第16讲 重难点02规律探究问题（3种题型60题专练）（解析版）

重难点02规律探究问题（3种题型60题专练）【考点剖析】一．尾数特征（共12小题）1．（2022秋•成都期末）已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，请你推算22023的个位数字是（）A．8 B．6 C．4 D．2【分析】由题意可得2n的末位数字按2，4，8，6四次一循环的规律出现，再计算2023÷4结果的余数即可．【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴2n的末位数字按2，4，8，6四次一循环的规律出现，∵2023÷4＝505…3，∴22022的末位数字是8，故选：A．【点评】此题考查了乘方的尾数规律问题的解决能力，关键是能归纳出问题中尾数循环出现的规律．2．（2022秋•湘桥区校级期末）观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64⋯，则22022的末位数是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据所给数据的规律得出相应结论进而可知正确选项．【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，⋯，∴它们的末位数分别是：2，4，6，8，每四个循环一次，∴2022÷4＝505⋯⋯2，∴22022的末位数是：4．故选：B．【点评】本题考查了数字的变化规律，掌握变化规律得出相应结论是解题的关键．3．（2022秋•碑林区校级期末）计算32023+（﹣2）2023的结果的个位数字是（）A．9 B．5 C．1 D．7【分析】观察已知等式，发现末位数字的循环规律，原式整理后判断即可得到结果．【解答】解：∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，∴末位数字以3，9，7，1循环，∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，∴末位数字以2，4，8，6循环，∵2023÷4＝505……3，∴32023+（﹣2）2023结果的个位数字是17﹣8＝9．故选：A．【点评】此题考查了尾数特征，弄清题中的数字循环规律是解本题的关键．4．（2023春•东莞市期中）计算：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，…归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22014﹣1的个位数字是（）A．1 B．3 C．7 D．5【分析】由21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…而题目中问22014﹣1的个位数字，可以猜想个位数字呈现一定的规律．【解答】解：∵21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，26﹣1＝63，27﹣1＝127，28﹣1＝255…∴由此可以猜测个位数字以4为周期按照1，3，7，5的顺序进行循环，知道2014除以4为503余2，而第二个数字为3，所以可以猜测22014﹣1的个位数字是3．故选：B．【点评】此题主要考查了一个整数的正整数次幂的个位数字有规律，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键．5．（2022秋•嘉峪关校级期末）下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…通过观察，用你所发现的规律，写出22022的个位数字是4．【分析】根据已知幂的结果找出个位数的周期性规律，进而分析判断即可．【解答】解：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，可知，2n的个位数字以“2，4，8，6…”重复出现，2022÷4＝505…2，所以22012的个位数字是4；故答案为：4．【点评】此题主要考查数字的规律探索，根据已知确定数字的周期规律是解题的关键．6．（2022秋•洞口县期中）已知a＝﹣3，b＝4，那么a2022+b2023的末位数字是（）A．3 B．5 C．7 D．无法确定【分析】根据有理数的乘方末位数的变化规律，可快速求解．【解答】解：∵a＝﹣3，∴a2＝9，a3＝﹣27，a4＝81，a5＝243，∴3n的末位数字依次循环为3、9、7、1，∵2022÷4＝505⋯2，∴（﹣3）2022＝32022的末位数字是9，∵b＝4，∴b2＝16，b3＝64，∴bn的末位数字依次循环为4、6，∵2023÷2＝1011⋯1，∴42023的末位数字是4，∴9+4＝13，∴a2022+b2023的末位数字是3，故选：A．【点评】本题主要考查有理数的乘方，需重点注意的是末位数变化的周期性这一特点，即可解决此题．7．（2022秋•鄞州区期中）已知：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，那么22021的个位数字是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】观察21、22、23、24、25、…的个位数字分别为2、4、8、6、2、4、8、6、…，发现每四个为一个周期，所以指数÷4的余数是1，则个位数字为2；余数是2，则个位数字是4；余数是3，则个位数字是8；余数是0，则个位数字是6．【解答】解：2021÷4＝505……1，∴22021的个位数字是2．故选：A．【点评】本题考查尾数特征，观察个位数字特征是解题的关键．8．（2022秋•顺昌县月考）观察下列算式：…，则2+22+23+24+25+?+22022的末位数字是（）A．8 B．6 C．4 D．0【分析】观察末位数字的变化可得依次是：2，6，4，0循环，根据2022÷4＝505⋅⋅⋅2，即可得结果．【解答】解：观察末位数字的变化是：2，6，4，0四个一循环，∵2022÷4＝505⋅⋅⋅2，∴2+22+23+24+25+...+22022的末位数字是6．故选：B．【点评】本题考查了数字的变化规律，掌握末位数字的变化规律是关键．9．（2022秋•南海区期中）2+22+23+⋅⋅⋅+210的结果的末位数字是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】找出21+22+23+24+25+26+⋯2n的末位数字的规律，即可得出结论．【解答】解：21＝2，末位数是2，21+22＝6，末位数是6，21+22+23＝14，末位数是4，21+22+23+24＝30，末位数是0，21+22+23+24+25＝62，末位数是2，21+22+23+24+25+26＝126，末位数是6，…，发现规律：21+22+23+24+25+26+⋯2n的末尾数是2，6，4，0，…连续重复下去，∴2+22+23+⋅⋅⋅+210的末位数是6．故选：C．【点评】本题是数字问题，主要考查了含乘方的有理数混合计算，规律的寻找，找出21+22+23+24+25+26+⋯2n的末位数字的规律是解本题的关键．10．（2022秋•六盘水期中）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22023的个位数字是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据尾数的循环性得出结论即可．【解答】解：由题意知，2n个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现，∵2023÷4＝505……3，∴22023的个位数字与23相同，为8，故选：D．【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据尾数的循环得出结论是解题的关键．