱的形体特征是正确解答的前提．8．计算下面圆锥的体积．【分析】根据圆锥的体积解答即可．【解答】解：圆锥的体积：＝（cm3）．【点评】此题考查立体图形，关键是根据圆锥的体积解答．9．如图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线连一连．【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体．即可完成连线．【解答】解：如图所示：【点评】本题考查了点、线、面、体，解决本题的关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体．10．把一个长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周能得到一个圆柱体，那么把一个长为4cm，宽为3cm的长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周后，得到的圆柱体的体积是多少？（结果保留π）【分析】分两种情况进行解答，即绕长边旋转和短边旋转，分别得出底面半径和高即可．【解答】解：绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×32×4＝36π（cm3），绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×42×3＝48π（cm3），答：得到的圆柱体的体积是36πcm3或者48πcm3．【点评】本题考查点、线、面、体，掌握“圆柱体体积计算方法”是解决问题的关键．11．如图所示．（1）如果将图①～⑤的平面图形绕虚线旋转一周，可以得到图Ⅰ～Ⅴ的几何体，请你把有对应关系的平面图形与几何体用线连接起来；（2）在图Ⅰ～Ⅴ的几何体中，有顶点的几何体是，没有顶点的几何体是；（3）图Ⅴ中的几何体由几个面围成？面与面相交成几条线？它们是直的还是曲的？【分析】（1）根据“面动成体”的原理，结合图形特征进行旋转，判断出旋转后的立体图形即可．（2）根据图形特点判断即可；（3）面包括平面和曲面、线包括直线和曲线．【解答】解：（1）如图所示：（2）在图I～Ⅴ的几何体中，有顶点的几何体是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，没有顶点的几何体是Ⅳ、Ⅴ；故答案为：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；Ⅳ、Ⅴ．（3）Ⅴ中的几何体有2个面，其中一个是平面，一个是曲面，面与面相交有一条线，是一条曲线．【点评】本题主要考查的是点、线、面、体、认识几何体，根据平面图形的特点，判断出旋转后的结合体的形状是解题的关键．12．如图，小婉在手工课上做了如图所示的长方体纸盒（尺寸见图，单位：厘米）．（1）做小纸盒比做大纸盒少用料多少平方厘米？（2）当a＝2cm，b＝4cm，c＝1.5cm时，两个纸盒共用料多少？【分析】（1）先算出两个纸盒的表面积，用大纸盒的表面积减去小纸盒的表面积即可得出答案；（2）把a＝2cm，b＝4cm，c＝1.5cm（1）中的结论，把两个纸盒的面积加起来即可．【解答】解：（1）小纸盒的表面积为2×（0.5ab+ac+0.5bc）＝ab+2ac+bc平方厘米，大纸盒的表面积为2×（1.5ab+3ac+2bc）＝3ab+6ac+4bc平方厘米，3ab+6ac+4bc﹣（ab+2