第13讲 认识一次函数(6类重点题型+过关检测)(原卷版)

添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群第13讲认识一次函数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1正比例函数的定义题型2一次函数的识别题型3根据一次函数的定义求参数题型4求一次函数自变量或函数值题型5列一次函数解析式并求值题型6根据正比例函数的定义求函数表达式04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航一次函数、正比例函数、y=kx+b、k≠0、b=0、建模。1.理解一次函数的概念，能识别形如y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的函数。2.掌握正比例函数是特殊的一次函数（b=0），并能区分一次函数与正比例函数。3.能根据实际问题中的数量关系列出一次函数表达式，并确定自变量的取值范围。4.体会函数模型的广泛应用，感受数学与生活的紧密联系。学习重点：一次函数的概念及其一般形式，正比例函数与一次函数的关系。学习难点：理解一次函数中k和b的实际意义，以及从实际问题中抽象出一次函数模型并确定自变量的取值范围。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01一次函数的定义一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数.【易错提醒】一次函数定义易错警示：形如y=kx+b（k≠0），自变量x次数为1。注意：b可为0（正比例函数），但k必须非零。若k=0，则为常函数，不是一次函数。表达式必须为整式。即时即练1．下列函数中：①；②；③；④，其中是的一次函数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．已知.(1)当m，n为何值时，是的一次函数？(2)当m，n为何值时，是的正比例函数？知识点02正比例函数的定义正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数.函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立.【易错提醒】正比例函数定义易错警示：形如y=kx（k≠0），是特殊的一次函数。注意：x的指数必须为1；k为比例系数，不能为0。勿将y=kx+b（b≠0）误认为正比例函数。比例系数带符号。即时即练1．下列函数中，正比例函数是（）A． B． C． D．2．写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数，是否为的正比例函数．①等边三角形的周长与边长之间的关系；②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量（升）与已行驶的距离（千米）之间的关系；③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系；④设一长方体盒子高为，底面是正方形，求这个长方体的体积（）与底面边长（）之间的关系．题型1正比例函数的定义【例1】下列函数中，是正比例函数的是（

）A． B． C． D．【例2】下列函数关系式中，是的正比例函数的是（）A． B． C． D．【技巧归纳】正比例函数：y=kx（k≠0），自变量的指数为1。图象过原点(0,0)。判断时看是否可化为y=kx形式，且k不为0。k>0图象过一三象限，k<0过二四。实际问题中如单价固定总价与数量成正比。注意与其他函数区分。【变式1-1】下列函数中是正比例函数的是（

）A． B． C． D．【变式1-2】下列各函数中，是的正比例函数的是（）A． B． C． D．题型2一次函数的识别【例3】下列函数为一次函数的有（

）①；②；③；④．A．①②④ B．①③ C．①② D．②④【例4】下列函数中，是一次函数，但不是正比例函数的是（

）A． B． C． D．【技巧归纳】一次函数：y=kx+b（k≠0），自变量的指数为1。判断依据：可化为该标准式，且k≠0。若b=0则为正比例函数。注意系数含参数时要保证k不为0。如y=2x+1是一次；y=3/x不是。分母含自变量或指数非1则不是。【变式2-1】在下列函数解析式中，①；②；③；④，一定是一次函数的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式2-2】有下列五个式子：①；②；③；④；⑤．其中，表示y是x的一次函数的有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个题型3根据一次函数的定义求参数【例5】已知函数．（1）当时，是的一次函数；（2）当时，是的正比例函数．【例6】若是关于x的一次函数，则．【技巧归纳】化为y=kx+b形式，令自变量指数为1且系数k≠0。如y=(m-1)x+2是一次函数，则m-1≠0得m≠1。若还要求正比例，则b=0。列方程或不等式，解出参数，排除使k=0或分母为零的值。注意多个条件联立。【变式3-1】当时，函数是一次函数．【变式3-2】若函数是一次函数，则k的值是．题型4求一次函数自变量或函数值【例7】已知点在一次函数的图象上，则的值为．【例8】已知点在一次函数的图象上，则的值是．【技巧归纳】已知解析式y=kx+b，求函数值：代入x；求自变量：解方程y=kx+b。注意x的取值应在定义域内（实际问题有范围）。若给出图象，直接读取坐标。多个函数值比较时，直接代入计算或利用增减性（k>0增，k<0减）。【变式4-1】若点在直线上，则代数式的值是．【变式4-2】已知函数．(1)求当时，函数y的值；(2)求当时，自变量x的值．题型5列一次函数解析式并求值【例9】已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S．(1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；(2)当S=12时，求P的坐标．【例10】甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；（2）当x=0.5时，求y的值．【技巧归纳】先根据题意找等量关系，设y=kx+b。代入两组对应值，解方程组求k、b。写出解析式并注明自变量范围。求值时代入x或y。注意实际问题中变量关系可能为正比例（b=0），需代入验证。单位要统一。【变式5-1】如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离．（1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数；（2）当时，求的值．【变式5-2】尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元．(1)请分别写出，与x之间的关系式；(2)若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠．题型6根据正比例函数的定义求函数表达式【例11】已知与成正比例，且当时，．(1)求与之间的函数关系式；(2)若点在这个函数的图象上，求的值．【例12】已知与成正比例，且当时，．(1)求y与x的函数关系式；(2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值．【技巧归纳】正比例函数y=kx（k≠0）。若已知一对对应值（除原点），代入得k=y/x。也可由实际意义中“成正比”直接设，再通过已知条件求k。注意k的符号与图象象限对应。若题中给出比例系数，直接写出式。验证时过原点。【变式6-1】已知y与成正比例，当时；(1)求y关于x的函数解析式；(2)当时，求x的值．【变式6-2】已知与成正比例，当时，．(1)求出y与x的函数关系式；(2)设点在这个函数的图象上，求a的值．(3)试判断点是否在此函数图像上，说明理由．一、单选题1．下列y关于x的函数中，是正比例函数的是（

）A．y=x3； B．C．； D．y=x+132．一次函数y=−x+1的图像经过点A，则点A的坐标可能是（

）A．(2,4) B． C． D．3．函数①y=kx+b；②；③y=−2x；④；⑤，其中是一次函数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．已知y是x的正比例函数，且当x=2时，，当x=−3时，y的值为（

）A．6 B．−6 C．9 D．−95．弹簧原长（不挂重物）12cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如下表所示：当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（cm）是（

）弹簧总长L（cm）1314151617重物质量x（kg）0.51.02.02.5A．27 B． C．20 D．二、填空题6．已知点在一次函数y=−x+3的图象上，则a的值为_____．7．函数y=m−1xm+2是一次函数，则8．点在直线y=−2x−1上，则代数式的值为________．9．定义：对于函数y=kx+b（），将的值叫做该函数的特征值．若函数y=2x+m的特征值为，则______．10．新定义：为一次函数y=ax+b（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________．三、解答题11．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？(1)正方形的面积与它的边长之间的关系；(2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系；(3)小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y（元）与购买的黑色签字笔x（支）之间的关系．12．已知函数，(1)当x=2时，求函数的值；(2)当x取何值时，函数的值为0．13．已知y关于x的函数表达式为．(1)若y是x的正比例函数，求m的值；(2)若m=4，通过计算判断点是否在该函数的图象上．14．已知与x+