11．（2021秋•驿城区校级期中）由31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，那么32017﹣31011的末位数字是6【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2017和1011分别除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．【解答】解：已知31＝3，末位数字为3，32＝9，末位数字为9，33＝27，末位数字为7，34＝81，末位数字为1，35＝243，末位数字为3，36＝729，末位数字为9，37＝2187，末位数字为7，38＝6561，末位数字为1，…由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，又∵2017÷4＝504…1，1011÷4＝252…3，∴32017的末位数字为3与31011的末位数字为7，则32017﹣31011的末位数字是6，故答案为：6．【点评】此题考查尾数特征及规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键．12．（2021•武穴市校级模拟）观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，3＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…解答下列问题：3+32+33+34+…+32012的末尾数字是0．【分析】根据31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…得出3+32+33+34…+32013的末位数字相当于：3+9+7+1+…+1，进而得出末尾数字．【解答】解：∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…∴末尾数，每4个一循环，∵2012÷4＝503，∴3+32+33+34…+32013的末尾数字相当于：3+9+7+1+…+1＝（3+9+7+1）×503＝10060的末尾数为0，故答案为：0．【点评】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字变化规律是解题关键．二．规律型：数字的变化类（共35小题）13．（2022秋•河池期末）对于数133，规定第一次操作为1*+3*+3*＝55，第二次操作为5*+5*＝250，按此规律操作下去，则第2022次操作后得到的数是（）A．250 B．133 C．55 D．24【分析】按照规则，每次操作即是对上一次操作得到的数的每个数字求立方和，求出第三次操作后的得数为133与开始相同，即每三次为一个循环．由于2022能被3整除，故2022次操作后与第三次操作后得数相同．【解答】解：第一次操作：1*+3*+3*＝55，第二次操作：5*+5*＝250，第三次操作：23+53+03＝133，∴三次操作后是一个循环∵2022÷3＝674，即2022被3整除，∴2022次操作后的数与第三次操作后的得数相同，为133，故选：B．【点评】本题考查了数字的变化美，解题关键是读懂每次操作的具体做法，并准确计算出下一次操作的数，从而发现规律．14．（2022秋•于洪区期末）我们知道若干个相同数相加可以用乘法来计算，现在我们来研究若干个相同数相减．我们规定：（n为正整数），例如：，F（﹣1，4）＝（﹣1）﹣（﹣1）﹣（﹣1）﹣（﹣1）＝2．根据上述信息完成下列问题：（1）请直接填写具体值：①F（2，4）＝2﹣2﹣2﹣2＝﹣4；②＝．③F（a，2）＝0．（2）若F（a，6）＝2，求a的值；（3）若F（﹣2，n）＝10，则直接写出n的值为7．【分析】（1）根据若干个相同数相减的运算法则求解即可；（2）根据若干个相同数相减的运算法则列出方程求解即可；（3）根据以上发现的规律求解即可．【解答】解：（1）①F（2，4）＝2﹣2﹣2﹣2＝﹣4；②；③F（a，2）＝a﹣a＝0；（2）∵F（a，6）＝2，∴a﹣a﹣a﹣a﹣a﹣a＝2，解得；（3）∵F（﹣2，n）＝10，∴，∴，∴﹣2+2（n﹣1）＝10，解得n＝7．【点评】此题考查的是新定义类问题，掌握定义新运算公式、有理数的各个运算法则和一元一次方程的解法是解题关键．15．（2022秋•广州期末）观察下列单项式：2x，﹣4x2，6x3，﹣8x4，…，38x19，﹣40x20，…，回答下列问题：（1）请写出第五项；第六项；（2）根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？（3）请你根据猜想，写出第2019，2020个单项式．【分析】（1）根据题意，得到单项式中系数的规律解题：系数是偶数，奇数项为正，偶数项为负，字母的指数为正整数；（2）根据（1）中规律解题；（3）将n＝2019，n＝20（20分）别代入（2）中解题即可．【解答】解：（1）由题意可知：系数为：2＝（﹣1）2×2×1，﹣4＝（﹣1）3×2×2，6＝（﹣1）4×2×3…∴指数分别是：1，2，3，4，5，6…故第5个单项式是：10x5，第6个单项式是：﹣12x6；（2）第n个单项式为：（﹣1）n+1•2nxn；（3）第2019个单项式4038x2019，第2020个单项式﹣4040x2020．【点评】本题考查单项式规律，掌握相关知识是解题关键．16．（2022秋•射洪市期末）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，﹣2的差倒数是，如果a1＝﹣1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，┉┉以此类推，则a1+a2+a3+…+a2023＝（）A．1009 B．1010 C．1011 D．无法计算【分析】根据题意可以写出前几项，然后即可发现数字的变化规律，然后即可求得所求式子的值，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，a1＝﹣1，a2＝＝，a3＝＝2，a4＝＝﹣1，…，∵2023÷3＝674…1，∴a1+a2+a3+a4+…+a2023＝674×（﹣1++2）+（﹣1）＝1010．故选：B．【点评】本题考查数字的变化类、倒数，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．17．（2022秋•黔江区期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）A．160 B．172 C．170 D．180【分析】首先通过分析找到a与b的关系，然后找到b与18的关系，进而找到x与b和18的关系，即可以得到结果．【解答】解：根据题意可知：4＝2×2，6＝3×2，8＝4×2，…，2＝1+1，3＝2+1，4＝3+1，…，∴18＝2b，a＝b﹣1；∴b＝9，a＝8；又∵9＝（4﹣1）×（2+1），20＝（6﹣1）×（3+1），35＝（8﹣1）×（4+1），…，∴x＝（18﹣1）×（b+1）＝17×10＝170．故选：C．【点评】本题考查数的规律，解题的关键是通过一列数，找到斜对角的关系是本题的突破口，然后再通过乘法的分解即可求出x．18．（2022秋•博兴县期末）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…以此类推，则a7的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【分析】根据题意所给出的运算规律进行计算即可．【解答】解：根据题意可得：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣2，a5＝﹣|a4+4|＝﹣2，a6＝﹣|a5+5|＝﹣3，a7＝﹣|a6+6|＝﹣3，故选：C．