第5讲 二次根式和最简二次根式-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）（教师版）

第五讲二次根式和最简二次根式【学习目标】认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质；利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.【基础知识】1.二次根式的定义：我们把形如（）的式子叫做根式；叫做被开方数；叫做二次根号；根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；2.二次根式的性质：①，（双重非负性）②（）3.最简二次根式：①被开方数不含有分母（小数）；②被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式；【考点剖析】考点一：二次根式定义例1．若二次根式有意义，则x的取值范围为（）A．x≥ B．x≤- C．x≥- D．x≤【答案】C【解析】依题意，解得x≥-，故选C.考点二：二次根式的非负性例2．若y＝，则xy＝_____．【答案】9【解析】解：y＝有意义，必须x﹣3≥0，3﹣x≥0，解得：x＝3，代入得：y＝0+0+2＝2，∴xy＝32＝9．故答案为：9．考点三：二次根式的性质及应用例3．（1）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．（1）________的解法是错误的；（2）化简：________；（3）先化简，再求值：，其中．【答案】(1)小亮；(2);(3)-2016【解析】（1）∵，∴1-a=-1006＜0，∴==2×1007-1=2013.∴小亮的解法是错误的；（2）（3）∵，∴，则原式．考点四：实数的大小比较例4．（1）把表示在数轴上（无理数近似表示在数轴上），并比较它们的大小，用“<”号连接．【答案】数轴表示见解析，【详解】解：在数轴上表示为：用“<”连接为：．（2）在数轴上标出下列各数，然后用“<”连接起来：【答案】数轴见解析，【详解】解：如图：用“＜”连接为：．考点五：例5．（1）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】A、不是最简二次根式，不符合题意；B、不是最简二次根式，不符合题意；C、不是最简二次根式，不符合题意；D、是最简二次根式，符合题意；故选：D．（2）化简的结果是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：，故选：C．（3）把化成最简二次根式为_____．【答案】【详解】解：．故答案为：．（4）化简：＝_____．【答案】【详解】解：，故答案为：．【真题演练】1．下列代数式能作为二次根式被开方数的是（）A．3﹣πB．aC．a2+1D．2x+4【答案】C【解析】解：A、3﹣π＜0，则3﹣a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；B、a的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；C、a2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故此选项错正确；D、2x+4的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；故选：C．2．下列根式中，是二次根式的是（）.A．π B． C． D．【答案】D【解析】A.π不符合题意，故此选项不正确；B.不符合题意，故此选项不正确；C.根号下小于零不符合题意，故此选项不正确；D.符合题意，故此选项正确；故选D.3．下列各式:，(b2),,,,其中是二次根式的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个. D．5个【答案】B【解析】，(b2)，，符合二次根式的形式，故是二次根式；的被开方数小于等于0，当小于0时无意义，不是二次根式；被开方数不确定，不是二次根式；故选：B．4．使有意义的的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，被开方数解得：故选C5．要使代数式有意义，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】解：根据题意，得，解得，.故选C.6．下列式子中，a不可以取1和2的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】A．由5a≥0，所以a≥0，故选项A可取1和2；B．由a+3≥0，所以a≥﹣3，故选项B可取1和2；C．由a2≥0，所以a2+1≥1，故选项C可取1和2；D．由≥0且a≠0，所以a＜0，故选项D不可取1和2；故选：D．7．说明命题“=a”是假命题的一个正确的反例是()A．a=3 B．a=-3 C．a=0.3 D．a=0【答案】B【解析】解：∵=a，∴a≥0，故此命题是假命题的反例就是a是一个负数，故答案为：B.8．若代数式有意义，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】解：∵代数式有意义，∴，，解得：，，∴实数的取值范围是：；故答案为：.9．