1.2-展开与折叠（解析版）-小升初数学暑假衔接教材（北师大版）

✰1.2展开与折叠001课堂目标知识掌握各类立体图形的展开图.方法1.掌握正方体展开图的判断方法；2.掌握正方体展开图的相对面的判断方法；3.掌握展开图的计算方法.002知识梳理一．几何体的展开图（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．（2）常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．二．展开图折叠成几何体通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．三．专题：正方体相对两个面上的文字（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．003例题精析正方体的展开图正方体的展开图题型一【方法总结】【方法总结】1.正方体的展开图共有11种，一四一型有6种，二三一型有3种，三三型有一种，二二二型有一种；2.正方体的展开图的口诀是：一线不过四，田凹应弃之.例1下列展开图中，是正方体展开图的是（

）例1A．B． C．D．【答案】C【解析】【分析】根据正方体的表面展开图共有11种情况，A，D是“田”型，对折不能折成正方体，B是“凹”型，不能围成正方体，由此可进行选择．【详解】解：根据正方体展开图特点可得C答案可以围成正方体，故选：C．例2例2A．1个B．2个C．3个D．4个【解题思路】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．【解答过程】解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，第1个、第2个和第3个图形可以拼成一个无盖正方体；而第4个图形不能折成正方体，故不是正方体的展开图．∴符合要求的共有3个，故选：C．变式1如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉的一个小正方形不可以是（

）变式1A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】【分析】根据正方体的11种展开图的模型即可求解．【详解】解：把图中的①或②或④剪掉，剩下的图形即为正方体的11种展开图中的模型，把图中的③剪掉，剩下的图形不符合正方体的11种展开图中的模型，故选：C．变式2下列各选项中的图形，不可以作为正方体的展开图的是（变式2A．B． C．D．【答案】B【解析】【分析】根据正方体展开图的特征进行判断即可．【详解】解：根据正方体展开图的“田凹应弃之”可得选项B中的图形不能折叠出正方体，故选：B．变式3变式3A．4个B．3个C．2个D．1个【解题思路】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【解答过程】解：第一个图形、第二个图形都是正方体的展开图；第三个图形：“田”字格，不能折成正方体．第四个图形：“凹“字格，不能折成正方体．综上所述，是正方体平面展开图的图形的个数是2个．故选：C．例3如图所示的正方体的展开图是（

例3A．B． C．D．【答案】D【解析】【分析】根据正方体的展开和折叠，对正方体展开图的形状进行逐个判断即可．【详解】A：将其还原成正方体，与是对立面，不符合原几何体；B：将其还原成正方体，则在几何体右手边，不符合原几何体；C：将其还原成正方体，与是对立面，不符合原几何体；D：将其还原成正方体，各特点均符合原几何体；故选：D．变式4如图是一个正方体，下列哪个选项是它的展开图（

变式4A．B． C．D．【答案】B【解析】【分析】根据所给立体图形对展开图进行想象解可得出正确答案【详解】由图中正方体观察可知：A项应该为：，不符合题意；B项应该为：，符合题意；C项应该为：，不符合题意；D项应该为：，不符合题意故选B变式5如图所示的正方体的展开图为（变式5A．B． C．D．【答案】B【解析】【分析】根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断即可．【详解】解：根据正方体表面展开图的“相对的面”的判断方法可知，选项C中面“△”与“＝”是对面，因此选项C不符合题意；选项D中面“△”与“＝”是对面，因此选项D不符合题意；再根据上面“=”符号折叠后的横竖方向，可以判断选项B符合题意；选项A不符合题意；故选：B．正方体展开图的相对面正方体展开图的相对面题型二例1下图是一个正方体纸盒的展开图，将其折叠成一个正方体后，有“振”字一面的相对面上的字是（例1A．“恩”B．“乡”C．“村”D．“兴”【答案】D【解析】【分析】根据正方体的平面展开图的特点即可得．【详解】解：由正方体的平面展开图的特点得：“恩”字与“乡”字在相对面上，“施”字与“村”字在相对面上，“振”字与“兴”字在相对面上，故选：D．例2例2A．老B．南C．河D．家【答案】D【解析】【分析】根据正方体的平面展开图找相对面的方法，同层隔一面判断即可．【详解】解：在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是“家”，故选：D．变式1在庆祝中国共产主义青年团成立100周年期间，学校LED屏幕上，以共青团团歌为背景音乐，滚动播放由一个立方体与其平面展开图相互转化形成的视频．这个立方体的六个面上分别有：青、春、正、值、韶、华，同学们能看到的一个展开图是（