【点评】本题考查了求一个数的绝对值，有理数的加法运算，数字的变化规律等知识点，灵活运用相关运算法则是解本题的关键．19．（2022秋•武城县期末）有这样的一列数，第一个数为x1＝﹣1，第二个数为x2＝﹣3，从第三个数开始，每个数都等于它相邻两个数之和的一半（如：x2＝），则x2017等于（）A．﹣2017 B．﹣2019 C．﹣4033 D．﹣4035【分析】根据x2＝，可得x2﹣x1＝x3﹣x2，得出规律，据此求出x2017等于多少即可．【解答】解：∵x2＝，∴x2﹣x1＝x3﹣x2，∵﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，∴xn＝﹣1+（n﹣1）×（﹣2），∴x2017＝﹣1+（2017﹣1）×（﹣2）＝﹣1﹣4032＝﹣4033故选：C．【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，注意观察总结规律，并能正确的应用规律．20．（2022秋•通道县期末）观察一组数据：3，5，7，9，…，那么第n（n是自然数）个数据是（）A．2（n+1） B．2n﹣1 C．2n D．2n+1【分析】观察得出规律，据此求出第n个数即可．【解答】解：观察3，5，7，9，……，每一个数都比前一个数大2，则第n个数是3+（n﹣1）×2＝2n+1，故选：D．【点评】题目主要考查数字的变化类，解题的关键是分析一列数找出规律，按规律求解．21．（2022秋•青白江区期末）将正整数1至2022按一定规律排列如下表：若把阴影方框内最中间的数设为a，则阴影内5个数的总和我们可以表示为5a．现将表中带阴影的方框上下左右移动时，则方框所框住的五个数的总和（）A．大于5a B．等于5a C．小于5a D．不能确定【分析】当带阴影的方框上下左右移动时，仍设中间数为a，则另外4个数分别为a﹣2、a﹣1、a+1，a+2，再把这五个数相加，即可得出答案．【解答】解：当带阴影的方框上下左右移动时，仍设中间数为a，则另外4个数分别为a﹣2、a﹣1、a+1，a+2，∴五个数之和为（a﹣2）+（a﹣1）+a+（a+1）+（a+2）＝5a．故选：B．【点评】本题考查了列代数式以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出算式是解题的关键．22．（2022秋•市中区期末）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为5，第1次运算结果输出的是8，返回进行第二次运算输出的是4，…，则第2023次输出的结果是（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】把x＝5代入程序中计算，依此类推得到循环规律，即可得出第2023次输出的结果．【解答】解：把x＝5代入得：5+3＝8，把x＝8代入得：×8＝4，把x＝4代入得：×4＝2，把x＝2代入得：×2＝1，把x＝1代入得：1+3＝4，把x＝4代入得：×4＝2，…，∴从第2次开始，输出结果以4，2，1这三个数不断循环出现，∵（2023﹣1）÷3＝674，∴第2022次输出的结果是1．故选：A．【点评】本题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，按照程序框图依次运算得出循环规律是解题的关键．23．（2022秋•婺城区期末）已知代数式（a+4）x3+6x2﹣2x+5是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b．（1）a＝﹣4，b＝6．（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2023次时，点P所对应的数为﹣1016．（3）若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动．动点D从原点开始以每秒m（m＞0）个单位长度的速度向左运动，当点D与点A重合时，点D停止运动．在运动过程中，2AD﹣BD的值始终保持不变，求m的值．【分析】（1）由题意直接求解；（2）根据点的运动特点，可得﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+⋯﹣2021+2022＝﹣4+1011＝1007；（3）当点D向左运动时，当点D向右运动时，分别进行求解即可得出结论．【解答】解：（1）∵代数式（a+4）x3+6x2﹣2x+5是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，∴a+4＝0，b＝6，∴a＝﹣4，b＝6，故答案为：﹣4，6；（2）依题意知：点P第一次运动到P1对应的数为﹣5，点P1第一次运动到P2对应的数为﹣3，点P2第一次运动到P3对应的数为﹣6，…即﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+⋯﹣2021+2022﹣2023＝﹣4﹣1012＝﹣1016，即点P对应的数为：﹣1016，（3）依题意，运动后点A对应的数为﹣4﹣2t，点B对应的数为6+3t，①当点D向左运动时，点D对应的数为﹣mt点B到D的距离：BD＝mt+6+3t，点A到D的距离：AD＝﹣mt+4+2t，2AD﹣BD＝2（﹣mt+4+2t）﹣（mt+6+3t）＝﹣2mt+8+4t﹣mt﹣6﹣3t＝（﹣3m+1）t+2，当2AD﹣BD的值始终固定，则﹣3m﹣1＝0，；②当点D向右运动时，点D对应的数为mt，点B到D的距离：BD＝6+3t﹣mt，点A到D的距离：AD＝mt+4+2t，2AD﹣BD＝2（mt+4+2t）﹣（6+3t﹣mt）＝2mt+8+4t﹣6﹣3t+mt＝（3m+1）t+2，当2AD﹣BD的值始终固定，则3m+1＝0，，因为m＞0，不符合题意，舍去，综上所述，当2AD﹣BD的值始终固定，点D向左运动，m的值为．【点评】本题考查整式的加减运算和数轴，根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是关键．24．（2022秋•红河县期末）由乘方的定义可知：an＝a×a×a×…×a（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：22×32＝（2×2）×（3×3）＝4×9＝36＝（2×3）223×33＝（2×2×2）×（3×3×3）＝8×27＝216＝（2×3）325×35＝（2×2×2×2×2）×（3×3×3×3×3）＝32×243＝7776＝（2×3）5（1）52×62＝900；（2）m2×n2＝（mn）2；（3）计算：．【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；（2）分析所给的等式的形式，不难求解；（3）利用（2）的规律进行求解即可．【解答】解：（1）52×62＝（5×6）2＝302＝900；故答案为：900；（2）m2×n2＝（mn）2；故答案为：（mn）2；（3）＝（﹣2）2021×（﹣）2021×（﹣）＝[﹣2×（﹣）]2021×（﹣）＝12021×（﹣）＝1×（﹣）＝﹣．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是分析清楚所给的式子中存在的规律．25．（2022秋•中原区期末）如图所示的运算程序中，如果开始输入的x值为﹣24，我们发现第1次输出的结果为﹣12．第2次输出的结果为﹣6，…．则第2023次输出的结果为（）A．﹣6 B．﹣3 C．﹣24 D．﹣12【分析】先算出前几个的结果，找到规律，再求解．【解答】解：第1次输出的结果为﹣12，第2次输出的结果为﹣6，第3次输出的结果为﹣3，第4次输出的结果为﹣6，……．（2023﹣1）÷2＝1011，∴第2023次输出的结果为﹣3，故选：B．【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．