第11讲 函数-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）（教师版）

第十一讲函数【学习目标】1.经历从具体实例中抽象出函数概念的过程，进一步感悟抽象的数学思想积累活动经验。2.初步理解函数的概念，能判断两个变量间的关系，初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识【基础知识】1.变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。2.函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3.函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。【考点剖析】考点一：函数相关概念例1．（1）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表，下面说法不正确的是（）放水时间（）1234…水池中的水量（）48464442…A．放水时间是自变量，水池中的水量是因变量 B．每分钟放水C．放水后，水池中的水全部放完 D．放水后，水池中还有水【答案】D【详解】解：根据表格数据知：蓄水池原有水m3，每分钟水闸排水m3．水池剩余水量可以看以时间为自变量的函数故正确；每分钟水闸排水m3．故正确；．故正确；放水10分钟，还剩水：m3．故D错误．故选：D．（2）在下列各图象中，y不是x的函数的是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：选项A、B、D，对于每一个x，都有唯一的y值与其对应，故选项A、B、D是函数图象，选项C，对于一个x有多个y与之对应，故y不是x的函数的图象．故选：C．考点二：自变量取值范围例2．（1）函数中自变量x的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意可得∴故选D．（2）函数中自变量的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意得，，解得．故选：B．（3）函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≥3且x≠5 B．x＞3且x≠5 C．x＜3且x≠5 D．x≤3且x≠5【答案】B【详解】由题意，，解得：且，故选：B．考点三：从函数图象中获取信息例3．（1）某公司接到了一批汽车配件的定单，该工厂把定单任务平均分给了甲乙两车间，两车间每天都按各自的生产速度同时进行生产，中途因工厂同时对两车间设备进行检修维护，两车间停产天后又各自按原来的速度进行生产，该工厂未完成的定单任务量（件）与生产时间（天）之间的函数关系如图所示.下列结论错误的是（）A．其中一个车间天完成生产任务；B．两车间生产速度之差是件/天；C．该工厂定单任务是件；D．该工厂天完成定单任务.【答案】D【详解】解：由图象得：甲乙两车间工作12天停产4天，则从第16天到24天生产了12000-4000=8000（件），∴甲乙两车间每天共生产：8000÷（24-16）=1000（件），∴前12天共生产1000×12=12000（件），∴该工厂定单任务是12000+12000=24000（件），故C正确；由图象得：生产速度快的车间24天完成生产任务，故A正确；∴生产速度快的车间每天生产：12000÷（24-4）=600（件），∴生产速度慢的车间每天生产：1000-600=400（件），600-400=200（件），故B正确；生产速度慢的车间完成生产任务需：12000÷400+4=34（天），故D错误．故选：D．（2）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（）A．乙前4秒行驶的路程为48米B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度D．两车到第3秒时行驶的路程相等【答案】D【详解】解：A、根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米秒，则行驶的路程为米，故正确，不符合题意；B、根据图象得：在0到8秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到32米秒，则每秒增加米/秒，故正确，不符合题意；C、在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故正确，不符合题意；D、由于甲的图象是过原点的直线，斜率为4，所以可得、分别表示速度、时间），将代入得，则前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第3秒时行驶的路程不相等，故错误，符合题意；故选：D．考点四：函数的三种表示方法例4．下表记录的是某橘子种植户橘子的销售额（元）随橘子的销量（千克）变化的有关数据．请根据表中数据回答下列问题：销量（千克）123456789销售额（元）24681012141618（1）表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当销量是5千克时，销售额是元；（3）若销量用x（千克）表示，销售额用y（元）表示，则y与x之间的关系式为．