变式1A．B． C．D．【答案】D【解析】【分析】根据正方体的展开图判断即可；【详解】解：由题图可知“青”与“正”相邻，“华”与“正”相邻且在“正”的右侧；故选：D变式2某正方体的每个面上都有一个汉字，如图所示的是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是（

变式2A．发B．展C．飞D．速【答案】D【解析】【分析】根据正方体的平面展开图找相对面的方法，同层隔一面判断即可．【详解】解：根据题意得：在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是“速”．故选：D例3例3时小正方体朝上一面的字是（）A．常B．州C．越D．来【解题思路】利用正方体的表面展开图的特征判断对面，利用翻转得出答案．【解答过程】解：由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“常”与“来”是对面，“州”与“好”是对面，“越”与“越”是对面，翻动第1次，第2次时，“好”在前面，“州”在后面，翻动第3次时，“好”在下面，“州”在上面，故选：B．变式3变式3图中写有“？”一面上的点数是（）A．6B．2C．3D．1【解题思路】根据与1个点数相邻的面的点数有2、3、4、5可知1个点数的对面是6个点数，再根据1与2、3相邻，从而得解．【解答过程】解：根据图形可知，与点数1相邻的面的点数有2、3、4、5，∴点数1与6是相对面，对比第一个和第三个图，可知写有“？”的面与点数1是相对面，故写有“？”一面上的点数是6．故选：A．变式4变式4第70次后，骰子朝下一面的数字是（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】观察图形知道第一次点数五和点二数相对，第二次点数四和点数三相对，第三次点数二和点数五相对，第四次点数三和点数四相对，第五次点数五和点二数相对，且四次一循环，从而确定答案．【解答过程】解：观察图形知道第一次点数五和点二数相对，第二次点数四和点数三相对，第三次点数二和点数五相对，第四次点数三和点数四相对，第五次点数五和点二数相对，且四次一循环，∵70÷4＝17…2，∴滚动第70次后与第二次相同，∴朝下的数字是4的对面3，故选：B．柱体的展开图柱体的展开图题型三例1如图所示的三棱柱的展开图不可能是（例1A．B． C．D．【答案】D【解析】【分析】三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个三角形的底面组成．从而可得答案.【详解】解：选项A、B、C均可能是该三棱柱展开图，不符合题意，而选项D中的两个底面会重叠，不可能是它的表面展开图，符合题意，故选：D．例2下列图形中，是长方体的平面展开图的是（

例2A．B． C．D．【答案】B【解析】【分析】根据长方体有六个面，展开后长方体相对的两个面不可能相邻进行判断．【详解】A.中间两个细长方形相邻，错误；B.各个相对的面没有相邻，正确；C.中间两个大长方形相邻，错误；D.图中有七个面，错误；故选B．例3如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（

例3A．圆柱，圆锥，四棱柱，正方体B．四棱锥，圆锥，正方体，圆柱 C．圆柱，圆锥，正方体，三棱锥D．圆柱，圆锥，三棱柱，正方体【答案】D【解析】【分析】把每一个几何体的平面展开图经过折叠，再判断能围成什么几何体．【详解】解：经过折叠后，这些几何体的平面展开图围成的几何体分别是：圆柱，圆锥，三棱柱，正方体故选D变式1如图，是某个几何体的展开图，该几何体是（

变式1A．三棱柱B．三棱锥C．球D．圆锥【答案】A【解析】【分析】侧面为三个长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱．【详解】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱，故A正确．故选：A．变式2如图是某个几何体的展开图，该几何体是（