26．（2022秋•丰泽区校级期末）将数组中的3个数分别求出各数的相反数与1和的倒数，第一次操作后得到的结果组成的数组记为{a1，a2，a3}，第二次操作是将数组{a1，a2，a3}．再次重复上次操作方式得到新的数组{a4，a5，a6}，……，如此重复操作，最后得到数组{a211，a212，a213}．则a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+a211+a212+a213的值为（）A．﹣2 B．﹣9 C．﹣ D．﹣3【分析】根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解．【解答】解：由题意得：a1＝＝2，a2＝，a3＝＝，a4＝，a5＝，a6＝，a7＝，a8＝，a9＝，a10＝，…，则每3次操作，相应的数会重复出现，∵a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9＝2+＝﹣，∵213÷3÷3＝23...2，∴a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+a211+a212+a213＝﹣×24﹣（++）＝﹣3．故选：D．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律．27．（2022秋•温州期末）如图1是一根起点为0且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成如图2，弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是0，第二个数是12，第三个数是42，…，依此规律，落在虚线上的第五个点对应的数是（）A．90 B．96 C．150 D．156【分析】根据每圈上数字特征，找到规律求解．【解答】解：第1个数为0，第2个数为：2+4+6＝12，第3个数为：12+8+10+12＝42，第4个数为：42+14+16+18＝90，第5个数为：90+20+22+24＝156，故选：D．【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．28．（2022秋•太仓市期末）将正奇数按如表排成7列：第1列第2列第3列第4列第5列第6列第7列第1行1357911第2行232119171513第3行252729313335第4行474543413937第5行495153555759………67656361若2023在第m行第n列，则m+n＝（）A．173 B．174 C．338 D．339【分析】观察图表，得出图表的规律，根据2023的位置来推算m，n．【解答】解：首先，从图表观察，每一行都有6个数，且奇数和偶数都是从小到大排列，∵2023＝2x﹣1，x＝1012，1012÷6＝168……4，所以2023在第169行从左往右第4个数（即第5列），m+n＝169+5＝174，故选：B．【点评】本题考查数字规律，会用2x﹣1表示奇数，并且据此推断某个奇数的位置．29．（2022秋•邹平市期末）如图，将正偶数排成5列，则根据图中的排列规律，偶数2022应在（）1列2列3列4列5列1行24682行161412103行18202224………2826A．第506行，第2列 B．第506行，第4列 C．第253行，第2列 D．第253行，第4列【分析】根据题意得到每一行是4个偶数，奇数行从小到大排列，从第二列开始到第五列结束，有四个数；偶数行从大到小排列，从第一列开始到第四列结束，有四个数；从而可以得到偶数2022应在第几行，第几列．【解答】解：由表格可知：奇数行从小到大排列，从第二列开始到第五列结束，有四个数，偶数行从大到小排列，从第一列开始到第四列结束，有四个数．又∵2022＝2×1011，∴2022是第1011个偶数．∵1011÷4＝252⋯⋯3，∴2022在第253行，第4列．故选：D．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现表格中数字的变化特点．30．（2022秋•将乐县期末）若x1，x2，x3，……，x2022是2022个由1和﹣1组成的数，且满足x1+x2+x3+…+x2022＝100，则的值为（）A．2122 B．2422 C．3844 D．4244【分析】根据完全平方公式展开，整理汇总即可解得．【解答】解：＝＝2022﹣2（x1+x2+x3+⋅⋅⋅+x2022）+2022＝2022﹣200+2022＝3844，故选：C．【点评】此题考查了完全平方公式，解题的关键是熟悉完全平方公式．31．（2022秋•永春县期末）如图，有这么一个数阵，将，，，，…，，…作为第一行，相邻两个数相减作为第二行，以此类推．则第3行前8个数之和为（）A． B． C． D．【分析】根据第3行的前几个数找到规律，第n个数为，利用裂项求和方法即可求解．【解答】解：第3行的第1个数为：，即，第2个数为：，即，第3个数为：，即，⋯，第n个数为：，∴第8个数为：，∴第3行前8个数之和为＝＝＝，故选：B．【点评】本题主要考查了数字的变化规律，根据已知归纳规律，运用规律是解答此题的关键．32．（2022秋•定南县期末）如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…，则数字“2022”在（）A．射线OA上 B．射线OB上 C．射线OC上 D．射线OF上【分析】分析图形，可得出各射线上数字的特点，再看2016符合哪条射线，即可解决问题．【解答】解：由图可知射线OF上的数字为6n，射线OA上的数字为6n+1，射线OB上的数字为6n+2，射线OC上的数字为6n+3，射线OD上的数字为6n+4，射线OE上的数字为6n+5．∵2022÷6＝337，∴2022在射线OF上．故选：D．【点评】本题考查数字的变化规律；能够通过所给图例，找到数字的循环规律是解题的关键．33．（2023春•仪征市期中）找规律：观察算式13＝113+23＝913+23+33＝3613+23+33+43＝100（1）按规律填空13+23+33+43+…+103＝2025；13+23+33+43+…+n3＝（）2；（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）【分析】（1）通过观察可得13+23+33+43+…+n3＝（）2，即可求解；（2）由113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）﹣（13+23+33+43+…+103），再结合（1）所得的规律进行运算即可．【解答】解：（1）∵13＝1，13+23＝9，13+23+33＝36，13+23+33+43＝100，∴13+23+33+43+…+103＝（）2＝3025，∴13+23+33+43+…+n3＝（）2，故答案为：3025，（）2；（2）由（1）13+23+33+43+…+503＝（25×51）2＝1625625，13+23+33+43+…+103＝（5×11）2＝3025，∴113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）﹣（13+23+33+43+…+103）＝1625625﹣3025＝1622600．【点评】本题考查数字的变化规律，通过所给的式子，探索出式子运算结果的规律，并能准确计算是解题的关键．34．（2023春•赣榆区期中）观察下列有规律的三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64……；0，6，﹣6，18，﹣30，66……；0，12，﹣12，36，﹣60，132…；（1）第一行数的第n个数是（﹣2）n；（2）观察第一行和第二行每个对应位置上的数的关系，写出第二行的第n个数是（﹣2）n+2；（3）用含n的式子表示各行第n个数的和；（4）在第二行中，是否存在连续的三个数，且它们的和恰好等于198？