第01讲 探索勾股定理(原卷版)

添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群第01讲探索勾股定理内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1以直角三角形三边为边长的图形面积题型2已知直角三角形的两边，求第三边长题型3等面积法求斜边上的高问题题型4勾股定理与网格问题题型5勾股定理与折叠问题题型6利用勾股定理求两条线段的平方和（差）题型7利用勾股定理证明线段平方关系题型8勾股定理的验证方法04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航勾股定理勾股定理验证1.经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。3.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发展学生的探究意识和合作交流的习惯4.掌握勾股定理和它的简单应用。学习重点（1）了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题；（2）能熟练应用拼图法证明勾股定理。学习难点（1）勾股定理的发现；（2）用面积证勾股定理。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段【方法总结】1.面积法证定理：通过拼图或割补图形，利用面积相等关系验证勾股定理。2.代数法求边长：已知直角三角形两边，利用公式a2+b2=c2列方程求第三边。3.逆定理由边判形：若三角形三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形（用于判定垂直）。即时即练1．如图，中，．以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（）A．18 B．20 C．22 D．252．如图，在△ABC中，∠B=90°，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，(1)求的长；(2)求点B到斜边的距离；知识点02勾股定理验证（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.【方法总结】拼图割补：通过不同图形的面积相等验证，如赵爽弦图、毕达哥拉斯图、总统证法。核心是用两种方法表示同一图形面积，得到a2+b2=c2。即时即练【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：．【深入思考】如图2，在△ABC中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，∠ABD=90°，过点D作，垂足为点E．（1）求证：，；（2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：；【实际应用】（3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．题型1以直角三角形三边为边长的图形面积【例1】现有四块正方形纸片，其面积分别是4，6，8，10，从中选取三块按图所示的方式组成图案．若要使所围成的三角形是直角三角形，则要选取的三块纸片的面积分别是_____．【例2】如图，，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为__________．【技巧归纳】以直角三角形三边为边长向外作相似图形（如正方形、半圆、正多边形），则两条直角边上的图形面积之和等于斜边上的图形面积。核心技巧：抓住“相似”关系，直接应用勾股定理的推广，无需单独计算。【变式1-1】如图，直角三角形两直角边长分别为5和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________．【变式1-2】如图，，以的三边为边向外分别作正方形．然后以两个小正方形的边向外分别作两直角边之比为的直角三角形，再以得到的直角三角形的两直角边为边向外作正方形，则图中所有的正方形的面积之和为____________．题型2已知直角三角形的两边，求第三边长【例3】直角三角形斜边长13，一直角边长5，另一直角边长为____．【例4】一个直角三角形的两条直角边分别为和，则斜边的长为__________．【技巧归纳】1.明确斜边：若已知两边为直角边，第三边为斜边，用c=a22.识别斜边：若已知一边为斜边，另一边为直角边，则另一直角边用a=c23.注意：斜边总是最长边。【变式2-1】如图，在中，，于，，，则为___．【变式2-2】如图，当笔记本电脑的张角为时，顶部边缘处离桌面的高度，此时底部边缘处与处之间的距离为，则电脑屏幕的宽为_____________．题型3等面积法求斜边上的高问题【例5】若直角三角形的斜边长为，一条直角边长为，则斜边上的高为______．【例6】在中，，是斜边上的高，，，则的长为______．【技巧归纳】公式：a×b=c×h，即两直角边乘积等于斜边乘以斜边上的高。步骤：1.先用勾股定理求出斜边c；2.代入公式h=abc【变式3-1】在中，，若，则斜边上的高的长为__________．【变式3-2】在中，，，边上的高为12，则的周长为______．题型4勾股定理与网格问题【例7】如图所示的网格是正方形网格，则°（点A，B，C是网格线交点）．【例8】在的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则边上的高为．【技巧归纳】1.构造直角三角形：在网格中，以格点连线为斜边，沿网格线作直角边。2.计算边长平方：直角边长取水平、竖直格数，其平方和即为斜边平方。3.无需开方：比较长度或面积时，直接用平方值判断。【变式4-1】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为．【变式4-2】在边长为1的正方形网格中，均为格点，(1)___________，___________(2)求中边上的高题型5勾股定理与折叠问题【例9】如图，在中，，，，点为边上一动点，交于点，将沿直线折叠，点的对应点为，当是直角三角形时，的长为_____．【例10】如图，小明用一张长方形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，长为．当小明折叠时，顶点落在边上的点处（折痕为）．则此时的面积为．【技巧归纳】1.找相等线段：折叠前后对应边相等、对应角相等。2.设未知数：将所求线段设为x，用x表示相关边长。3.构直角三角形：在折叠形成的直角三角形中，用勾股定理列方程求解。【变式5-1】如图，三角形纸片，，将纸片沿过点C的直线折叠，使点A落在边上点D处，再折叠纸片使点B与点D重合，折痕交于点E．若，，则的长为．【变式5-2】在四边形中，．(1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长；(2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长．题型6利用勾股定理求两条线段的平方和（差）【例11】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则．【例12】中，斜边，则的值是．【技巧归纳】1.构造直角三角形：以两线段为直角边，则平方和为斜边平方。2.求平方差：分别以两线段为斜边和直角边，另一直角边的平方即为平方差。3.借助网格或坐标：将线段放入网格或坐标系中计算。【变式6-1】如图，四边形的对角线，相交于点．若，则．【变式6-2】如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则．题型7利用勾股定理证明线段平方关系【例13】如图，和都是等腰直角三角形，，D为边上一点，求证：(1)；(2)．【例14】如图，在中，．(1)求证：；(2)当，，时，求的值．【技巧归纳】1.找直角三角形：将待证线段转化为某直角三角形的边。2.转移平方项：若线段不在同一直角三角形中，通过全等、相似、垂直等构造等量代换。3.加减勾股式：对多个等式相加或相减，消去中间项得结论。【变式7-1】如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．