变式2A．长方体B．正方体C．三棱柱D．圆柱【答案】A【解析】【分析】根据长方体的展开图解答．【详解】解：由图可知，这个几何体是长方体．故选：A．变式3图中的图形是由某立方体图形展开得到的，则该立方体图形是（

变式3A．长方体B．圆锥C．圆柱D．球体【答案】C【解析】【分析】根据圆柱表面展开图的特点解题即可．【详解】解：观察图形，由立体图形及其表面展开图的特点可知相应的立体图形是圆柱．故选：C．变式4变式4（1）如果面在长方体的底部放置，那么哪一个面会在它的上面？（2）如果面在前面，从左面看是面，那么哪一个面会在上面？（3）从右面看是面，面在左面，那么哪一个面会在上面？【答案】(1)F面(2)“C”面或“E面(3)“B面或“D面【解析】【分析】根据长方体表面展开图的特征进行判断即可．(1)根据“相间、端是对面”可知，“”与“”相对，“”与“”相对，“”与““相对，所以面A在长方体的底部，那么面会在它的上面；(2)若面在前面，左面是面，则“”在后面，“”在右面，此时“”在上面，“”在下面，或“”在上面，“”在下面；答：如果面在前面，从左面看是面，那么“”面或“”面会在上面；(3)从右面看是面，面在左面，则“”面或“”面在上面．锥体的展开图锥体的展开图题型四例1如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是（

例1A．B． C．D．【答案】C【解析】【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱或依次分析例题图形与展开图关系即可．【详解】解：A．展开全部是三角形，不符合题意；B．展开全部是四个三角形，一个四边形，不符合题意；C．展开图两个三角形与三个长方形，由展开图也可以发现该立体图形是三棱柱，故此项正确，符合题意；D．展开全部是四边形，不符合题意；故选：C．例2如图是某几何体的展开图，该几何体是（