若存在，请求出这三个数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据数字变化得出结论即可；（2）根据数字变化得出结论即可；（3）由（1）和（2）得出结论即可；（4）列方程求解即可．【解答】解：（1）由题意知，第一行数的第n个数是（﹣2）n，故答案为：（﹣2）n；（2）由（1）知，第二行每个对应位置上的数都比第一行大2，∴第二行的第n个数是（﹣2）n+2，故答案为：（﹣2）n+2；（3）由题意知，各行第n个数的和为：（﹣2）n+（﹣2）n+2+2×[（﹣2）n+2]＝2×（﹣2）n+2+2×（﹣2）n+4＝4×（﹣2）n+6＝（﹣2）n+2+6；（4）存在，理由如下：由题意得：（﹣2）n+2+（﹣2）n+1+2+（﹣2）n+2+2＝198解得：n＝6，∴（﹣2）n+2＝66，（﹣2）n+1+2＝﹣126，（﹣2）n+2+2＝258，即这三个数分别为：66，﹣126，258．【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据表中数字变化规律得出每行第n个数字的代数式是解题的关键．35．（2022秋•金华期末）如图1，从大拇指开始，按食指、中指、无名指、小指，再回到大拇指的顺序，依次数正整数1，2，3，4，5…．（1）当第5次数到中指时，这个数是23．（2）当数到2023时，表示的是哪一个手指？说明相应理由．（3）若改变顺序，按大拇指、食指、中指、无名指、小指、无名指、中指…的顺序，如图2，当数到2023时，表示的是哪一个手指？说明相应理由．【分析】（1）根据题意可知每5个数为一个循环，第5次数到中指，则循环了4次，然后再从大拇指数到中指，据此求解即可；（2）根据题意可知每5个数为一个循环，据此求解即可；（3）根据题意可知从2开始，每8个数为一个循环，据此求解即可．【解答】解：（1）由题意得，当第5次数到中指时，这个数是5×4+3＝23，故答案为：23；（2）数到2023时，表示的是中指，理由如下：由题意得，每5个数为一个循环，∵2023÷5＝404…3，∴数到2023时与数到3的手指一样，∴数到2023时，表示的是中指；（3）数2023对应的手指为食指，理由如下：由题意可知，从2开始，每8个数为一个循环，∵（2023﹣1）÷8＝252…7，∴数2023与数7对应的手指一样，∴数2023对应的手指为中指．【点评】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．36．（2022秋•源城区校级期末）已知a是一个正整数，记G（x）＝a﹣x+|x﹣a|．若G（1）+G（2）+G（3）+…+G（2019）＝90，则a的值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】根据绝对值的性质得到当x≥a时，G（x）＝0，当x＜a时，G（x）＝a﹣x+|x﹣a|＝2（a﹣x），于是得到结论．【解答】解：∵当x≥a时，G（x）＝0，当x＜a时，G（x）＝a﹣x+|x﹣a|＝2（a﹣x），当a＝9时，x≥9时，G（x）＝0，当x＜9时，G（x）＝a﹣x+|x﹣a|＝2（a﹣x）＝2（9﹣x），∴G（1）+G（2）+G（3）+…+G（2019）＝G（1）+G（2）+G（3）+…+G（9）＝2（9﹣1）+2（9﹣2）+2（9﹣3）+…+2（9﹣8）＝2（8+7+6+…+1）＝72，不符合题意；当a＝10时，x≥10时，G（x）＝0，当x＜10时，G（x）＝a﹣x+|x﹣a|＝2（a﹣x）＝2（10﹣x），∴G（1）+G（2）+G（3）+…+G（2019）＝G（1）+G（2）+G（3）+…+G（10）＝2（10﹣1）+2（10﹣2）+2（10﹣3）+…+2（10﹣9）＝2（9+8+7+6+…+1）＝90，∴a＝10，故选：C．【点评】此题考查了解一元一次方程，以及绝对值，弄清题意是解本题的关键．37．（2022秋•河东区期末）根据图中数字的规律，则x+y的值是（）A．729 B．550 C．593 D．738【分析】观察发现，图中第二行左边的数比第一行数的平方大1，第二行右边的数＝第二行左边的数×第一行的数+第一行的数，依此规律先求x，再求y即可．【解答】解：∵5＝22+1，12＝5×2+2；17＝42+1，72＝17×4+4；37＝62+1，228＝37×6+6；∴x＝82+1＝65，y＝65×8+8＝528，x+y＝65+528＝593．故选：C．【点评】考查了规律型：数字的变化类，关键是由图形得到第二行左边的数比第一行数的平方大1，第二行右边的数＝第二行左边的数×第一行的数+第一行的数．38．（2022秋•惠州期末）将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6……按如图所示进行排列，则2022应排在（）A．A位置 B．B位置 C．D位置 D．E位置【分析】根据图中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以求得2022应排在哪个位置，本题得以解决．【解答】解：由图可知，每个凸起对应5个数字，这些数字的奇数都是负数，偶数都是正数，∵（2022﹣1）÷5＝2021÷5＝404......1，∴2022应排在A位置，故选：A．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出2022所在的位置．39．（2022秋•平泉市期末）如表，从左向右依次在每个小格子中都填入一个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15．已知第3个数为7，第5个数为m﹣1，第8个数为2，第18个数为3﹣2m．7m﹣1尝试：（1）第四格子填2．（2）求m值．应用：求从左到右前61个格子里数的和．发现：试用k（k为正整数）的式子表示出数“7”所在的台阶数．【分析】（1）根据题意，任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15，即4个数为一组循环，列出等式，即可求出第四格子对应的数字；（2）根据题意，任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15，即4个数为一组循环，列出等式，即可求出m的值；应用：由（2）可知，m＝﹣4，则m﹣1＝﹣5，则第1个数字为﹣5，可以得出任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15，即4个数为一组循环，则61÷4＝15⋯1，从左到右前61个格子里数的和为：15×15﹣5＝220；发现：因为数“7”所在的台阶数依次为：第3个台阶、第7个台阶、第11个台阶、第15个台阶......，则用k（k为正整数）的式子表示出数“7”所在的台阶数为：3+（k﹣1）×4，化简即可得出答案．【解答】解：（1）∵任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15，即4个数为一组循环，∴第四个格子对应的数字和第8个格子对应的数字相同，∴第四格子填2，故答案为：2；（2）∵任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15，即4个数为一组循环，∴第1个数和第5个数相同，第2个数和第18个数相同，第4个数和第8个数相同，又∵第18个数为3﹣2m，∴m﹣1+3﹣2m+7+2＝15，∴m＝﹣4，故答案为：﹣4；应用：由（2）可知，m＝﹣4，则m﹣1＝﹣5，则第1个数字为﹣5，∵任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15，即4个数为一组循环，∴61÷4＝15⋯1，∴从左到右前61个格子里数的和为：15×15﹣5＝220；发现：∵数“7”所在的台阶数依次为：第3个台阶、第7个台阶、第11个台阶、第15个台阶.....