【答案】（1）橘子的销售额与橘子的销量之间的关系，橘子的销量是自变量，橘子的销售额是因变量；（2）10；（3）y＝2x．【详解】解：（1）表中反映了橘子的销售额与橘子的销量之间的关系，橘子的销量是自变量，橘子的销售额是因变量；（2）当销量是5千克时，销售额是10元；故答案为：10；（3）依据表格，若销量用x（千克）表示，销售额用y（元）表示，则y与x之间的关系式为y＝2x，故答案为：y＝2x．考点五：动点问题的函数图象例5．（1）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停下，设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法不正确的是（）A．当x=2时，y=5 B．矩形MNPQ的面积是20C．当x=6时，y=10 D．当y=时，x=3【答案】D【详解】解；由图2可知：PN=4，PQ=5．A．当x=2时，y===5，故A正确，与要求不符；B．矩形的面积==，故B正确，与要求不符；C．当x=6时，点R在QP上，y=，故C正确，与要求不符；D．当y=时，x=3或x=10，故错误，与要求相符．故选：D．（2）如图1，在△ABC中，点P从顶点C出发，以1cm/s的速度沿C—A匀速运动到点A．图2是点P运动时线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，曲线两端点的高度相同，则△ABC的面积是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【详解】解：由题意，当BP⊥AC时，BP的长度最短，如图，由图2可知，点M为（3，2），∴当点P运动3cm时，则BP=2，∵图2中曲线两端点的高度相同，∴AP=CP=3，∴AC=2CP=6，∴△ABC的面积是；故选：B．【真题演练】1．汽车在行驶中，油箱中有油60升，如果每小时耗油4升，那么油箱中含油量（升）与行驶时间（小时）的函数关系式用图象表示为（）A．B．C． D．【答案】B【详解】解：根据题意，y＝60−4x，当x＝0时，y＝60，当y＝0时，60−4x＝0，解得x＝15，所以，x的取值范围为0≤x≤15，函数图象与x轴的交点为（15，0），与y轴的交点为（0，60）．故选：B．2．一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表，下面说法不正确的是（）放水时间（）1234…水池中的水量（）48464442…A．放水时间是自变量，水池中的水量是因变量 B．每分钟放水C．放水后，水池中的水全部放完 D．放水后，水池中还有水【答案】D【详解】解：根据表格数据知：蓄水池原有水m3，每分钟水闸排水m3．水池剩余水量可以看以时间为自变量的函数故正确；每分钟水闸排水m3．故正确；．故正确；放水10分钟，还剩水：m3．故D错误．故选：D．3．如图所示，货车匀速通过隧道，隧道长大于货车长，从货车进入隧道开始，货车在隧道内的长度y与行驶的时间x之间的关系用图象描述大致是（）A．B．C． D．【答案】A【详解】解：根据题意可知货车进入隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当货车开始进入时y逐渐变大，货车完全进入后一段时间内y不变，当货车开始出来时y逐渐变小，∴反映到图象上应选A．故选：A．4．如图所示，以恒定的速度向此容器注水，容器内水的高度（h）与注水时间（t）之间的函数关系可用下列图像大致描述的是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵容器是圆柱体，且以恒定的速度向此容器注水，∴容器内水的高度（）随着注水时间（）的增大而增大，成正比例关系，是一条线段，当经过一段时间注满水后，高度应保持不变．故选：A．5．如图，是一台自动测温记录仪记录的图象，它反映了我市春季某一天气温随时间（时）变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（）A．凌晨4时气温最低为B．14时气温最高为C．从0时至14时，气温随时间推移而上升D．从14时至24时，气温随时间推移而下降【答案】C【详解】解：A、凌晨4时气温最低为-5℃，正确，不合题意；B、14时气温最高为16℃，正确，不合题意；C、应为从4时至14时，气温随时间推移而上升，故此选项错误，符合题意；D、从14时至24时，气温随时间推移而下降，正确，不合题意；故选：C．6．在平面直角坐标系中，下列函数的图象不过点的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：当x=1时，，图象过点，选项A不合题意；当x=1时，，图象过点，选项B不合题意；当x=1时，，图象不过点，选项C合题意；当x=1时，，图象过点，选项D不合题意；故选择：C．7．小强每天从家到学校上学行走的路程为900m，某天他从家去上学时以每分30m的速度行走了450m，为了不迟到他加快了速度，以每分45m的速度行走完剩下的路程，那么小强离学校的路程s（m）与他行走的时间t（min）之间的函数关系用图象表示正确的是（）A．B．C． D．