第7讲 勾股定理-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）（教师版）

第七讲勾股定理【学习目标】1.掌握勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边。(2)已知直角三角形的一边，求另外两边的关系。2.根据情境或条件构造出直角三角形，从而利用勾股定理解决实际问题，充分体现数学学以至用的特点。【基础知识】如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=C2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理是数形结合的典范，当三角形有一个直角这一“形”的特征时，就可以得到三边的数量关系.3.运用勾股定理进行计算时，除了掌握公式c2=a2＋b2外，还应掌握它的几种变式，即a2=c2－b2;b2=c2－a2.总之，已知直角三角形的两条边的长，就可以第三边的长.【考点剖析】考点一：勾股定理的简单应用例1．（1）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，则AB＝_____．【答案】2【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，由勾股定理得：AB＝＝＝2．故答案是：2．（2）已知一个直角三角形的两直角边长分别是1和3，则斜边长为________．【答案】【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别是1和3，∴斜边==，故答案为：．（3）直角坐标系中有一点为坐标原点，则_________．【答案】【详解】解：，故答案为：．（4）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形，面积分别为S1，S2，若S1＝2，S2＝5，则BC2＝_____．【答案】3【详解】解：∵∠ACB=90°，∴，∴，∴=5-2=3，故答案为：3．考点二：勾股定理的证明例2．三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1，并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为，斜边长为的个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．【答案】见解析【分析】根据总面积=以c为边的正方形的面积+2个直角边长为的三角形的面积=以b为上底、(a+b)为下底、高为b的梯形的面积+以a为上底、(a+b)为下底、高为a的梯形的面积，据此列式求解．【详解】证明：总面积考点三：勾股定理与折叠问题例3．如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，，那么线段的长度为A．5 B．4C．4.25 D．【答案】D【详解】解：由折叠的性质可得AE=A1E，

∵△ABC为等腰直角三角形，BC=6，

∴AB=6，

∵A1为BC的中点，

∴A1B=3，

设AE=A1E=x，则BE=6-x，

在Rt△A1BE中，由勾股定理可得32+（6-x）2=x2，解得x=，

故选：D．例4．已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边使点落在边的点处，已知，，求的长.【答案】【详解】∴由勾股定理得，．设，则．∴由勾股定理得∴解得∴EC的长为3．【真题演练】1．在中，、、的对应边分别是a、b、c，若，则下列等式中成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵在中，，∴，∴为直角三角形，则根据勾股定理得：．故选：C．2．在平面直角坐标系中，点P(3，4)到原点的距离是（）A．3