，∴用k（k为正整数）的式子表示出数“7”所在的台阶数为：3+（k﹣1）×4＝4k﹣1．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据题意，列出等式，求出对应字母的值．40．（2022秋•青神县期末）如图，将1，3，5，7⋯连续的奇数按照这样的样式排列成一个数表，再按照图中阴影部分的样式框取五个数，这样任意框出的五个数，用a，b，c，d，x表示，并按照如图所示排列．（1）若x＝55，则a+b+c+d＝184．（2）用x表示a，b，c，d四个数的和，则a+b+c+d＝4x﹣36．（3）设M＝a+b+c+d+x，判断M的值能否等于2024？并说明理由．【分析】（1）左右相邻的数相差2，上下相邻的数相差12，根据其规律可求出其值；（2）根据其规律可得，c＝x﹣2，d＝x+2，b＝x﹣12，a＝x﹣24，再求a+b+c+d的值即可；（3）不能；M＝5x﹣36＝2024，判断求出x的值是否为奇数，且是否符合数字的变化规律．【解答】解：（1）根据题意有，c＝55﹣2＝53，d＝55+2＝57，b＝55﹣12＝43，a＝43﹣12＝31，∴a+b+c+d＝31+43+53+57＝184，故答案为：184；（2）c＝x﹣2，d＝x+2，b＝x﹣12，a＝x﹣24，∴a+b+c+d＝x﹣2+x+2+x﹣12+x﹣24＝4x﹣36，故答案为：4x﹣36；（3）不能，理由如下：M＝a+b+c+d+x＝4x﹣36+x＝5x﹣36，当5x﹣36＝2024时，解得：x＝412，∵x＝412是偶数，不是奇数，∴M的值不能等于2024．【点评】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出规律再求值是解本题的关键，综合性较强，难度适中．41．（2022秋•泉州期末）如图，在数轴上，点A向右移动1个单位到点B，点B向右移动（n+1）（n为正整数）个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．（1）当n＝1时，A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．①数轴上原点的位置可能在B．A．在点A左侧或在A、B两点之间B．在点C右侧或在A、B两点之间C．在点A左侧或在B、C两点之间D．在点C右侧或在B、C两点之间②若a、b、c中两个数的和等于第三个数，求a的值．（2）将点C向右移动（n+2）个单位得到点D，点D表示有理数d，若a、b、c、d四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，a为整数．请用含n的代数式表示a．【分析】（1）把n＝1代入即可得出AB＝1，BC＝2，再根据a、b、c三个数的乘积为正数即可选择出答案；根据b＝a+1，c＝a+3，a、b、c中两个数的和等于第三个数，求a值即可；（2）分两种情况讨论：当n为奇数时；当n为偶数时；用含n的代数式表示a即可．【解答】解：（1）①把n＝1代入即可得出AB＝1，BC＝2，∵a、b、c三个数的乘积为负数，∴从而可得出在点C右侧或在A、B两点之间；故选：B；②b＝a+1，c＝a+3，当a+a+1＝a+3时，a＝2（舍去），当a+a+3＝a+1时，a＝﹣2（舍去），当a+1+a+3＝a时，a＝﹣4，综上，a＝﹣4．（2）依据题意得，b＝a+1，c＝b+n+1＝a+n+2，d＝c+n+2＝a+2n+4，∵a、b、c、d四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，∴a、b为负，c、d为正，∴a+c＝0或b+c＝0．排除a+b＝0，c+d＝0，b+d＝0（a变分数），a+d＝0（c变原点）四种情况，∴或．【点评】本题考查了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．42．（2022秋•嵩县期末）定义一种新运算“f”：f（n）表示n在运算f作用下的结果．若f（n）＝n2﹣（n﹣1）2表示n在运算f作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：f（1）＝12﹣（1﹣1）2＝1，f（2）＝22﹣（2﹣1）2＝3，f（3）＝32﹣（3﹣1）2＝5，……根据以上定义完成以下问题：（1）计算f（20）的值；（2）计算f（1）+f（2）+f（3）+…+f（20）的值；（3）计算的值．【分析】（1）根据新运算f（n）＝n2﹣（n﹣1）2，令n＝20即可求得f（20）的值；（2）利用新运算f（n）＝n2﹣（n﹣1）2可分别求得f（1）、f（2）、f（3）、…、f（20）的值，代入f（1）+f（2）+f（3）+…+f（20）即可求解；（3）把f（1）、f（2）、f（3）、…、f（20）的值，代入所求的算式计算即可求解．【解答】解：（1）当n＝20时，f（20）＝202﹣（20﹣1）2＝202﹣192＝39；（2）∵f（1）＝12﹣（1﹣1）2＝1，f（2）＝22﹣（2﹣1）2＝3，f（3）＝32﹣（3﹣1）2＝5，……，f（20）＝202﹣（20﹣1）2＝202﹣192＝39∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（20）＝12﹣（1﹣1）2+22﹣（2﹣1）2+32﹣（3﹣1）2+⋯+202﹣（20﹣1）2＝12﹣02+22﹣12+32﹣22+⋯+202﹣192＝﹣02+202＝400；（3）＝＝＝＝＝＝．【点评】本题考查了新运算的有关计算及有理数的混合运算，理解新运算的法则是解题的关键．43．（2022秋•河口区期末）观察下列算式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…．（1）通过观察以上算式，猜想并写出：＝（n为正整数）．（2）直接写出下列算式的结果：++++…++＝．【分析】（1）根据题目中给出的算式，可以写出相应的猜想；（2）根据题目中的算式和所求式子的特点，可以先拆项，然后再计算即可．【解答】解：（1）由题意可得，＝，故答案为：＝；（2）++++…++＝1﹣++…+＝1﹣＝，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．44．（2022秋•惠城区校级期末），，，…，（1）则第10个算式是＝；（2）第n个算式为＝；（3）根据以上规律解答下题：．【分析】（1）由已知等式得出：连续整数乘积的倒数等于较小整数倒数与较大整数的倒数的差，据此可得；（2）利用所得规律求解可得；（3）利用所得规律展开，两两相消求解可得．【解答】解：（1）根据题意知，第10个算式是：，故答案为：，；（2）第n个算式为：；故答案为：，；（3）＝＝＝．【点评】本题考查了数字的变化类题目，解决此类题目的关键是认真观察题目提供的算式，然后从中整理出规律，并利用此规律解题．45．（2022秋•西安期末）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数．从下往上，第1个至第5个台阶上依次标有﹣3，﹣2，﹣1，1，4，且任意相邻五个台阶上数的和都相等．（1）求前5个台阶上的数的和；（2）求第6个台阶上的数x；（3）求从下往上前2023个台阶上的数的和；（4）求第k次出现标“1”所在的台阶数．（用含k的式子表示）【分析】（1）将前5个数字相加可得；（2）根据“相邻五个台阶上数的和都相等”列出方程求解可得；（3）根据“台阶上的数字是每5个一循环”求解可得；（4）由循环规律即可知数“1”所在的台阶数为5k﹣1．【解答】解：（1）由题意得前5个台阶上数的和是﹣3﹣2﹣1+1+4＝﹣1；（2）由题意得﹣2﹣1+1+4+x＝﹣1，解得：x＝﹣3，则第6个台阶上的数x是﹣3；（3）由题意知台阶上的数字是每5个一循环，∵2023÷5＝404…3，∴404×（﹣1）+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）＝﹣410，即从下到上前2022个台阶上数的和为﹣410；（4）∵台阶上的数字是每5个一循环，出现1的台阶数为4，9，14，19…，∴数1所在的台阶数为5k﹣1．