专题13 函数与函数图象的五种考法（解析版）

专题13函数与函数的图象的五种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 1类型一、函数的理解 1类型二、函数的三种表示方法 4类型三、求自变量的值或函数值 7类型四、动点问题画函数图象 9类型五、从函数的图象获取信息 13压轴能力测评（16题） 16解题知识必备1.变量与函数在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。2.函数的概念函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.3.函数的三种表示方法=1\*GB3①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。=2\*GB3②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。=3\*GB3③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。压轴题型讲练类型一、函数的理解例题：（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）下列各图象中，不是的函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】函数的概念【分析】本题考查了函数的定义，对于两个变量、，当自变量取一个确定的值时，因变量有唯一一个值与对应，则称是的函数，解决本题的关键是根据函数的定义进行判断．【详解】解：A选项：从图象上可知：当自变量取一个确定的值时，因变量有唯一一个值与对应，是的函数，故A选项不符合题意；B选项：从图象上可知：当自变量取一个确定的值时，因变量有唯一一个值与对应，是的函数，故B选项不符合题意；C选项：从图象上可知：当自变量取一个确定的值时，因变量有个值与对应，不是的函数，故C选项符合题意；D选项：从图象上可知：当自变量取一个确定的值时，因变量有唯一一个值与对应，是的函数，故D选项不符合题意；故选：C．【变式训练】1．（24-25八年级下·云南昆明·阶段练习）下列图象中，表示y是x的函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】函数的概念【分析】本题主要考查了函数的定义，函数的定义是：对于每一个的值，都有唯一确定的值与之对应．【详解】解：选项A：在这个图象中，对于的某些值，有多个值与之对应，这不符合函数的定义，所以选项A不表示是的函数．选项B：在这个图象中，对于每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，这符合函数的定义，所以选项B表示是的函数．选项C：在这个图象中，对于的某些值，有多个值与之对应，这不符合函数的定义，所以选项C不表示是的函数．选项D：在这个图象中，对于的某些值，有多个值与之对应，这不符合函数的定义，所以选项D不表示是的函数．故答案为：B．2．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）下列选项中，y不是x的函数的是（