【答案】D【详解】解：小强离学校的路程S（米）应随他行走的时间t（分）的增大而减小，因而选项A、B一定错误；他从家去上学时以每分30米的速度行走了450米，所用时间应是15分钟，因而选项C错误；行走了450米，为了不迟到，他加快了速度，后面一段图象陡一些，选项D正确．故选：D．8．如图，一只蚂蚁从点出发，沿着扇形的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为时，蚂蚁与点的距离为则关于的函数图像大致是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行，在开始时经过半径OA这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间t的增大而增大；到这一段，蚂蚁到O点的距离S不变，图象是与x轴平行的线段；走另一条半径OB时，S随t的增大而减小；故选：B．9．如图，△ABC中，已知BC=16，高AD=10，动点C′由点C沿CB向点B移动（不与点B重合）．设CC′的长为x，△ABC′的面积为S，则S与x之间的函数关系式为（）A．S=80﹣5x B．S=5x C．S=10x D．S=5x+80【答案】A【解析】试题解析：设CC′的长为x,可得BC′的长为(16−x)，所以S与x之间的函数关系式为故选A.10．已知函数，那么________．【答案】2【详解】解：∵f（x）=，∴f（10）==2，故答案为：2．11．在市区内，我市乘坐出租车的价格(元)与路程(km)的函数关系图像如图所示．出差归来的小李从火车站乘坐出租车回家用了18元，火车站到小李家的路程为____________km．【答案】15【详解】解：由题意可知，当x≤3时，出租车收费为6元，超出3km时，每千米收费为：(7-6)÷(4-3)=1(元)，所以火车站到小李家的路程为：3+(18-6)÷1=15(km)．故答案为：15．12．如图表示的是某种摩托车的油箱中剩余量（升）与摩托车行驶路程（千米）之间的关系．由图象可知，摩托车最多装__升油，可供摩托车行驶___千米，每行驶100千米耗油___升．【答案】105002【详解】解：由图象可知，摩托车最多装10升油，可供摩托车行驶500千米，每行驶100千米耗油2升．故答案为：10，500，2．13．司机小王开车从A地出发去B地送信，其行驶路s与行驶时间t之间的关系如图所示，当汽车行驶若干小时到达C地时，汽车发生了故障，需停车检修，修理了几小时后，为了按时赶到B地，汽车加快了速度，结果正好按时赶到，根据题意结合图回答下列问题：（1）上述问题中反映的是哪两个变量之间的关系？指出自变量和因变量．（2）汽车从A地到C地用了几小时？平均每小时行驶多少千米？（3）汽车停车检修了多长时间？车修好后每小时走多少千米？【答案】（1）路程与时间之间的关系；自变量是时间，因变量是路程；（2）3小时；50千米/小时；（3）检修了1小时，修后的速度为75千米/小时（2）根据图象可知汽车从A地到C地行驶的时间与路程，即可求出速度．（3）根据图象可知停车检修了1小时，汽车从C地到B地共行驶2小时，且路程为150千米，即可求出其速度．【详解】（1）根据图象可知横坐标表示时间，纵坐标表示路程．即上述问题中反映的是路程与时间两个变量之间的关系，且自变量为时间和因变量为路程．（2）根据图象可知汽车从A地到C地用了3小时，平均每小时行驶．（3）汽车停车检修了4-3=1小时，车修好后的速度为：．14．已知动点P以每秒1cm的速度沿图甲的边框按从B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若AB＝3cm，试回答下列问题（1）图甲中的BC长是多少？（2）图乙中的a是多少？（3）图甲中的图形面积是多少？（4）图乙中的b是多少？【答案】（1）4cm；（2）6cm2；（3）15cm2；（4）17秒【详解】解：（1）动点P在BC上运动时，对应的时间为0到4秒，易得：BC＝1cm/秒×4秒＝4cm；故图甲中的BC长是4cm．（2）由（1）可得，BC＝4cm，则：a＝×BC×AB＝6cm2；图乙中的a是6cm2．（3）由图可得：CD＝2×1＝2cm，DE＝1×3＝3cm，则AF＝BC+DE＝7cm，又由AB＝3cm，则甲图的面积为AB×AF﹣CD×DE＝3×7﹣2×3＝15cm2，图甲中的图形面积为15cm2．（4）根据题意，动点P共运动了BC+CD+DE+EF+FA＝4+2+3+1+7＝17cm，其速度是1cm/秒，则b＝＝17秒，图乙中的b是17秒．【过关检测】1．函数的自变量的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：函数，，，故选：．2．当实数x的取值使得有意义时，函数中y的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵有意义，∴x＋2≥0，即x≥−2，∵函数y＝x＋1化为x＝y−1，∴y−1≥−2，解得y≥−1．故选：B．3．下列图象不能反映是的函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：、当取x0一值时，有两个值与它对应，不是的函数，故选项符合题意；、当任取一值时，有唯一与它对应的值，是的函数，故选项不合题意；、当任取一值时，有唯一与它对应的值，是的函数，故选项不合题意；、当任取一值时，有唯一与它对应的值，是的函数，故选项不合题意；故选择：．4．