第13讲 一次函数的应用-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）（教师版）

第十三讲一次函数的应用【学习目标】1.通过观察函数图象,能够从两个一次函数图象中获取信息,理解函数图象交点的实际意义。2.通过函数图象解决实际问题。【基础知识】1.能通过函数图象获取信息，发展形象思维.2.寻找一元一次方程与函数的关系，建立良好的知识联系3.能利用函数图象解决简单的实际问题，发展数学应用能力【考点剖析】考点一：一次函数方案问题例1．为了巩固拓展脱贫攻坚成果，开启乡村振兴发展之门，某村合作社组织20辆汽车装运A、B两种土特产到外地销售，规定每辆汽车只能装运一种特产，且必须装满；装运每种特产的汽车不少于4辆．设用x辆汽车装运A特产，此次外销获得的利润为y，根据下表提供的信息，解答下列问题：土特产AB每辆汽车装运量（吨）54每吨特产获利（万元）0.60.8（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）由于市场需要，将A特产每吨售价提高万元，求该合作社应该怎样装运销售这批土特产，可获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）；（2）获得最大利润的方案：4辆汽车装运A特产，16辆汽车装运B特产，将A特产每吨提高0.02万元，可获得最大利润63.9万元【详解】（1）由题意可得：，自变量x的取值范围是：；（2）由条件可得：，∵，∴，∴y随x的增大而减小，当时，，答；获得最大利润的方案：4辆汽车装运A特产，16辆汽车装运B特产，将A特产每吨提高0.02万元，可获得最大利润63.9万元．考点二：一次函数最大利润问题例2．消费也扶贫，某山区乡村幸福商场出售当地的优质土特产：香米和土豆，这两种商品的相关信息如下表：商品香米土豆成本（元/袋）6045售价（元/袋8060（1）昆明市某区工会第一季度采购了香米和土豆共计1000袋，为幸福商场创造利润17000元，求某区工会采购了香米多少袋？（2）为了加大扶贫力度，某区工会在第二季度想为幸福商场创造20000元以上利润的目标．该区工会计划购进香米和土豆共计1200袋，且香米不低于800袋，设购进香米袋，香米和土豆共创造利润元，求出与之间的函数关系式，并通过计算说明某区工会能否实现扶贫目标？【答案】（1）400袋；（2）w=5m+18000；能实现由题意列方程得解得答：某区工会采购香米400袋．（2）由题意得∵，且随的增大而增大，∴时，，∴某区工会能实现扶贫目标．考点三：一次函数行程问题例3．甲乙两人同时登山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山的速度是每分钟米，乙在地提速时距地面的高度为米．（2）请分别求出乙提速前、甲登山全过程中，登山时距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式．（3）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，则乙从出发到到达山顶需要多长时间？（4）若乙不提速，则乙出发多长时间与甲相遇？【答案】（1）10，30；（2），；（3）11min；（4）20min【详解】解：（1）根据图像可得甲速度=，乙速度=，，故答案为：10，30；（2）起始位置+所走路程由（1）结合图像得：，；（3）提速后乙速=，，解得；（4）设a分钟时相遇，则有：，解得．考点四：一次函数几何问题例4．已知直线与直线相交于点点横坐标为，且直线与轴交于点，与轴交于点．（1）求出点的坐标及直线的解析式；（2）求的面积．【答案】（1），；（2）2【详解】解：（1）∵A点在直线上，且横坐标为即点的坐标为直线过点，将代入直线解析式得：，直线的解析式为：（2）与轴交于点，则点坐标为考点五：与一次函数其它问题例5．早餐机开机后，自动启动程序：先匀速加热，当机内温度升高到时，自动停止加热，同时机内温度匀速下降，当机内温度降至时，早餐机又自动启动上述程序，直至关机．已知早餐机的机内初始温度为，降温温度是加热速度的2倍．早餐机的机内温度与开机之后的时间之间的函数关系部分图像如图所示．（1）早餐机的加热速度为__________；（2）求线段所表示的与之间的函数表达式；（3）将食物放入该早餐机，自开机之后，要使机内温度不低于的累计时间不少于，至少需要__________．【答案】（1）4；（2）；（3）115．【详解】解：（1）早餐机的加热速度为：，故答案为：4；（2）设线段所表示的与之间的函数表达式为：由降温温度是加热速度的2倍，得到降温速度为8，即图象经过，当时，，线段所表示的与之间的函数表达式为：；（3）由题意知，机内温度由220降到180所需的时间为：，机内温度由140升高到220所需要时间为：，，需升高到220时再降温3次，自开机之后，要使机内温度不低于180的累计时间不少于，至少需要：，故答案为：115．【真题演练】1．某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（）A．