(1)试判断与的大小关系，并说明理由；(2)试说明三者之间的关系．【变式7-2】如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接

(1)求证：；(2)若，，求的周长.题型8勾股定理的验证方法【例15】如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为和，斜边长为，图2是以为直角边的等腰直角三角形，用图1和图2可拼成图3的图形．(1)请指出图3是什么图形，并用它证明勾股定理；(2)请用若干个图1中的直角三角形拼成一个能证明勾股定理的图形（画出图形，不用证明）．【例16】如图，将一个长为a，宽为b的长方形纸片（如图Ⅰ，）剪成2个完全相同的直角三角形纸片（如图Ⅱ）后，斜边记为c，并摆成图Ⅲ．两个直角三角形纸片分别记为和，点D在边上，与交于点F，连接和．(1)写出与的位置关系及理由；(2)利用图Ⅲ，验证．【技巧归纳】1.面积割补：用四个全等直角三角形拼成正方形，通过大正方形面积减小正方形面积等于四个三角形面积，导出a2+b2=c2。2.总统证法：梯形面积等于三个直角三角形面积和，化简得勾股定理。核心：利用等积变换。【变式8-1】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图2），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)如图1，以直角三角形的三边为边分别向外部作正方形，已知，，求的值；(2)请根据图2中的“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；(3)如图3，以直角三角形的三边为直径分别向外部作半圆，已知，，求的值．【变式8-2】【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．【方法运用】(1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：．【方法迁移】(2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值．1．中，，，，则（

）A．10 B．14 C．12 D．52．在直角三角形中，斜边，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（

）A．8 B．64 C．7 D．494．如图是一块正方形草地，在边上取定一个点E，经测量知，．则这块草地的面积是（

）A． B． C． D．5．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（

）A． B． C． D．6．在中，，，，则______．7．如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则________．8．如图，一张三角形纸片，，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与点B重合，则的长是______．9．已知的两条直角边分别为，斜边为，若，则的面积为______．10．如图，平平同学从刘徽设计的“青朱出入图”出发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．，，为剪痕与原正方形边的交点，已知，．那么正方形的边长为_______．11．如图，在中，于点，，，高，求的长．12．如图，在四边形中，，，，，求的长．13．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．(1)若，，，，请求出，，，的值；(2)若，，求的值．14．在中，，动点从点出发，沿射线以个单位/s的速度移动，设运动的时间为t秒；(1)求线段的长；(2)当为直角三角形时，求t的值．15．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则．(1)【探索求证】数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理．