已知x，y是实数，且满足y=＋＋，则的值是______．【答案】【解析】解：∵由二次根式的定义得，解得：，∴，即：，∴.故答案为：.10．下列各式：，，，，，，，，，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？【答案】见解析【解析】解：，是二次根式，因为它们都含有二次根号，且被开方数都是非负数；虽然含有根号，但根指数不是2，所以不是二次根式；-不含二次根号，不是二次根式；对于，，不能确定被开方数是非负数，当时无意义；当时，无意义，所以，不一定是二次根式；对于，因为，所以没有意义，故不是二次根式；对于，因为，所以无意义，故不是二次根式；对于，无论取何实数，总是负数，没有意义，故不是二次根式；综上所述：，是二次根式，，，，，，，不是二次根式.11．当a＝2，b＝1.5时，求下列代数式的值．（1）a2+2ab+b2（2）+ab+1．【答案】（1）12.25；（2）7；【解析】解：（1）当a＝2，b＝1.5时，原式＝22+2×2×1.5+1.52＝12.25；（2）当a＝2，b＝1.5时，原式＝+2×1.5+1＝7．12．平面直角坐标系中如果任意两点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），,则A、B两点之间的距离可表示为=；在平面直角坐标系中，（1）若点C的坐标为（3，4），O为坐标原点，则C、O两点之间的距离为______.（2）若点E（-2，3）、F（4，-5），求E、F两点之间的距离.【答案】（1）5；（2）10.【解析】（1）因为O点为原点，所以点O为（0,0，），由题意可得==5，故答案为5.（2）根据题意可得===10，故答案为10.13．若实数a，b，c满足|a-|+=+．（1）求a，b，c；（2）若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．【答案】（1）a=，b=2，c=3；（2）.【解析】解：（1）由题意可得：c-3≥0，3-c≥0，解得：c=3，∴|a-|+=0，则a=，b=2；（2）当a是腰长，c是底边时，等腰三角形的腰长之和：+=2＜3，不能构成三角形，舍去；当c是腰长，a是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形，则等腰三角形的周长为：+3+3=+6，综上，这个等腰三角形的周长为：+6．【过关检测】1．说明命题“=a”是假命题的一个正确的反例是()A．a=3 B．a=-3 C．a=0.3 D．a=0【答案】B【解析】解：∵=a，∴a≥0，故此命题是假命题的反例就是a是一个负数，故答案为：B.2．若是二次根式，则a，b应满足的条件是()A．a，b均为非负数 B．a，b同号C．a≥0，b＞0 D．≥0【答案】D【解析】解：根据二次根式的意义，被开方数≥0；又根据分式有意义的条件，b≠0．故选D．3．的值是（）A． B．3 C．±3 D．9【答案】B【解析】解：原式==34．下列说法中，正确的是（）A．无理数就是开方开不尽的数B．若＞0，则a≥0C．如果a＝b，那么ac＝bcD．若＝1，则a与b互为相反数【答案】C【解析】解：A.无理数是无限不循环小数，包括开方不尽的数，故A错误；B.a+5＞0，∴a＞﹣5，故B错误；C.如果a＝b，根据等式的性质可得ac＝bc，故C项正确；D.＝1，则a＝b且a≠0，故选D错误；故选：C．5．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A．x＞0 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1【答案】D【解析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可知x-1≠0，x≥0，解得x≥0且x≠1.故选D.6．当式子的值取最小值时，a的取值为（）A．0 B． C．﹣1 D．1【答案】B【解析】解：∵，∴时为最小值.即：，∴.故选B.7．在平面直角坐标系中，点M（a，b）的坐标满足（a﹣3）2+＝0，则点M在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】解：∵（a﹣3）2+＝0，∴a＝3，b＝2，∴点M（3，2），故点M在第一象限．故选：A．8．已知x、y为实数，y=，则yx的值等于（）A．8 B．4 C．6 D．16【答案】D【解析】∵x﹣2≥0，即x≥2，①x﹣2≥0，即x≤2，②由①②知，x＝2；∴y＝4，∴yx＝42＝16．故选：D．9．若，则化简的结果是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵∴b-3=0,a-4=0∴a=4,b=3，∴=故选A.10．已知是整数，则正整数n的最小值为___【答案】5【解析】∵，且是整数，∴是整数，即5n是完全平方数；∴n的最小正整数值为5．故答案为：5．11．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为：则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.【答案