王亮家与姥姥家相距25km，王亮早上提前从家出发，骑自行车（匀速）去姥姥家，妈妈随后从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家，王亮和妈妈的行车路程s（km）与王亮的行进时间t（h）之间的函数关系式的图像如图所示，则下列说法正确的是（）A．王亮骑自行车的速度是12.5km/h B．王亮比妈妈提前0.5小时出发C．妈妈比王亮先到姥姥家 D．妈妈从家到姥姥家共用了2h【答案】A【详解】解：由图象可知，王亮骑自行车的速度是：25÷2＝12.5km/h，故选项A正确；王亮比妈妈提前1h出发，故选项B错误；妈妈和王亮同时到姥姥家，故选项C错误；妈妈从家到姥姥家用了1h，故选项D错误；故选：A．5．在地球某地，地表以下岩层的温度y（℃）与所处深度x（km）之间的关系可以近似地用表达式y=35x+20来表示，当自变量x每增加1km时，因变量y的变化情况是（）A．减少35°C B．增加35°C C．减少55°C D．增加55°C【答案】B【详解】解：x=0时，y=20把x=1代入中得：，即每增加1km时，因变量增加了35℃，故选：B．6．下列说法不正确的是（）A．长方形的长一定时，其面积y是宽x的函数B．圆的周长公式C＝2πr中，π和r都是自变量C．高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程y是行驶的时间x的函数D．等腰三角形的周长一定时，腰长y是底边长x的函数【答案】B【详解】解：A.长方形的长一定时，对于宽x的每一个取值，其面积y都有唯一确定的值与其对应，∴其面积y是宽x的函数，此选项不符合题意；B.圆的周长公式C＝2πr中，2π是常数，r是自变量，此选项符合题意；C.高速公路上匀速行驶的汽车，对于行驶的时间x的每一个取值，其行驶的路程y都有唯一确定的值与其对应，∴其行驶的路程y是行驶的时间x的函数，此选项不符合题意；D.等腰三角形的周长一定时，对于底边长x的每一个取值，其腰长y都有唯一确定的值与其对应，∴腰长y是底边长x的函数，此选项不符合题意；故选：B7．第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且自信地对乌龟说：这次我让你先跑一段距离我再去追．这次兔子认真比赛，终于夺冠．则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：由于乌龟比兔子早出发，而晚到终点；故C选项正确；故选：C．8．已知A、B两地相距810千米，甲车从A地匀速前往B地，到达B地后停止．甲车出发1小时后，乙车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止．设甲乙两车之间的距离为y（千米），甲车出发的时间为x（小时），y与x的关系如图所示，对于以下说法：①乙车的速度为90千米/时；②点F的坐标为（10，540）；③图中a的值是13.5；④当甲乙两车相遇时，两车相遇地距A地的距离为360千米．其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】D【详解】解：由图象可得：甲车先出发1小时所行使的路程为60千米，相遇时间为5小时，∴甲车的速度为60千米/小时，∴乙车的速度为：750÷5-60=90（千米/小时），故①正确；∴甲乙两车相遇时，两车距离A地的距离为：60×6=360（千米），故④正确；∴甲乙两车相遇后，乙车到达终点A还需的时间为：360÷90=4（小时），∴乙车到达终点时，甲车所行使的时间为：6+4=10（小时），则有甲乙两车相距的路程为：10×60=600（千米），∴点F的坐标为，故②不正确；∴甲车距离终点还需的时间为：（小时），∴（小时），故③正确；∴正确的结论有①③④；故选D．9．三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点A1，A2，A3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点B1，B2，B3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数．有如下四个结论：①上午派送快递所用时间最短的是甲；②下午派送快递件数最多的是丙；③在这一天中派送所用时间最长的是乙；④在这一天中派送快递总件数最多的是乙．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①④ B．①③④ C．②③ D．①②③④【答案】B【详解】解：从图可知以下信息：上午送时间最短的是甲，①正确；下午送件最多的是乙，②不正确；在这一天中派送所用时间最长的是乙，③正确；在这一天中派送快递总件数最多的是乙，④正确．∴正确结论的序号是①③④．故选：B．10．在函数中，自变量的取值范围是____．【答案】x≠-．【详解】解：根据分式有意义的条件得：2x+3≠0．解得：x≠-．故答案为：x≠-．11．黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数关系如图所示，当x=1.5时货车的速度是_____km/h．【答案】78【详解】解：由图象可知，2小时内的速度不变，∵156÷2=78km/h．∴x=1.5时货车的速度是78km/h．故答案为：78．12．已知小腾家、食堂、图书馆在同一条直