第30天该产品的市场日销售量最大B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大C．第20天该产品的日销售总利润最大D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多【答案】C【详解】由图1知，当天数时，市场日销售量达到60件：从图2知，当天数时，每件产品销售利润达到最大30元．销售总利润为：（元）．A：从图1，可以看出当时，市场日销售量最大，选项正确，不符合题意；B：从图2，可以看出第20天至30天该产品单件销售利润相同，都达到最大值30元，选项正确，不符合题意；C：当时，日销售量低于时的日销售量，但单件销售利润相同，所以当天数为30时，销售利润最大，选项错误，符合题意；D：从图2中可以看出，第20天至30天该产品单件销售利润相同，从图一看出，日销售量逐日增加，成正比例函数关系，所以日销售利润逐日增加，选项正确，不符合题意；故答案为：C2．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程S关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是（）A．（20，3000） B．（20，4800） C．（32，4800） D．（32，3000）【答案】C【详解】解：设良马t天追上驽马，240t=150（t+12），解得，t=20，20天良马行走的路程为240×20=4800（里），故点P的坐标为（32，4800），故选：C．3．某农科所响应“乡村振兴”号召，为某村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗先在农科所的温室中生长，平均高度长到大约20cm时，移至该村的大棚内继续生长．研究表明，60天内，这种瓜苗的平均高度y（cm）与生长时间x（天）的函数关系的图象如图所示．当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，此时瓜苗在该村大棚内生长的天数是（）A．10天 B．18天 C．33天 D．48天【答案】B【详解】解：∵当这种瓜苗长到大约80cm时，是在15＜x≤60这段函数上，当15＜x≤60时，设y＝kx+b（k'≠0），则：，解得，∴，当y＝80时，，解得x＝33，33﹣15＝18（天），∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果；故选：B．4．“清明节”期间，小海自驾去某地祭祖，如图是他们汽车行驶的路程（千米）与汽车行驶时间（小时）之间的函数图象．汽车行驶2小时到达目的地，这时汽车行驶了（）千米．A．120 B．130 C．140 D．150【答案】C【详解】如图所示：设段的函数解析式是，∵的图象经过点，∴，解得，∴段函数的解析式是，当时，，即汽车行驶2小时到达目的地，这时汽车行驶了140千米，故选：C．5．一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始内只进水不出水，从第到第内既进水又出水，从第开始只出水不进水容器内水量y（单位：L）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则图中a的值是__________．【答案】36【详解】解：由图象可知，进水的速度为：20÷4=5（L/min），出水的速度为：5-(35-20)÷(16-4)=3.75（L/min），第24分钟时的水量为：20+(5-3.75)×(24-4)=45（L），a=24+45÷3.75=36．故答案为：36．6．某产品的盈利额（即产品的销售价格与固定成本之差）记为，购买人数记为，其函数图象如图（1）所示．由于目前该产品盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2），图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高销售价格，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持销售价格不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高销售价格，并降低成本；④图（3）对应的方案是：提高销售价格，并保持成本不变；其中正确的说法是____．【答案】②④【详解】解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即④对；故答案为：②④．14．星期天小明步行从家去图书馆，中间要路过超市，小明以米/分钟的速度匀速到达超市，再以米/分钟的速度匀速到达图书馆，图中的折线反映了小明从家步行到图书馆所走的路程（米）与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，的值为_________．【答案】【详解】解：由图象可知OA段中，小明8分钟步行了960米，可得（米/分），在AB段中，小明在分钟内步行了米，可得，故答案为：．8．