第12讲 正比例函数、一次函数图象与性质-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）（教师版）

第十二讲正比例函数、一次函数图象与性质【学习目标】1.理解-次函数和正比例函数的概念;2能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.3.了解一次函数两个变量之间的变化规律.在认识一次函数图象的基础上，掌握一次函数图象及其简单性质;4.经历对一次函数图象变化规律的探究过程,学会解决一次函数问题【基础知识】1.一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。2.一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3.一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。4.正比例函数的性质一般地，正比例函数有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。5.一次函数的性质一般地，一次函数有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小在中，当时，y随x的增大而增大，此时若，则直线经过第一、二、三象限；若，则直线经过原点及第一、三象限；若，则直线经过第一、三、四象限；当时，y随x的增大而减小，

此时若，则直线经过第一、二、四象限；若时，则直线经过原点及第二、四象限；若，则直线经过第二、三、四象限．【考点剖析】考点一：确定一次函数的解析式例1．（1）若是正比例函数，则b的值是（）A．0 B． C． D．【答案】C【详解】∵是正比例函数，∴，解得：，故选：C．（2）已知与成正比例，且当时，．（1）求出与之间的函数解析式；（2）当时，求的值．【答案】（1）y=2x-2；（2）0【详解】解：（1）设y=k（x-1），把x=3，y=4代入得（3-1）k=4，解得k=2，所以y=2（x-1），即y=2x-2；（2）当x=1时，y=2×1-2=0．考点二：函数图象上的点例2．（1）已知点是一次函数图像上任意一点，则的值等于（）A．1 B．-1 C． D．【答案】A【详解】∵点是一次函数图象上任意一点，∴-2m+1=n，∴=1．故选A．（2）已知点A的坐标为和点B的坐标为都在一次函数图象上，则的值为________．【答案】4【详解】解：当x=a时，y1=4a-2；当x=a+1时，y2=4（a+1）-2=4a+2．∴y2-y1=4a+2-（4a-2）=4．故答案为：4．考点三：一次函数与坐标轴的交点例3．（1）如果直线和的交点在x轴上，那么：等于（）A．4 B．－4 C．1：4 D．（－1）：4【答案】D【详解】解：令，则，解得，，解得，两直线交点在轴上，，．故选：D．（2）平面直角坐标系中，点为坐标原点，若直线与轴、轴分别交于点A，，则的面积为（）A．－5 B．4 C．5 D．10【答案】C【详解】把x=0代入得y=5，把y=0代入得，解得x=-2，∴直线与轴的交点A的坐标为（-2，0），与y轴的交点B的坐标为（0，5），∴OA=2，OB=5，∴的面积为．故选C．考点四：一次函数的图象性质例4．（1）已知正比例函数y=mx的图象过第一、三象限，则m的取值范围是（）A．m<0 B．m≤0 C．m≥0 D．m>0【答案】D【详解】解：∵正比例函数y=mx的图象过第一、三象限，∴m>0，故选D．（2）在平面直角坐标系中，正比例函数的图象的大体位置是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】根据正比例函数图象的性质，知：当时，图象是经过二、四象限的一条直线．故选：B．（3）如果函数的图像经过第二象限，那么的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：根据题意得：m＞0，故选：A．（4）已知一次函数y＝ax+a+2的图象与y轴的正半轴相交，且y随x的增大而减小，则a的值可以是（）A． B．﹣1 C．﹣2 D．【答案】B【详解】解：∵一次函数y＝ax+a+2，y随x的增大而减小，∴a0，又∵一次函数y＝ax+a+2的图象与y轴的正半轴相交，∴a+20，∴a-2，∴-2a0，则a的值可以是-1．故选择：B．（5）已知点（﹣3，y1）、（1，3）、（2，y2）在一次函数y＝kx+5的图象上，则y1、y2、3的大小关系是（）A．3＜y2＜y1 B．y1＜3＜y2 C．y2＜y1＜3 D．y2＜3＜y1【答案】D【详解】解：∵（1，3）在一次函数y＝kx+5的图象上，∴3＝k+5，解得：k＝﹣2，∴函数解析式为y＝﹣2x+5，∵点（﹣3，y1）、（2，y2）在一次函数y＝﹣2x+5的图象上，∴y1＝6+5＝11，y2＝﹣4+5＝1，∵1＜3＜11，∴y2＜3＜y1，故选：D．（6）已知一次函数的图象向上平移b个单位后经过第二象限，请你写出一个符合条件的b的值为___________．【答案】5（答案不唯一，即可）再根据平移后的一次函数图象经过第二象限，即可列出关于b的不等式，解出b的解集即可．【详解】一次函数的图象向上平移b个单位后得到的新函数解析式为：．∵平移后的图象经过第二象限，∴，∴．故答案为：5（答案不唯一，即可）．考点五：与一次函数有关的规律探究例5．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点、、在直线上，点、、在轴正半轴上，则的面积是______．【答案】【详解】解：观察，发现：A1（1，0），A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），A5（16，15），A6（32，31），…，∴An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）．