例2A．长方体B．正方体C．圆锥D．圆柱【答案】C【解析】【分析】观察所给图形可知展开图由一个扇形和一个圆构成，由此可以判断该几何体是圆锥．【详解】解：∵展开图由一个扇形和一个圆构成，∴该几何体是圆锥．故选C．变式1某几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（变式1A．圆柱B．长方体C．四棱锥D．五棱锥【答案】C【解析】【分析】根据四棱锥的侧面展开图得出答案．【详解】解：如图所示：这个几何体是四棱锥．故选：C．变式2如图是某几何体的表面展开图，该几何体是（变式2A．长方体B．圆柱C．圆锥D．直三棱柱【答案】C【解析】【分析】根据常见立体图形的展开图特点，结合展开图进行解答．【详解】解：一个圆与一个扇形可围成圆锥．故选：C．展开图的相关计算展开图的相关计算题型五例1数学活动课上，“智慧小组”设计用一个大长方形制作一个长方体纸盒，如图所示，要求纸盒的长、宽、高分别为4、3、1，则这个大长方形的长为（例1A．14B．10C．8D．7【答案】B【解析】【分析】直接根据图①可知这个大长方形的长是这个纸盒的两个高的长度加上两个长的长度．【详解】解：由图①知，这个大长方形的长为1+4+1+4=10．故选：B．例2如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为何？（例2A．144B．224C．264D．300【答案】B【解析】【分析】根据展开图，可以求得原来长方体的底面的边长和高，然后根据长方体的体积公式计算即可．【详解】解：设原长方体底面边长为，长方体高为，，，解得，，长方体的体积为：，故选：．变式1变式1【答案】310【解析】【分析】根据边长最长的多剪，边长最短的剪的最少，可得答案．【详解】解：根据题意，沿边长最长的棱多剪，边长最短的剪的最少，得到下图：这个平面图形的最大周长是25×8＋20×4＋15×2＝310（cm）．故答案为：310．变式2变式2（1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；（2）若图中的正方形边长为2cm，长方形的长为3cm，宽为2cm，求出修正后所折叠而成的长方体的体积．【答案】(1)拼图存在问题，多了，图见解析(2)12cm3【解析】【分析】（1）根据长方体展开图判断．（2）求出长方体的长，宽，高即可．(1)解：拼图存在问题，多了，如图：(2)解：由题意得，围成的长方体长，宽，高分别为2cm，2cm，3cm，∴体积为：2×2×3＝12（cm3）．例3如图1是墨水瓶包装盒实物图，图2是粉笔包装盒实物图，图3是墨水瓶包装盒展开图，图4是粉笔包装盒展开图，尺寸数据如下（单位：cm．以下问题结果用含a，b，c例3（1）做一个墨水瓶包装盒需要纸片的面积为___，做一个粉笔包装盒需要纸片的面积为___；（直接写出答案）（2）做一个墨水瓶包装盒和一个粉笔包装盒共用纸片多少平方厘米？（3）做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用多少平方厘米纸片？【答案】(1)（2ab+2ac+2bc）cm2；（6ab+6ac+8bc）cm2(2)（8ab+8ac+10bc）平方厘米(3)做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用（14ab+14ac+20bc）平方厘米纸片．【解析】【分析】（1）将墨水瓶包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为acm、bcm、ccm；将粉笔包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为1.5acm、2bcm、2ccm；再根据长方体的表面积公式计算即可；（2）利用（1）的结论列式计算解答即可；（3）利用（1）的结论列式计算解答即可．(1)解：将墨水瓶包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为acm、bcm、ccm，故做一个墨水瓶包装盒需要纸片的面积为：（2ab+2ac+2bc）cm2；将粉笔包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为1.5acm、2bcm、2ccm，故做一个粉笔包装盒需要纸片的面积为：2×1.5a×2b+2×1.5a×2c+2×2b×2c=（6ab+6ac+8bc）cm2；故答案为：（2ab+2ac+2bc）cm2；（6ab+6ac+8bc）cm2；(2)解：做一个墨水瓶包装盒和一个粉笔包装盒共用纸片：（2ab+2ac+2bc）+（6ab+6ac+8bc）=（8ab+8ac+10bc）cm2；(3)解：3（6ab+6ac+8bc）-2（2ab+2ac+2bc）=18ab+18ac+24bc-4ab-4ac-4bc=14ab+14ac+20bc（cm2），即做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用（14ab+14ac+20bc）平方厘米纸片．变式3变式3得所拼图形似乎存在问题．（1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；（2）若图中的正方形边长为2cm，长方形的长为3cm，宽为2cm，求出修正后所折叠而成的长方体的体积．【分析】（1）根据长方体展开图判断．（2）求出长方体的长，宽，高即可．【解答】解：（1）拼图存在问题，多了，如图：（2）由题意得，围成的长方体长，宽，高分别为2，2，3，∴体积为：2×2×3＝12（cm3）．【点评】本题考查几何体的展开图，掌握几何体特征，求出长，宽，高是求解本题的关键．✰1.2展开与折叠分类专练专练一正方体的展开图专练一正方体的展开图1.下列图形中，正方体展开图错误的是（

）A．B． C．D．【答案】D【解析】【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【详解】D选项出现了“田字形”，折叠后有一行两个面无法折起来，从而缺少面，不能折成正方体，A、B、C选项是一个正方体的表面展开图．故选：D．2.下列图形不是正方体展开图的是（）A．B． C．D．【答案】C【解析】【分析】根据正方体展开的11种形式对各选项分析判断即可．【详解】解：A、B、D中的平面展开图可组成正方体，C折叠后，有2个正方形重合，不是正方体的展开图形，故C正确．故选：C．3.如图，选项中哪一个图形是如图正方体的展开图（）A．B． C．D．【解题思路】依据几何体中两个阴影长方形以及一个阴影三角形的位置，即可得出结论．【解答过程】解：A．折叠后可得到图中的正方体，符合题意；B．折叠后两个阴影长方形有一个公共点，不合题意；C．折叠后两个阴影长方形的长边互相平行，不合题意；D．折叠后阴影长方形与阴影三角形一边完全重合，不合题意；故选：A．专练二正方体展开图的相对面专练二正方体展开图的相对面1.如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面相对面上的字是（

