2026年函数基本性质测试题及答案

2026年函数基本性质测试题及答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.y=x³B.y=sinxC.y=2^xD.y=log₂x2.函数f(x)=2x²-3x+1的单调递增区间是（）A.(-∞,3/4]B.[3/4,+∞)C.(-∞,1]D.[1,+∞)3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，f(-3)=1，则不等式f(x)<1的解集为（）A.(-3,3)B.(-∞,-3)∪(3,+∞)C.(-3,+∞)D.(-∞,-3)4.函数y=f(x)的图象关于原点对称，且f(3)=5，则f(-3)的值为（）A.5B.-5C.3D.-35.函数f(x)=√(x²-4x+3)的定义域是（）A.(-∞,1]∪[3,+∞)B.[1,3]C.(-∞,1)∪(3,+∞)D.(1,3)6.函数f(x)=2^x+1的值域是（）A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.RD.(0,+∞)7.下列函数中，为偶函数的是（）A.y=xB.y=x²C.y=x³D.y=1/x8.函数f(x)=log₂(x-1)的定义域是（）A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.RD.(-∞,1)9.函数y=f(x)在R上是减函数，且f(2)=-1，则不等式f(x)>-1的解集是（）A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,-2)D.(-2,+∞)10.函数f(x)=x²-2x+3的最小值是（）A.2B.1C.3D.0二、填空题（总共10题，每题2分）1.函数y=1/x的单调递减区间是________。2.函数f(x)=√(x-1)的定义域是________。3.已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x²-2x，则当x<0时，f(x)=________。4.函数y=2^|x|的值域是________。5.函数f(x)=log₂(x+1)的定义域是________。6.函数y=x³的奇偶性是________。7.函数f(x)=2x-1的反函数是________。8.函数y=sinx的单调递增区间是________。9.函数f(x)=√(x²-4)的定义域是________。10.函数y=log₂(x-2)的图象是由函数y=log₂x的图象向________平移________个单位得到的。三、判断题（总共10题，每题2分）1.函数y=1/x在定义域内是减函数。（）2.函数f(x)=√(x-1)在定义域内是增函数。（）3.奇函数的图象关于原点对称。（）4.偶函数的图象关于y轴对称。（）5.函数y=2^x是增函数。（）6.函数f(x)=log₂x在定义域内是增函数。（）7.函数y=x²在(-∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数。（）8.函数y=sinx在[0,π]上是增函数。（）9.函数y=√(x²-4x+3)的定义域是[1,3]。（）10.函数y=2^x+1的值域是[1,+∞)。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.简述函数单调性的定义。2.如何判断一个函数的奇偶性？3.求函数y=x²-4x+3的对称轴和顶点坐标。4.已知函数f(x)=2^x，求f(3)的值。五、讨论题（总共4题，每题5分）1.讨论函数y=1/x的单调性，并说明理由。2.讨论函数f(x)=√(x-1)的单调性，并说明理由。3.讨论函数y=2^x的单调性，并说明理由。4.讨论函数y=sinx的单调性，并说明理由。答案：一、单项选择题1.A2.B3.A4.B5.A6.A7.B8.A9.A10.A二、填空题1.(-∞,0)和(0,+∞)2.[1,+∞)3.-x²-2x4.[1,+∞)5.(-1,+∞)6.奇函数7.y=(x+1)/28.[2kπ-π/2,2kπ+π/2],k∈Z9.(-∞,-2]∪[2,+∞)10.右，2三、判断题1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.×9.×10.×四、简答题1.设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)（或f(x₁)>f(x₂)），那么就说函数f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。2.首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数非奇非偶；若对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，若f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数。3.对称轴为x=-(-4)/(2×1)=2，顶点坐标为(2,-1)。4.f(3)=2³=8。五、讨论题1.函数y=1/x在(-∞,0)和(0,+∞)上分别是减函数。设x₁<x₂<0，则f(x₁)-f(x₂)=1/x₁-1/x₂=(x₂-x₁)/(x₁x₂)>0，所以f(x₁)>f(x₂)，即y=1/x在(-∞,0)上是减函数；同理可证在(0,+∞)上也是减函数。2.函数f(x)=√(x-1)在[1,+∞)上是增函数。设1≤x₁<x₂，则f(x₂)-f(x₁)=√(x₂-1)-√(x₁-1)=(x₂-x₁)/(√(x₂-1)+√(x₁-1))>0，所以f(x₂)>f(x₁)，即f(x)在[1,+∞)上是增函数。3.函数y=2^x在R上是增函数。设x₁<x₂，则2^x₂-2^x₁=2^x₁(2^(x₂-x₁)-1)>0，因为2^x₁>0，2^(x₂-x₁)>1，所以f(x₂)>f(x₁)，即y=2^x在R上是增函数。4.函数y=sinx在[2kπ-π/2,2kπ+π/2],k∈Z上是增函数，在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2],k∈Z上是减函数。设2kπ-π/2≤x₁<x₂≤2kπ