某太阳能热水器水箱的最大蓄水量为160升，在没有放水的情况下匀速注水．已知水箱的蓄水量y（升）与注水时间x（分）x（分）04812……y（升）2060100140……（1）通过描点法判断变量x，y是否满足或近似地满足一次函数关系式．如果是，求y关于x的函数表达式．（2）按上述速度注满水箱，需要多少分钟？【答案】（1）图见详解，y关于x的函数关系式为；（2）需要14分钟．【详解】解：（1）由表格可得如图所示：由图可知变量x，y满足一次函数关系式，则设y关于x的函数关系式为，根据表格可得：，解得：，∴y关于x的函数关系式为；（2）由（1）及题意可得：当y=160时，则有，解得：；答：按上述速度注满水箱，需要14分钟．9．由于新冠疫情爆发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：价格（元/只）型号种类甲乙原料成本128销售单价1812生产提成10.6（1）若该公司五月份的销售收入为330万元，求甲、乙两种型号的产品分别生产多少万只？（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）甲、乙两种型号的产品分别为15万只，5万只；（2）安排甲型号产品生产10万只，则乙型号产品生产10万只，可使该月公司所获利润最大，最大利润84万元．【详解】解:(1)设甲型号的产品有万只，则乙型号的产品有万只，依题意，得：，解得，则，答：甲、乙两种型号的产品分别为15万只，5万只．(2)

设安排甲型号产品生产万只，则乙型号产品生产万，所获利润为万元，依题意得，解得y≤10，依题意得，利润=(18-12-1)y+(12-8-0.6)(20-y)=1.6y+68，∵1.6>0，∴W随y的增大而增大，当y=10时，W最大，最大值为84万元．答：当安排生产甲种产品10万只、乙种产品10万只时，可使该月公司所获利润最大，最大利润是84万元．10．某地特产采取线上销售，产品供不应求，销售额（万元）与（月）之间的函数关系如下表所示.销售成本（万元）与销售额（万元）之间的函数关系如下图线段所示.月份（/月）123456销售额（/万元）100100150175200200（1）求线段所表示的函数的表达式；（2）若表示销售利润，问第几个月销售利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）；（2）5月和6月的销售利润最大，最大利润为90万元．【详解】（1）设销售成本与销售额之间的函数关系为，将和代入上式，得，解得.∴线段所表示的函数的表达式为.（2）.∵，∴随的增加而增加，∴当时，最大，，∴5月和6月的销售利润最大，最大利润为90万元．11．如图，将直线向上平移后经过点，分别交x轴y轴于点B、C．（1）求直线的函数表达式；（2）点P为直线上一动点，连接．问：线段的长是否存在最小值？若存在，求出线段的最小值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，线段的最小值为4.8．【详解】（1）设平移后的直线的解析式为，代入得解得∴直线的解析式为；（2）存在，理由如下：令x=0，得y=6，∴C（0，6），故OC=6令y=0，得x=8，∴B（8，0）故OB=8∴BC=∵OP⊥BC时，线段最小，∵S△ABC==∴=即线段的最小值为4.8．12．甲乙两个批发店销售同一种苹果，甲批发店每千克苹果的价格为3元，乙批发店为了吸引顾客制定如下方案：若一次性购买不超过10千克时，价格为4元，超过10千克时，超过部分的价格为2元/千克．设小王在同一批发店一次性购买苹果的数量为千克（）．（1）若在甲批发店购买需花费元，在乙批发店购买需花费元，分别求、关于的函数关系式；（2）求：当为何值时，在甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱？（3）若小王花费90元，则最多可以购买______千克苹果；若小王购买24千克苹果，两家对比，可节省______元．【答案】（1），；（2）20；（3）35，4．【详解】解：（1）由题意，甲批发店：，乙批发店：当时，，当时，，综上，；（2）①当时，则，解得，不符题意，舍去，②当时，则，解得，符合题意，综上，当为20时，在甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱；（3）甲批发店：当时，则，解得，乙批发店：因为当时，，所以当时，，解得，因为所以若小王花费90元，则最多可以购买35千克苹果；甲批发店：当时，，乙批发店：当时，，因为（元），所以若小王购买24千克苹果，两家对比，可节省4元；故答案为：35，4．13．明明的家与书店、学校依次在同一直线上，明明骑自行车从家出发去学校上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又返回到刚经过的书店，买到书后继续去学校，下面图象反映了明明本次上学离家距离y（单位：m）与所用时间x（单位：）之间的对应关系．请根据相关信息，解决下列问题：（Ⅰ）填表：离开家的时间/25811离家的距离/400600（Ⅱ）填空：①明明家与书店的距离是_____________；②明明在书店停留的时间是___________；③明明与家距离时，明明离开家的时间是___________．