）A．了B．我C．的D．国【答案】D【解析】【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中有“我”字的一面相对面上的字是“国”，“历”字的一面相对面上的字是“了”，“害”字的一面相对面上的字是“的”．故选：D．2.如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“华”字一面的相对面上的字是（

）A．复B．族C．兴D．中【答案】B【解析】【分析】根据正方体展开图的特点判断即可．【详解】因为，所以“华”字一面的相对面上的字是族，故选B．3.2021年11月8日至11日．党的十九届六中全会在北京召开．全会审议通过的《中共中央关于党的百年奋斗重大成就和历史经验的决议》，聚焦总结党的百年奋斗重大成就和历史经验，突出中国特色社会主义新时代这个重点，体现了党中央对党的百年奋斗的新认识，是一篇光辉的马克思主义纲领性文献，是新时代中国共产党人牢记初心使命、坚持和发展中国特色社会主义的政治宣言，是以史为鉴、开创未来、实现中华民族伟大复兴的行动指南．如图为“百年奋斗成就”展示在正方体的吸开图上，则“奋”的相对面是（

）A．百B．斗C．成D．就【答案】D【解析】【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【详解】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“奋”字的对面是“就”，故选：D．专练三柱体的展开图专练三柱体的展开图1.下列不是三棱柱展开图的是（）A．B． C．D．【解题思路】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．【解答过程】解：A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故B不能围成三棱柱．故选：B．2.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（）A．B． C．D．【解题思路】根据棱柱的特点进行分析即可．【解答过程】解：A、不能围成棱柱，底面应该在两侧，故此选项不符合题意；B、不能围成棱柱，侧面有4个，底面是三角形，应该是四边形才行，故此选项不符合题意；C、能围成三棱柱，侧面有3个，底面是三角形，故此选项符合题意；D、不能围成棱柱，底面应该在两侧，故此选项不符合题意；故选：C．3.某个几何体的展开图如图所示，该几何体是（

）A．长方体B．圆柱体 C．球体D．圆锥体【解题思路】根据棱柱的特点进行分析即可．【答案】B【解析】【分析】根据圆柱的侧面展开图是长方形解答．【详解】解：观察几何体的展开图可知，该几何体是圆柱．故选：B．4.如图长方体的展开图，不可能是（

）．A．B． C．D．【答案】D【解析】【分析】结合长方体的面与面之间的连接判断即可；【详解】解：A．选项正确，不符合题意；B．选项正确，不符合题意；C．选项正确，不符合题意；D．组合后缺少上表面，选项错误，符合题意；故选：D专练四锥体的展开图专练四锥体的展开图1.下面四个图形中，是三棱锥的平面展开图的是（）A．B． C．D．【解题思路】根据三棱锥的四个面都是三角形，还要能围成一个立体图形，进而分析得出即可．【解答过程】解：A、此图形可以围成三棱柱，故此选项不符合题意；B、此图形可以围成三棱锥，故此选项符合题意；C、此图形可以围成四棱锥，故此选项不符合题意；D、无法围成立体图形，故此选项不符合题意．故选：B．2.以下几何体的表面展开的图形如图，则它是（）A．棱柱B．球C．圆柱D．圆锥【解题思路】由圆锥的展开图的特征作答．【解答过程】解：由圆锥的展开图的特征可知，这个几何体是圆锥．故选：D．3.下面四个图形中不能围成下边三棱锥的是（）A．B． C．D．【解题思路】对于能构成三棱锥的图形，将各面折起，不能重叠，也不能有空缺，据此进行判断．【解答过程】解：B、A都能构成三棱锥，但D答案不出现重叠，C答案的两段BC长度不一致，两段AC长度不一致，折起来不能完全重合，故选：C．4.如图所示的平面图形分别都是由哪种几何体展开形成的？（1）___