第02讲 一定是直角三角形吗(原卷版)

添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群第02讲一定是直角三角形吗内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1勾股树（数）的判定题型2判断三边能否构成直角三角形题型3在网格中判断直角三角形题型4利用勾股定理的逆定理求解题型5勾股定理逆定理的实际应用题型6勾股定理逆定理的拓展问题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航勾股定理逆定理、勾股数、直角三角形判定、三边关系、数形结合。1.掌握勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。2.理解勾股数的概念，能识别常见的勾股数（如3,4,5；5,12,13等）。3.能运用逆定理由三边之长判断一个三角形是否为直角三角形，并解决简单实际问题。4.经历“观察—归纳—猜想—验证”的探索过程，发展推理能力和数形结合思想。学习重点：通过三角形三边长度关系（a²+b²=c²）判断其是否为直角三角形，掌握几组常见的勾股数。学习难点：证明“若三角形的三边长满足a²+b²=c²，则它是直角三角形”的推理过程（几何论证），以及灵活运用逆定理解决实际问题。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01勾股数像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数【易错提醒】勾股数是满足a2+b2=c2的三个正整数。注意：一组勾股数扩大相同整数倍后仍是勾股数。勿将含无理数或分数的数组称为勾股数。即时即练1．下列数组中，是勾股数的是（

）A．5，12，13 B．1，1，1 C． D．，，2．下列各组数中，是勾股数的是（

）A．9，40，41 B．5，12，15 C．1.5，2，2.5 D．13，14，15知识点02勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.【易错提醒】先找最长边确定斜边c，再验证a²+b²=c²，缺一不可。勿忘记c需为最大边，否则易错判直角位置。即时即练1．在中，，则下列不能作为判定△ABC是直角三角形的条件是（）A． B．C． D．2．如图，在中，，，点在边上，且，．(1)求的长；(2)判断的形状，并说明理由．题型1勾股树（数）的判定【例1】下列各组数中，是勾股数的是（）A．7，8，10 B．8，24，25 C．5，12，13 D．5，10，13【例2】下列几组数中，为勾股数的是（

）A．3，4，5 B．6，8，12 C．8，10，12 D．5，12，17【技巧归纳】1.核心结构：以直角三角形三边为边向外作正方形，重复于两小正方形外侧。2.面积关系：两小正方形面积和等于大正方形面积（a2+b2=c2）。3.识别生成规则：每层所有正方形面积总和等于底层大正方形面积乘层数。【变式1-1】下列各组数中，不是勾股数的一组是（

）A．7，24，25 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，15，17【变式1-2】下列各组数中不是勾股数的是（

）A．6，8，10 B．1，，C．5，12，13 D．33，44，55题型2判断三边能否构成直角三角形【例3】已知，，是的三条边，则下列条件能判定为直角三角形的是（

）A． B．C． D．【例4】已知，，，，则下列条件不能判定是直角三角形的是（

）A． B．C．，， D．【技巧归纳】1.排序：三边从小到大排序为a≤b≤c。2.验勾股：计算a2+b2是否等于c2，相等则直角。3.先判三角形成立：满足两边和大于第三边。【变式2-1】下列条件中，不能判定为直角三角形是（

）A．，， B．C． D．【变式2-2】满足下列条件的，不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．题型3在网格中判断直角三角形【例5】如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，均在网格的格点上，下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．【例6】如图，小正方形的边长均为，、、在小正方形的格点上，连接，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【技巧归纳】1.算三边平方：利用格点间横纵距离求各边平方。2.验勾股：若较小两平方和等于最大平方，则为直角三角形。3.也可看垂直：检查是否有边水平、竖直，或利用斜率乘积为-1。【变式3-1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（

）A． B．C．的面积为10 D．点到直线的距离是2【变式3-2】如图所示的网格是正方形网格，点、、、、都是网格线交点，则（）A． B． C． D．题型4利用勾股定理的逆定理求解【例7】如图，在四边形中，，，，，，判断与的位置关系，并说明理由．【例8】用一根长为的绳子围成，已知．(1)的长为_____．(2)求点到的距离．【技巧归纳】1.排序：三边a≤b≤c，验证a2+b2是否等于c2。2.列方程：已知某两边关系设未知数，利用等式求边长或参数。3.得直角：满足则c边对角为90°，用于证垂直或角度。【变式4-1】如图，在中，于点D，已知，，．(1)求，的长；(2)求证：是直角三角形．【变式4-2】如图，在四边形中，．(1)连接，求的长；(2)求四边形的面积．题型5勾股定理逆定理的实际应用【例9】如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米．(1)求的度数；(2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）．【例10】劳动教育能够提升学生的创造力，强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长为24米，边长为7米，蔬菜区的边长为20米，边长为15米，．(1)求小路的长；(2)求的度数和蔬菜区的面积．【技巧归纳】1.构造三角形：测量三边长度，判断是否为直角三角形。2.判定垂直：若三边满足勾股定理，则边c所对角为90°。3.选材定位：用于建直角、测距、方位判断等实际问题。【变式5-1】如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，且，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（、、在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题：(1)试判断步道是否是露营区到湖边的最短路径，并说明理由；(2)求观景台与观景台之间距离的长．【变式5-2】如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且．(1)求的度数．(2)若直线为工厂的车辆进出道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，求被监控到的道路长度为多少米？（精确到1m，参考数据，）题型6勾股定理逆定理的拓展问题【例11】阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题：(1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；(2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________．【例12】定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割．(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长．【技巧归纳】1.分数或根号边：三边平方后化为整数再比较。2.非整数比：若a:b:c=m:n:p，验证m2+n2=p2即为直角。3.多条件：结合面积或周长列方程组，用逆定理列等式求参数。【变式6-1】定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；(2)已知的三边a，b，c满足．求证：c是“完美勾股数”．(3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”．多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式．【变式6-2】在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．(1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形；(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”）(3)判断：当时，当为直角三角形时，则的取值为________；当为锐角三角形时，则的取值范围________；当为钝角三角形时，则的取值范围________．一、单选题1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（

）A．0.3，0.4，0.5 B．1，3，2 C．4，5，6 D．9，40，412．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（

）A． B． C． D．3．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个4．已知的三边长分别为，，，且满足，则是（）A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形C．以为斜边的直角三角形 D．非直角三角形5．已知a、b、c是的三边长，则下列说法中不成立的一项是（

）．A．若，则一定是直角三角形B．若，则一定是钝角三角形C．若，则一定是锐角三角形D．若，则可能是直角三角形二、填空题6．给出下列几组数据：①3，4，5；②1，3，4；③4，4，6；④6，8，10；⑤5，7，2；⑥13，5，12；⑦7，25，24．以每组数据为三边长，可构成三角形的有____________；可构成直角三角形的有____________．（填序号）7．如图，在正方形网格中有两条直线与，则的度数为__________．8．如图，，，，，，则四边形的面积是______．9．若的三边长分别为a，b，c，且满足，则的面积为___．10．阅读下列内容，设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；若③，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，则最长边是，由于，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题．（1）若一个三角形的三条边长分别是，，则该三角形是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；（2）若一个三角形的三条边长分别是，，且这个三角形是直角三角形，则的值为_____．三、解答题11．如图，在中，，，，．求：(1)的周长；(2)判断是否是直角三角形？为什么？12．如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，．(1)请判断的形状，并说明理由；(2)过点作于点，求线段的长．13．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，．(1)与垂直吗？请说明理由；(2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度．14．已知、、为直角三角形三边，且为斜边，