观察图形可知：点Bn是线段CnAn+1的中点，∴点Bn的坐标是（2n-1，2n-1），An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数），∴△AnAn+1Bn的面积是（2n-1）2=22n-3，∴△A2016A2017B2016的面积=22×2016-3=24029，故答案为：24029．【真题演练】1．在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（5，b），B（a，4）两点，则a，b一定满足的关系式为（）A．a﹣b＝1 B．a＋b＝9 C．a•b＝20 D．＝【答案】C【详解】设该正比例函数是y＝kx（k≠0），则b＝5k，4＝ak．∴＝，∴ab＝20.故选：C．2．已知关于的一次函数为，那么这个函数的图象一定经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】解：当时，，即此一次函数的图象经过定点，因为点位于第二象限，所以这个函数的图象一定经过第二象限，故选：B．3．已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，那么以下选项正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∴，故选B．4．如图，一次函数和正比例函数在同一坐标系内的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：A、∵一次函数的图象经过一、三、四象限，∴k＞0，b＜0；∴kb＜0，∴正比例函数y=kbx应该经过第二、四象限．故本选项不符合；B、∵一次函数的图象经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0．∴kb＜0，∴正比例函数y=kbx应该经过第二、四象限．故本选项符合；C、∵一次函数的图象经过二、三、四象限，∴k＜0，b＜0．∴kb＞0，∴正比例函数y=kbx应该经过第一、三象限．故本选项不符合；D、∵一次函数的图象经过一、二、三象限，∴k＞0，b＞0．∴kb＞0，∴正比例函数y=kbx应该经过第一、三象限．故本选项不符合；故选：B．5．在平面直角坐标系中，将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象与轴的交点坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】将函数的图象向左平移个单位长度的解析式为，当时，，平移后与轴的交点坐标为，故选：C．6．已知点在函数的图像上，则（）A． B． C． D．与的大小关系不能确定【答案】B【详解】解：∵k＝﹣9＜0，∴y随x的增大而减小，∵﹣1＜2，∴y1＞y2

，故选：B．7．把一次函数先关于轴对称，再向左移2个单位，所得直线表达式（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：直线关于x轴对称的直线所对应的函数表达式为，即，将直线向左平移2个单位，函数表达式变形为．故选：A．8．正方形，按如图所示的方式放置，点和点分别在直线上和x轴上，则点的纵坐标是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：当x=0时，y=x+1=1，∴点A1的坐标为（0，1）．∵四边形A1B1C1A2为正方形，∴点C1的纵坐标为1，当x=1时，y=x+1=2，∴点A2的坐标为（1，2）．∵A2B2C2A3为正方形，∴点C2的纵坐标为2．同理，可知：点A3的坐标为（3，4），点C3的纵坐标为4，∴点Cn的纵坐标为2n-1，∴点C1999的纵坐标为21998．故选：B．9．已知，若是的正比例函数，则a的值是_______．【答案】4【详解】由正比例函数的定义得：且，解得：，故答案为：4．10．某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如下表：数量（千克）0.511.522.533.5…售价（元）1.534.567.5910.5…如果卖出的香蕉数量用x（千克）表示，售价用y（元）表示，则y与x的关系式为_____．【答案】y＝3x【详解】解：根据表格可知香蕉的单价为3元/千克，则y＝3x．故答案为：y＝3x．11．已知点在直线（a，b为常数，且）上，则的值为_______．【答案】．【详解】解：∵点在直线（a，b为常数，且a≠0）上，∴2=3ab，∴b=3a2，∴，故答案为：．12．已知一次函数的图象经过点，那么的值等于______．【答案】2【详解】解：把y=8代入一次函数y=2x+4，得8=2x+4∴x=2，所以m=2，故答案为：213．已知点在直线上，则______．【答案】-8【详解】解：∵点在一次函数直线上，∴，解得，故答案为：-8．14．点在函数的图像上，则代数式的值等于______________________．【答案】8【详解】解：将点代入中，得∴∴==2×2＋4=8故答案为：8．15．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数．（1）在时速为80千米的匀速运动中，路程y（千米）与时间x（时）之间的关系；（2）汽车从A站驶出，先走了4千米，再以40千米/时的平均速度行驶了x小时，那么汽车离开A站的路程y（千米）与时间x（时）之间的关系；（3）某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，超过部分每千克收取1.5元的行李费用，则旅客需交的行李费y（元）与携带行李质量x（千克）（x＞20）之间的关系．【答案】（1）y＝80x，是一次函数；（2）y＝40x+4，是一次函数；（3）y＝1.5（x﹣20），是一次函数【详解】解：（1）由题可得，y＝80x，是一次函数；（2）由题可得，y＝40x+4，是一次函数；（3）由题可得，y＝1.5（x﹣20），是一次函数．16．在平面直角坐标系中，点是一次函数图象上一点．（1）求m的值．（2）当时，求y的取值范围．【答案】（1），（2）【详解】解：（1）把，，代入，得：∴（2）当时，当时，∵，y随x的增大而减小∴【过关检测】1．