）A．x051015y33.544.5B．C．D．【答案】D【知识点】函数的概念【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握函数的定义是解此题的关键．【详解】解：A、表中每一个值都对应一个值，故是的函数，不符合题意；B、图中每一个值都对应一个值，故是的函数，不符合题意；C、图中每一个值都对应一个值，故是的函数，不符合题意；D、在的部分，每一个值都对应两个值，故不是的函数，符合题意；故选：D．3．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）下列四个关系式：①；②；③；④，其中y是x的函数的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④【答案】C【知识点】函数的概念【分析】此题主要考查了函数的定义．根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．【详解】解：对于的每一个取值，都有唯一确定的值，①；③当取值时，有唯一的值对应；即y是x的函数的是①③，故选：C．类型二、函数的三种表示方法例题：（24-25八年级上·安徽淮北·期中）声音在空气中传播的速度和气温之间有如下关系：气温05101520声速331334337340343(1)上表反映了____________与____________之间的关系，其中____________是自变量；(2)若用表示气温，表示声速，则随着的增大，将发生怎样的变化？(3)从表中数据的变化，你发现了什么规律？写出与之间的函数表达式．【答案】(1)气温，声速，气温(2)随着的增大，也增大(3)气温每升高，声速增加，【知识点】用表格表示变量间的关系、函数解析式【分析】本题考查了变量之间的关系，函数解析式．（1）根据表格，结合变量的相关知识即可解答；（2）根据表格中的数据即可解答；（3）观察表格发现气温每升高，声速增加，据此可得函数解析式．【详解】（1）解：上表反映了气温与声速之间的关系，其中气温是自变量；故答案为：气温，声速，气温；（2）解：由表可知，随着的增大，也增大；（3）解：从表中数据的变化．可知：气温每升高，声速增加，所以与之间的函数表达式为：．【变式训练】1．（24-25七年级下·全国·课后作业）心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出这个新概念所用的时间x（单位：）之间有如下表所示的关系（其中）：提出一个新概念所用的时间257101213141720对这个新概念的接受能力y47.853.556.35959.859.959.858.355(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)根据表格中的数据，当提出一个新概念所用的时间是时，学生对这个新概念的接受能力最强；(3)学生对一个新概念的接受能力在什么时间段内逐渐增强？在什么时间段内逐渐减弱？【答案】(1)反映了提出一个新概念所用的时间x与学生对这个新概念的接受能力y之间的关系，其中提出一个新概念所用的时间x是自变量，学生对这个新概念的接受能力y是因变量(2)13(3)学生对一个新概念的接受能力在时间段内逐渐增强，在时间段内逐渐减弱【知识点】函数的概念、用表格表示变量间的关系【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，理解自变量、因变量的意义以及变化关系是解决问题的关键．（1）根据表格中提供的数量的变化关系，得出答案；（2）根据表格中两个变量变化的数据可得出答案；（3）根据表格提供变化情况得出结论．【详解】（1）解：题表反映了提出一个新概念所用的时间x与学生对这个新概念的接受能力y之间的关系，其中提出一个新概念所用的时间x是自变量，学生对这个新概念的接受能力y是因变量．（2）解：由题意可得：当提出一个新概念所用的时间是时，学生对这个新概念的接受能力最强；（3）解：由表格中的数据可知，学生对一个新概念的接受能力在时间段内逐渐增强，在时间段内逐渐减弱．2．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）数学兴趣小组通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：气温0102030声音在空气中的传播速度319325331337343349阅读上述材料，回答下列问题：(1)在这个变化过程中，哪些量是变量？(2)从表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了多少？(3)用含t的代数式表示v；(4)某日的气温为，小莹同学看到烟花燃放后才听到声响，那么小莹同学与燃放烟花所在地大约相距多远？【答案】(1)气温和声音在空气中的传播速度(2)气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了，(3)(4)【知识点】用关系式表示变量间的关系、用表格表示变量间的关系、求自变量的值或函数值、函数的概念【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，变量的定义以及变量之间的关系等等，正确理解题意是解题的关键．（1）根据声音在空气中的传播速度随着气温的变化而变化即可得到答案；（2）由表格中的数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了，据此可得答案；（3）根据（2）所求列式计算即可；（4）根据（3）所求求出此时声音在空气中传播的速度，再根据路程等于速度乘以时间列式计算即可．【详解】（1）解：由题意得，在这个变化过程中气温和声音在空气中的传播速度是变量；（2）解：由表格中的数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了，∴气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了；（3）解：由题意得，；（4）解：，答：小莹同学与燃放烟花所在地大约相距．3．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题：(1)点B所对应的数为_________．(2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时．(3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离．(4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？【答案】(1)1.5(2)60，80，110(3)270(4)轿车先达到乙地，提前0.5小时到达【知识点】用图象表示变量间的关系【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（1）点所对应的数为轿车出发的时间，根据题意求出轿车出发的时间即可；（2）根据图象结合速度路程时间，即可求得对应的速度；（3）根据图象求得货车行驶时间，再结合速度即可求解；（4）根据图象求得货车到达乙地时间即可求解．【详解】（1）解：∵轿车比货车晚出发1.5小时，货车是第0小时出发，∴轿车第1.5小时出发，∴点所对应的数是1.5；故答案为：1.5；（2）解：根据图象可知，货车速度是千米/小时，轿车在段的速度为千米/小时，轿车在段的速度为千米/小时，故答案为：60，80，110；（3）根据图象可知，轿车到达乙地时，货车行驶时间为，此时，货车与甲地的距离为千米；（4）根据图象可知，轿车先到达乙地，货车达到时间为小时，可知，轿车比货车提前小时，即：轿车先达到乙地，提前0.5小时到达．类型三、求自变量的值或函数值例题：（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在函数中，自变量x的取值范围是．【答案】且【知识点】求自变量的取值范围、求不等式组的解集、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴且；故答案为：且．【变式训练】1．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知函数，若，则x的值为．【答案】或【知识点】求自变量的值或函数值【分析】本题考查了函数值的概念，把代入两个函数解析式求解的值再检验即可．【详解】解：由题意可得，，∴，解得：，符合题意，当，解得：，符合题意；综上：，则x的值为或，故答案为：或．2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则．【答案】5【知识点】程序流程图与代数式求值、求自变量的值或函数值【分析】本题考查了函数值，看懂程序图是解题的关键．根据程序图分别求出值是和时的值，再列出方程即可求解，【详解】解：当时，，当时，，∵输入的值是和时，输出的值相等，∴，∴，故答案为：5．3．（24-25七年级下·全国·课后作业）假设圆柱的高是，圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之发生变化．（1）在这个变化的过程中，自变量为，因变量为；（2）如果圆柱底面半径为r（单位：），那么圆柱的体积V（单位：）可以表示为；（3）当r由变化到时，V由变化到．【答案】圆柱的底面半径圆柱的体积【知识点】求自变量的值或函数值、函数解析式、函数的概念【分析】本题考查了函数定义，求解函数关系式，利用圆柱体积公式求解函数关系式是本题解题的关键．（1）根据函数之间两变量之间的关系即可得到答案．（2）根据圆柱的体积公式即可求得关系式．（3）将自变量r的变化值代入（2）中求得的解析式中即可．【详解】解：（1）在这个变化的过程中，自变量为圆柱的底面半径，因变量为圆柱的体积；（2）如果圆柱底面半径为r（单位：），那么圆柱的体积V（单位：）可以表示为；（3）当时，,当时，；当r由变化到时，V由变化到．故答案为：圆柱的底面半径，圆柱的体积，，，；类型四、动点问题画函数图象例题：（2025·河南南阳·一模）如图1，在中，，为边上一定点，动点从点出发，沿折线—运动至点后停止．设点运动的路程为，令，图2是与的函数关系图象，则点到的距离为．【答案】【知识点】用勾股定理解三角形、动点问题的函数图象【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握以上知识点，数形结合是解题的关键．过点作于点，连接，由图象可知；当点N与点B重合时，；，先求得，推出，在利用勾股定理求得．【详解】解：过点作于点，连接，如图所示：由图象可知；当点N与点B重合时，；．在中，由勾股定理，可得．，．故答案为：．【变式训练】1．（24-25九年级下·江西·阶段练习）如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，则的长为．【答案】【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长【分析】根据题意可得点从时，逐渐增大，当时，，当时，值最小，当点继续运动到点时，值逐渐增大，即当点运动到点时，，由勾股定理得到，再根据直线三角形斜边中线等于斜边的一半，由此即可求解．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，∴是的直角边，是斜边，∴点从时，逐渐增大，根据图2可得，当时，，当时，在中，是直角边，是斜边，∴，即，逐渐减小，当时，值最小，当点继续运动到点时，值逐渐增大，即当点运动到点时，，同理，点从时，逐渐减小，到时有最小值，之后逐渐增大，当点运动到点时，，此时停止运用，∴，∴点运动到中点时，的长为，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，动点与函数图形的综合，掌握菱形的性质，函数图象的增减性是解题的关键．2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，点是中点，点从点开始，沿着的路线匀速运动，设的面积是，点经过的路线长度为，如图坐标系中折线表示与之间的函数关系，根据图象信息，长方形的周长为．【答案】【知识点】动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，理解点的运动，函数图象中点的含义是解题的关键．根据点的运动，函数图形的信息可得，当点运动到点时，，即，则，当点从点运动到点时，的面积是，可得，根据长方形的周长计算公式即可求解．【详解】解：点是中点，点从点开始，沿着的路线匀速运动，当点运动到点时，，即，∴，∴，当点从点运动到点时，的面积是，∴，解得，，∴长方形的周长为，故答案为：．3．（2024·湖北·模拟预测）如图1，点E在正方形的边上，且，点P沿从点B运动的到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为，则最高点N的纵坐标a的值为．【答案】【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、动点问题的函数图象【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、三角形三边之间的关系、勾股定理等，解题的关键是准确分析图1与图2的对应变化关系．根据正方形的对角线的轴对称性得到，则得到y的最小值是AE，对应到图2中的最低点M的纵坐标，结合之间的关系及勾股定理可求得的长，再观察到当点P运动到D点时，y达到最大值a，勾股定理求得长，则可求得a的值．【详解】解：连接，