（Ⅲ）当时，请直接写出y与x的函数关系．【答案】（Ⅰ）1000，600；（Ⅱ）①600；②4；③4.5或7或；（Ⅲ）【详解】（Ⅰ）当时，经过(0，0)，(6，1200)，设函数解析式为，则，解得：，∴解析式为()，∴当时，；当时，，∴当时，；填表如下：离开家的时间/25811离家的距离/4001000600600（Ⅱ）①当时，，说明明明在书店买书，∴明明家与书店的距离是600；②明明在书店停留的时间是12-8=4()；③当时，，则()；当时，经过(6，1200)，(8，600)，同理求得函数解析式为()，∴，解得()；当时，经过(12，600)，(14，1500)，同理求得函数解析式为()，∴，解得()；故答案为：①600；②4；③或或；（Ⅲ）当时，经过(6，1200)，(8，600)，由（Ⅱ）知，函数解析式为()，当时，由（Ⅰ）知，函数解析式为()，当时，经过(12，600)，(14，1500)，由（Ⅱ）知，函数解析式为()，综上，．14．一艘轮船在航行中遇到暗礁船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水排尽．设轮船触礁后船舱内积水量为，时间为，y与x之间的函数图象如图所示．（1）修船过程中排水速度为_________，a的值为__________．（2）求修船完工后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）当船内积水量是船内最高积水量的时，直接写出x的值．【答案】（1）1，24；（2），；（3）或【详解】（1）由图可得修船的时间为：13-5=8分钟修船过程中进水速度为：20÷5=4（），∴排水速度为：4-（44-20）÷（13-5）=1（），船修好后将水排尽所需的时间为：44÷4=11分钟∴a=13+11=24，故答案为；1；24；（2）设修船完工后y与x之间的函数关系式为．由题意，把（13，44）、（24，0）代入得，解得，∴修船完工后y与x之间的函数关系式为．∴自变量的取值范围为．（3）设当时，y与x之间的函数关系式为．由题意，把（13，44）、（5，20）代入得，解得，∴当时，y与x之间的函数关系式为．∴当船内积水量是船内最高积水量的时，=22解得当，y与x之间的函数关系式为令=22解得∴当船内积水量是船内最高积水量的时，或．【过关检测】1．如图是邻居张大爷去公园锻炼及原路返回时离家的距离y（千米）与时间t（分钟）之间的函数图象，根据图象信息，下列说法不正确的是（）A．张大爷去时所用的时间多于回家的时间．B．张大爷在公园锻炼了40分钟C．张大爷去是走上坡路，回家时走下坡路D．张大爷去时的速度比回家时的速度慢【答案】B【详解】解：根据图像可知：A、张大爷去时所用的时间为15分钟，回家所用的时间为5分钟，故说法正确；B、张大爷在公园锻炼了40-15=25分钟，故说法错误；C、据A张大爷去时走上坡路，回家时走下坡路，故说法正确．D、张大爷去时用了15分钟，回家时候用了5分钟，因此去时的速度比回家时的速度慢，故说法正确．故选：B．2．八年级某生物课外兴趣小组观察一植物生长，得到植物高度与观察时间t（天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（）．A．该植物从观察时起60天以后停止长高 B．该植物最高长到16cmC．该植物从观察时起50天内平均每天长高1cm D．该植物最高长到18cm【答案】B【详解】解：由图象可知从第50天开始植物的高度不变，故A说法错误；设0≤x≤50时的解析式为y＝kx＋b（k≠0），∵经过点A（0，6），B（30，12），∴，解得．所以，解析式为y＝x＋6（0≤x≤50），当x＝50时，y＝×50＋6＝16cm，故B说法正确，D说法错误；平均每天长高（16−6）÷50＝（cm），故C说法错误；故选：B．3．某学校组织团员举行申奥成功宣传活动，从学校骑车出发，先上坡到达A地后，宣传8分钟；然后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是（）A．45.2分钟 B．48分钟 C．37.2分钟 D．33分钟【答案】A【详解】解：由上图可知，上坡的路程为3600米，速度为200米每分钟；下坡时的路程为6000米，速度为6000÷（46-18-8×2）=500米每分钟；由于返回时上下坡互换，变为上坡路程为6000米，所以所用时间为30分钟；停8分钟；下坡路程为3600米，所用时间是7.2分钟；故总时间为30+8+7.2=45.2分钟．故选：A．4．小明步行从家出发去学校，步行了5分钟时，发现作业忘在家，马上以同样的速度回家取作业，然后骑共享单车赶往学校，小明离家距离S（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图，则小明骑车比步行的速度每分钟快（）A．200 B．80 C．140 D．