B．4

C．5 D．7【答案】C【详解】解：∵P(3，4)，∴点P到原点的距离=故选：C．3．如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝10，直线l过点B，分别过点A、C作直线l的垂线，垂足分别为E、F，若AE＝8，则CF的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【详解】∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°．∵AE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE＝BF＝8，∴，故选：B．4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于点D，则AD的长为（）A．1 B．2 C． D．【答案】B【详解】解：由勾股定理得：，∵，∴，∴，故选：B．5．有一根长33厘米的木棒（粗细忽略），木箱的长、宽、高分别为24厘米、18厘米、16厘米，这根木棒理论上________（填“能”或“不能”）放进木箱．【答案】能【详解】解：由题意得当木棒斜放在木箱上时，如图所示：∴，∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，，∴在Rt△ACG中，，∵34＞33，∴这根木棒理论上能放进木箱；故答案为能．7．在△ABC中，∠C＝90°，若c＝3，则a2+b2+c2＝_____．【答案】18【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴a2+b2＝c2，∴a2+b2+c2＝c2+c2＝2c2，∵c＝3，∴a2+b2+c2＝2×32＝18．故答案为：18．8．已知一个直角三角形的两边长分为4和3，则它的斜边长为___________．【答案】5或4【详解】解：当4是直角边时，斜边长==5，当4是斜边时，斜边长=4，故答案为：5或4．9．中，为边上的一点，将沿折叠，使点C落在边的点E处，则的面积为__________．【答案】【详解】解：由折叠的性质得：，，，，设CD=x，则BD=12-x，DE=x，在△BDE中，，则，解得：x=，∴，，故答案为：．10．如图，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，三个正方形的面积分别为S1，S2，S3，若S1＝9，S2＝16，则S3＝_____．【答案】25【详解】解：∵∠ACB=90°，∴勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，∴S3＝S1+S2＝9+16＝25，故答案为：25．11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，则下列关于面积的等式：①；②；③，其中成立的有（写出序号即可）________．【答案】①②③【详解】解：由勾股定理和正方形的性质可知：，，，∴，，故答案为：①②③．12．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点与点重合，则的长是________．【答案】【详解】解：直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，，又根据折叠的性质，，，，设，则，，在中，，即，解得，在中，，故答案为：．13．如图，在的网格中，最小正方形的边长为1，均为格点（最小正方形的顶点）．（1）如图1，在网格中画出一个以为一边且与全等的格点三角形，的面积为________．（2）如图2，在线段上画出一点，使最小，其最小值为__________．【答案】（1）画图见解析，3；（2）5【详解】解：（1）如图1中，，，即为所求，△ABC的面积为．（2）如图2中，点即为所求．的最小值．14．如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN与点D，主梁上有两根拉索分别为AB、AC．（1）若拉索，AB、BC的长度分别为10米、26米，则拉索AC＝米；（2）若AB、AC的长分别为13米，20米，且固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD的高度．【答案】（1）24米；（2）12米【详解】解：（1）∵，AB、BC的长度分别为10米、26米，∴AC＝（米），故答案为：24米；（2）∵，∴BD＝21﹣CD，∵，∴，∴，∴BD＝5，∴AD＝（米）．【过关检测】1．两个直角三角形拼成如图所示的图形，则的值为（）A． B．3 C． D．5【答案】B【详解】解：在直角边都是1的直角三角形中，设斜边为y，则由勾股定理得：y2＝12+12＝2，同理可得：x2＝y2+12＝2+1＝3．故选：B．2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的面积分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．47 B．13 C．11 D．8【答案】B【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，由勾股定理得：x2=3+5=8；y2=2+3=5；z2=x2+y2=13．故最大正方形E的面积是z2=13．故选：B．3．一直角三角形的斜边长比其中一直角边长大3，另一直角边长为9，则斜边长为（）A．15 B．12 C．10 D．9【答案】A【详解】解：设斜边长为x，则一直角边长为x-3，根据勾股定理得92+(x-3)2=x2，解得x=15．故选：A．4．直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，斜边上的高是（）A．10 B．2.4 C．4.8 D．1.2【答案】C【详解】∵直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，∴斜边为．设斜边上的高为h，，∴，故选：C．5．如图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，则小正方形的边长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】D【详解】解：设大直角三角形的两直角边分别是acm、bcm（a＞b），斜边是ccm，那么有a2+b2=c2，∵大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，∴a2+52=132，解得a=12（舍去负值），即a=12cm，∴小正方形的边长为：a-b=12-5=7cm．故选：D．6．如图，长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点C与点A重合，则的长为（）A． B．6 C． D．【答案】A【详解】解：设AF=xcm，则DF=（8-x）cm，

∵矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，

∴DF=D′F，

在Rt△AD′F中，∵AF2=AD′2+D′F2，

∴x2=62+（8-x）2，

解得：x=，故选：A．7．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝18，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕和AC交于点E，BC＝12，则EC的长为__________．【答案】5【详解】解：∵AC=18，∴BE=AE=18-EC，∴可得，解得：EC=5，故答案为：5．8．在△ABC中∠C＝90º，a＝6cm，b=8cm，则c＝_____cm．【答案】10．【详解】解：在中，，，，．故答案是：10．9．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，中间所夹三角形为直角三角形，则字母A所代表的正方形的面积为___________．

【答案】64【详解】解：∵正方形PQED的面积等于225，

∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2＋QR2，∴QR2＝PR2−PQ2＝289−225＝64，则字母A所代表的正方形的面积为64．故答案为：64．10．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是_____．

【答案】25【详解】解：由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示：

∴BD=15，AD=20，∴在Rt△ADB中，；②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示：

∴BD=25，AD=10，∴在Rt△ADB中，；∵，∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25，由长方体的特征可得其他途径必定比①②两种更远，故不作考虑；故答案为25．11．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2等_________．【答案】【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，则由勾股定理知，AC2+BC2=AB2．∵，AB＝4，∴故答案为：2π．12．如图，四边形是正方形，于点，且，，则阴影部分的面积是_____．【答案】139【详解】解：∵于点∴∠AEB=90°在Rt△ABE中，AE=5，BE=12，∴AB=，∴S阴=S正方形ABCD-S△ABE==139．故答案为：139．13．如图，在ABC中，AC=13cm，AB=15cm，BC=14cm，求BC边上的高AD．【答案】12cm【详解】解：设BD=xcm，则CD=(14﹣x)cm，依题意有152﹣x2=132﹣(14﹣x)2，解得x=9，在Rt△ADB中，（cm）．故BC边上的高AD为12cm．14．在中，的对边分别为且（1）若，求的值．（2）若，求的值；（3）若，求的值．【答案】（1）13；（2）12；（3）a=24，b=32【详解