【点评】本题主要考查数字的变化规律、有理数的运算、解一元一次方程，解题的关键是根据相邻五个台阶上数的和都相等得出台阶上的数字是每5个一循环．46．（2022秋•广州期末）对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“清湾值”为d．例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“清湾值”为3（1）﹣3和5关于1的“清湾值”为8；（2）若a和2关于1的“清湾值”为4，求a的值；（3）若a0和a1关于1的“清湾值”为1，a1和a2关于2的“清湾值”为1，a2和a3关于3的“清湾值”为1，…，a99和a100关于100的“清湾值”为1①a0+a1的最大值为3；②a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a100的值为5050+100a0或5250﹣100a0．（用含a0的式子表示）．【分析】（1）根据“清湾值”的定义直接列式计算即可；（2）根据“清湾值”的定义可得|a﹣1|+|2﹣1|＝4，再解方程即可；（3）①根据题意列出方程|a0﹣1|+|a1﹣1|＝1，再分为四种情况：当a0≥1，a1≥1时，当a0≥1，a1＜1时，当a0＜1，a1≥1时，当a0＜1，a1＜1时；再根据绝对值的性质，把绝对值方程转化为常规方程进行解答便可；②先根据已知条件求出a1，a2，a3，…，a100的取值范围，再根据绝对值的性质求得a1，a2，a3，…，a100与a0的关系，便可求得结果．【解答】解：（1）﹣3和5关于1的“清湾值”为：|﹣3﹣1|+|5﹣1|＝4+4＝8，故答案为：8；（2）|a﹣n|+|b﹣n|＝d，∵a和2关于1的“清湾值”为4，∴|a﹣1|+|2﹣1|＝4，整理得：|a﹣1|＝3，∴a﹣1＝3或a﹣1＝﹣3，解得：a＝4或a＝﹣2；（3）①根据题意得，|a0﹣1|+|a1﹣1|＝1，分为四种情况：当a0≥1，a1≥1时，有a0﹣1+a1﹣1＝1，则a0+a1＝3；当a0≥1，a1＜1时，有a0﹣1+1﹣a1＝1，则a0﹣a1＝1，得a0+a1＝1+2a1＜3；当a0＜1，a1≥1时，有1﹣a0+a1﹣1＝1，则a1﹣a0＝1，得a0+a1＝1+2a0＜3；当a0＜1，a1＜1时，有1﹣a0+1﹣a1＝1，则a0+a1＝1＜3；由上可知，a0+a1的最大值为3；②∵|a0﹣1|+|a1﹣1|＝1，∴a0，a1都不为负数，分为3种情况，当a0＝0，时a1＝1，a2＝2，•••，a100＝100，此时．当a0＝1时，a1＝0，则，|a1﹣2|+|a2﹣2|≠1，此种情形不存在．当0＜a0＜1时，|a0﹣1|+|a1﹣1|＝1，|a1﹣2|+|a2﹣2|＝1，…，|a99﹣100|+|a100﹣100|＝1，∴1＜a1＜2，2＜a2＜3，…，99＜a99＜100，∴1﹣a0+a1﹣1＝1，即a1﹣a0＝1；2﹣a1+a2﹣2＝1，即a2﹣a1＝1；同理可得：a3﹣a2＝1，…，a100﹣a99＝1，∴a1＝1+a0，a2＝1+a1＝2+a0，a3＝3+a0，…，a100＝100+a0，∴a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a100＝1+a0+2+a0+•••+100+a0＝5050+100a0．当1＜a0≤2，1≤a1＜2时，∴2≤a2＜3，3≤a3＜4，•••，100≤a100＜101，此时a0+a1＝3，a2﹣a1＝1，a3﹣a2＝1，•••，a100﹣a99＝1，∴a1＝3﹣a0，a2＝4﹣a0，•••，a100＝102﹣a0；∴a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a100＝3﹣a0+4﹣a0+•••+102﹣a0＝（3+4+•••+102）﹣100a0＝．＝5250﹣100a0，综上所述：a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a100的值为5050+100a0或5250﹣100a0，故答案为：（3）①3；②5050+100a0或5250﹣100a0．【点评】本题主要考查一元一次方程的综合运算能力，绝对值的化简，理解“清湾值”的概念是解决此题目的关键．47．（2023•蚌山区校级模拟）研究下列算式，你会发现什么规律？1×3+1＝4＝222×4+1＝9＝323×5+1＝16＝424×6+1＝25＝52…（1）请你找出规律并计算7×9+1＝64＝（8）2（2）用含有n的式子表示上面的规律：n（n+2）+1＝（n+1）2．（3）用找到的规律解决下面的问题：计算：＝．【分析】（1）（2）观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，依此得到7×9+1＝64＝82；含有n的式子表示的规律．（3）由（1+）（1+）＝×××知，+…+[1+]＝，利用此规律计算．【解答】解：（1）7×9+1＝64＝82；（2）上述算式有规律，可以用n表示为：n（n+2）+1＝n2+2n+1＝（n+1）2．（3）原式＝＝．故答案为：64，8；n（n+2）+1＝（n+1）2；．【点评】本题考查了有理数的运算，是找规律题，找到+…+[1+]＝××××××…××＝是解题的关键．三．规律型：图形的变化类（共13小题）48．（2022秋•光明区期末）某礼堂的横排座位按下列方式设置，请你根据下表算出座位数为56的排数是（）排数1234…座位数20242832…A．8 B．9 C．10 D．11【分析】通过分析数据可知，后面每加1排，就加四个座位，再通过计算推断得出第n排的座位数．【解答】解：根据表格中数据所显示的规律可知：第1排有16+4＝20个座位，第2排有16+4×2＝24个座位，第3排有16+4×3＝28个座位，第4排有16+4×4＝232个座位，......，故第n排有16+4n个座位，当16+4n＝56时，得n＝10，故选：C．【点评】本题主要考查了图形变化类，根据表格中数据找出规律是解题的关键．49．（2022秋•裕华区期末）如图，用同样大小的黑色和白色棋子按如图所示的规律摆放，第1个图案有1个黑子、4个白子，第2个图案有2个黑子、7个白子，…，按此规律排列下去．（1）第3个图案有3个黑子，10个白子；（2）第n（n为正整数）个图案中有n个黑子，（3n+1）个白子；（用含n的代数式表示）（3）若第n个图案有黑子、白子共101个，请求出n的值．【分析】（1）根据题目出示的图形即可得到答案；（2）根据图形求出第n个图案中黑色和白色棋子；（3）根据题意得出方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）根据题意可得，第1个图案中有1个黑子、白色棋子的个数是：3×1+1＝4，第2个图案中有2个黑子、白色棋子的个数是：3×2+1＝7，第3个图案中有3个黑子、白色棋子的个数是：3×3+1＝10，故答案为：3，10；（2）根据（1）的规律，第n个图案中有n个黑子、白色棋子的个数是：3×n+1＝3n+1，故答案为：n，（3n+1）；（3）由题意得n+3n+1＝101，解得n＝25．【点评】本题考查探索图形的变化规律列代数式、解一元一次方程，解答的关键是发现图形的规律列出代数式．50．（2022秋•平泉市期末）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第⑤个图形中字母“H”的个数是（）A．10 B．12 C．14 D．16【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．【解答】解：第①个图中H的个数为4，第②个图中H的个数为4+2，第③个图中H的个数为4+2×2，第④个图中H的个数为4+2×3＝10，第⑤个图中H的个数为4+2×4＝12，故选：B．