下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A．y＝6x－1 B．y＝ C．y＝x2 D．y＝－x【答案】D【详解】解：、是一次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；、是反比例函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；、是二次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；、是正比例函数，故此选项符合题意；故选：．2．下面各点中，在函数y＝﹣x+3图象上的点是（）A．（3，0） B．（﹣2，2） C．（2，﹣2） D．（4，1）【答案】D【详解】解：A、当x＝3时，y＝﹣x+3＝﹣+3＝≠0，则（3，0）不在函数y＝﹣x+3图象上，所以A选项不符合题意；B、当x＝﹣2时，y＝﹣x+3＝1+3＝4≠2，则（﹣2，2）不在函数y＝﹣x+3图象上，所以B选项不符合题意；C、当x＝2时，y＝﹣x+3＝﹣1+3＝2≠﹣2，则（2，﹣2）不在函数y＝﹣x+3图象上，所以C选项不符合；D、当x＝4时，y＝﹣x+3＝﹣2+3＝1，则（4，1）在函数y＝﹣x+3图象上，所以D选项符合题意．故选：D．3．如表中是正比例函数的自变量x与函数y的对应值，则p的值为（）x1y4pA．2 B． C．1 D．4【答案】B【详解】解：由表格可得：当x=-2时，y=4，代入正比例函数解析式可得：，解得：，∴正比例函数解析式为，把x=1代入得：，即．故选B．4．已知点在一次函数的图像上，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】把点的坐标代入一次函数中，得故选：C．5．已知点在一次函数（a，b为常数）的图象上，则与的大小关系为（）A． B． C． D．无法判断【答案】C【详解】解：因为k=，y随x的增大而减大，又-2＜，所以，y1<y2．故选：C．6．已知一次函数，且y随x的增大而增大，则此图像不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】解：在一次函数中，，∵y随x的增大而增大，∴a＞0，∴b＞0，∴一次函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选D．7．一次函数的图象经过（）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限【答案】A【详解】解：∵一次函数y=3x+6中．k=3＞0，b=6＞0，∴此函数的图象经过一、二、三象限，故选：A．8．在同一坐标系中，若直线与直线的交点在第一象限，则下列关于、的判断正确的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【详解】直线与直线的交点在第一象限，即直线与直线的图象都经过第一象限，故选：D．9．在平面直角坐标系中，将直线沿轴向右平移个单位后恰好经过原点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：将直线y＝kx﹣6沿x轴向右平移3个单位后得到y＝k（x-3）﹣6，∵直线经过原点，∴0＝k（0-3）﹣6，解得：k＝-2，故选：A．10．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝﹣2kx﹣b的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过二、三、四象限，∴k＜0，b＜0，∴函数y＝﹣2kx﹣b的图象经过第一、二、三象限，∵因为|k|＜|﹣2k|，所以一次函数y＝kx+b的图象比y＝﹣2kx﹣b的图象的倾斜度小，综上所述，符合条件的图象是C选项．故选：C．11．直线与轴交点坐标为__________．【答案】【详解】解：当y=0时，，解得：∴直线与轴交点坐标为故答案为：．12．有一种动画设计，屏幕上的是黑色区域（含三角形的边界）．其中．用信号枪沿直线发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的k的取值范围是__________．【答案】k≤-3或k≥【详解】解：∵A（-1，1），B（2，1），C（1，3）．∴当直线y=kx-2经过点A时，-k-2=1，解得k=-3；当直线y=kx-2经过点B时，2k-2=1，解得k=，∴k≤-3或k≥，故答案为：k≤-3或k≥．13．正方形的面积S是边长x的函数，它的表达式是S＝x2．如果正方形的边长的变化范围很小，例如x从1变到1.08，我们来观察面积S的变化情况：x11.021.041.061.08S11.0401.0821.1241.166（1）分别计算x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S增大了多少；（2）根据第（1）题的计算结果，当边长x从1变到1.08时，正方形的面积S可不可以看成边长x的一次函数？由此受到启发，你能做出什么猜测？【答案】（1）面积S依次增大了0.040，0.042，0.042，0.042；（2）不可以，猜测：面积与边长不成一次函数关系【详解】解：（1）1.040﹣1＝0.040，1.082﹣1.040＝0.042，1.124﹣1.082＝0.042，1.166﹣1.124＝0.042，即x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S依次增大了0.040，0.042，0.042，0.042；（2）因为x由1变到1.08时，正方形面积S的变化值不是定值，所以正方形的面积S不可以看成边长x的一次函数，猜测：面积与边长不成一次函数关系．14．已知一次函数y=(4+2m)x+m-4，求：（1）m为何值时，y随x的增大而减少？（2）m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？（3）若m=-1时，求此函数图象与两坐标轴的交点坐标？【答案】（