120【答案】D【详解】解：由图像知：步行了5分钟，走了400米，∴小明步行的速度为：400÷5＝80米/分钟，∵又以同样的速度回家取作业，∴又花了5分钟，后面骑车用的时间为：16－5－5＝6分钟，∴小明骑车的速度为：1200÷6＝200米/分钟，∴小明骑车比步行的速度每分钟快200－80＝120米/分钟，故选：D5．某弹簧的长度与所挂物体的质量（kg）之间的关系为一次函数，其函数图象如图所示，则不挂物体时弹簧的长度为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：设y与x的关系式为y=kx+b，∵图象经过（5，12.5）（20，20），∴，解得：，∴，当x=0时，y=10，即弹簧不挂物体时的长度是10cm．故选：C．6．如图，在平面直角坐标系中，点、，若直线与线段有公共点，则整数的值可以为______．（写出一个即可）【答案】-5（的整数即可）【详解】将代入中，得：，解得．∵直线与线段MN有公共点，∴N点在直线上或在直线左下方即可．∴．故答案为：-5（的整数任写其一即可）．7．下表为研究弹簧长度与所挂物体质量关系的实验表格．所挂物体重量1234弹簧长度10121416则当所挂物体质量为时，弹簧比原来伸长了______．【答案】7【详解】解：设y与x之间的关系可能是一次函数关系，设关系式为y=kx+b，把（1，10），（3，14）代入得：，解得：k=2，b=8，故y与x之间的关系式为y=2x+8，经验证：（2，12），（4，16）也满足上述关系，因此y与x的函数关系式就是y=2x+8，当x=0时，y=8，即不挂物体时弹簧的原长为8cm．当x=3.5时，y=2×3.5+8=15，15-8=7（cm）．故答案为：7．8．从肥城到北京大约450km，一辆客车以80km/h的速度从肥城出发至北京，则客车离北京的距离y表示为行驶时间t的函数关系式应为：___________．【答案】．【详解】∵h，∴∴根据题意可列出函数关系式：．故答案为：．9．儿童用药的药量常常按照他们的体重来计算．已知某种药品，体重10kg的儿童，每次正常服用量为120mg，体重15kg的儿童每次正常服用量为170mg．设儿童体重为x（kg）．每次正常服用量为y（mg）．当0≤x≤50时，y是x的一次函数．现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用量略高一些，但不能超过正常服用量的1.2倍，否则会对儿童的身体造成较大损害．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若该药品的一种包装规格为300mg/袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？【答案】（1）y与x之间的函数关系式是y＝10x＋20（5≤x≤50）；（2）体重在23≤x≤28范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．设儿童体重为x（kg）．每次正常服用量为y（mg），根据当0≤x≤50时，y是x的一次函数，利用待定系数法即可求解；（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以求得儿童的最大和最小体重，从而可以得到体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），∵体重10kg的儿童，每次正常服用量为120mg，体重15kg的儿童每次正常服用量为170mg．∴，解得，即y与x之间的函数关系式是y＝10x＋20（5≤x≤50）；（2）当y＝300时，300＝10x＋20，得x＝28，当y＝＝250时，250＝10x＋20，得x＝23，故23≤x≤28，即体重在23≤x≤28范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．10．为全面落实乡村振兴总要求，充分发扬“为民服务孺子牛”“创新发展拓荒牛”“艰苦奋斗老黄牛”精神，某镇政府计划在该镇试种植苹果树和桔子树共100棵．已知平均每棵果树的投入成本和产量如表所示，且苹果的售价为10元/kg，桔子的售价为6元/kg．成本（元/棵）产量（kg/棵）苹果树12030桔子树8025设种植苹果树x棵．（1）若种植苹果树和桔子树共获利y元，求y与x之间的函数关系式；（2）若种植苹果树45棵，求种植苹果树和桔子树共获利多少元？【答案】（1）；（2）种植苹果树和桔子树共获利11950元．【详解】解：（1）设种植苹果树x棵，则桔子树有棵，由题意得：==；∴y与x之间的函数关系式为；（2）由（1）可得：y与x之间的函数关系式为，∴把x=45代入得：；答：种植苹果树和桔子树共获利11950元．11．“震灾无情人有情“，玉树地震牵动了全国人民的心，武警某部队接到命令，运送一批救灾物资到灾区，货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A处相距360千米的灾区B处．下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量y（升）与行驶时间x（时）之间关系：行驶时间x（小时）01234余油量y（升）15012090