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．51．（2023春•江津区期中）观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗，③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，……，按此规律，图形⑦的颗数是（）A．43 B．45 C．41 D．536【分析】设图形n中星星的颗数是an（n为正整数），列出部分图形中星星的个数，根据数据的变化找出变化规律“n2+n﹣1”，依此规律即可得出结论．【解答】解：设图形n中星星的颗数是an（n为正整数），∵a1＝2＝1+1，a2＝6＝（1+2）+3，a3＝11＝（1+2+3）+5，a4＝17＝（1+2+3+4）+7，..．∴an＝1+2+…+n+（2n﹣1）＝+（2n﹣1）＝n2+n﹣1，∴a7＝×72+×7﹣1＝41．故选：C．【点评】本题主要考查了规律型：图形的变化类，根据图形中数的变化找出变化规律是解题的关键．52．（2022秋•上杭县期末）用火柴棒按如图的方式搭三角形组成的图形．（1）填写表格：三角形个数12345…火柴棒根数357911…（2）当三角形的个数是n时，所用的火柴的根数是（2n+1）（用含n的代数式表示）．（3）是否存在三角形的个数是x由2022根火柴棒拼成？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据图形找出火柴棒与三角形个数之间的规律，再根据规律计算即可；（2）根据（1）中的规律可直接得出搭n个这样的三角形需要（2n+1）根火柴棒；（3）根据（2）中的公式可得2x+1＝2022，求出x的值即可进行解答．【解答】解：（1）∵观察图形可知：第一个图形中，有1个三角形、有3根火柴棒；第二个图形中，有2个三角形、有5根火柴棒；第三个图形中，有3个三角形、有7根火柴棒；第四个图形中，有4个三角形、有9根火柴棒；⋯⋯∴第五个图形中，有5个三角形、有11根火柴棒；填表如下：三角形个数12345…火柴棒根数357911…（2）由（1）列出的三角形数对应的火柴棒根数可知，照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要（2n+1）根火柴棒，故答案为：（2n+1）；（3）不存在三角形的个数是x由2022根火柴棒拼成．理由如下：由（2）得出的规律可得：2x+1＝2022，解得x＝1010.5，∵火柴棒根数x为正整数，∴x＝1010.5不合题意，舍去，∴不存在三角形的个数是x由2022根火柴棒拼成．【点评】本题考查了图形类的变化规律，关键是通过观察图形，得出火柴棒数与三角形个数之间的规律．53．（2022秋•邢台期末）如图所示，用棋子有规律地连续摆出n个图案．（1）第4个图案所用棋子数是18；（2）请用n的代数式表示第n个图案所用棋子数．【分析】（1）根据题意，分别求出第一个图形、第二个图形、第三个图形棋子的个数，发现规律：后一个图形比前一个图形多4个棋子，即可求得第4个图案中棋子的个数；（2）根据（1）的规律得出，第n个图形棋子的个数为4n+2．【解答】解：（1）由题意，得第1个图形棋子为2+4＝6个，第2个图形棋子为2+2×4＝10个，第3个图形棋子为2+3×4＝14个，……，发现规律：后一个图形比前一个图形多4个棋子，则第4个图案中棋子的个数为2+4×4＝18个；故答案为：18，（2）由（1）中规律，得第n个图案中棋子的个数为（4n+2）个．【点评】本题考查了图形类规律题，找到规律是解题的关键．54．（2022秋•绥德县期末）如图，第1个图中有1颗棋子，第2个图中有5颗棋子，第3个图中有9颗棋子，第4个图中有13颗棋子，…，以此类推．（1）第6个图中有21棋子；（2）用含a的代数式表示第a个图中棋子的颗数；（3）第多少个图中有505颗棋子？【分析】（1）根据题目中的规律即可得到结论；（2）根据题目中的规律即可得到结论；（3）根据题目中的规律列方程，即可得到结论．【解答】解：（1）第6个图中有1+4×（6﹣1）＝21（个），故答案为：21；（2）用含a的代数式表示第a个图中棋子的颗数为1+4（a﹣1）＝4a﹣3；（3）由（2）可知，4a﹣3＝505，解得a＝127，答：第127个图中有505棋子．【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是根据各个图形中棋子的颗数发现规律，难度不大．55．（2022秋•隆化县期末）用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形：第①个图形中有2张正方形纸片；第②个图形中有2（1+2）＝6＝2×3张正方形纸片；第③个图形中有2（1+2+3）＝12＝3×4张正方形纸片；第④个图形中有2（1+2+3+4）＝20＝4×5张正方形纸片；请你观察上述图形与算式，完成下列问题：（1）第⑤个图形中有30张正方形纸片（直接写出结果）；根据上面的发现我们可以猜想第n个图形中有n（n+1）张正方形纸片；（2）由（1）可得：1+2+3+…+n＝（用含n的代数式表示）；（3）根据你的发现计算：121+122+123+…+300．【分析】（1）观察图形的变化即可得第（5）个图形中正方形纸片张数，从而可猜测第n个图形中正方形纸片的张数；（2）根据上面的发现即可猜想：1+2+3+…+n＝；（3）根据（2）即可进行计算．【解答】解：（1）∵第①个图形中有2＝1×2张正方形纸片；第②个图形中有2（1+2）＝6＝2×3张正方形纸片；第③个图形中有2（1+2+3）＝12＝3×4张正方形纸片；第④个图形中有2（1+2+3+4）＝20＝4×5张正方形纸片；…，第⑤个图形中有张正方形纸片5×6＝30张正方形纸片；第n个图形中有张正方形纸片张数为：n（n+1）．故答案为：30；n（n+1）；（2）1+2+3+…+n＝．故答案为：；（3）121+122+123+⋅⋅⋅+300＝（120+1）+（120+2）+（120+3）+…+（120+180）＝120×180+（1+2+3+…+180）＝120×180+90×181＝21600+16290＝37890．【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．56．（2022秋•礼泉县期末）用火柴棒按图中的方式搭图形．如图所示：图形标号①②③④⑤…火柴棒根数591317a…（1）根据规律填空：a＝21；（2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要火柴棒的根数为4n+1；（用含n的式子表示）（3）按这种方式搭下去，用（2）中的式子求第多少个图形需要4045根火柴棒？【分析】（1）根据所给图形可得a的值；（2）根据（1）的结果可得出规律；（3）把n的值代入（2）的规律式中可求值．【解答】解：（1）由图①②③④可得图⑤为：17+4＝21，∴a＝21，故答案为：21；（2）由（1）可得第n个图形需要火柴棒的根数为5+（n﹣1）×4＝4n+1，故答案为：4n+1；（3）由题意得：4n+1＝4045，n＝1011，即第1011个图形需要的火柴棒根数为4045根．【点评】此题主要考查了图形的变化类，解题的关键是注意结合图形，发现蕴含的规律，找出解决问题的途径．57．（2022秋•长清区期末）某长方形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．[观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．[规律总结]（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加2块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块