∵四边形是正方形，是其对角线，∴，又，∴，∴，，连接交于点，（三角形两边之和大于第三边）．当点P运动到时，，解得，．连接，则．在图1中，当P运动到D点时，对应图2中最高点N，此时y取最大值a，，故答案为：．类型五、从函数的图象获取信息例题：（2025·江苏盐城·一模）2025年3月30日盐城马拉松激情开跑，小明报名参加迷你马拉松比赛，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．他跑步的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是．（填写序号）①第所用的时间最长；

②前的平均速度大于最后的平均速度；③第和第的平均速度相同；

④第的平均速度最大．【答案】①③④【知识点】从函数的图象获取信息【分析】本题主要考查从图像中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可．【详解】解：“配速”是每行进所用的时间，故从图中可知，第所用的时间最长，故①说法正确；平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程时间，由图可知，第配速最小，故第所用时间最短，故第的平均速度最大，故④说法正确；第所用的时间与第所用的时间一致，故第的和第的平均速度相同，故选③说法正确；由于前的时间大于最后的时间，故前的平均速度小于最后的平均速度，故②说法错误；综上所述：说法正确的是①③④．故答案为①③④．【变式训练】1．（22-23九年级下·河南洛阳·期末）兔子输掉比赛后，后悔不已，决定跟乌龟再比一场．它们商定：从地跑或游到地，其中兔子从地出发翻过一座山后到达地，乌龟从地下水游到地．由于赛道不同，它们的比赛距离也不一样，最后同时到达地．请根据提供的比赛图象信息，判断下列说法中正确的是．（只填序号）①兔子在上山过程中休息后，乌龟游过的路程刚好与兔子跑过的路程相同；②乌龟在水中游动的速度是；③兔子下山的速度比上山休息后的速度快；④这场比赛，如果兔子在上山过程中少休息一会儿，它就能赢．【答案】①②④【知识点】从函数的图象获取信息【分析】本题主要考查了函数图象的读图能力．观察图象，横坐标是比赛用时，纵坐标是路程分钟内，乌龟一直匀速运动，24分钟共行进的路程为，分钟，兔子一直匀速运动，第分钟内路程不变，说明兔子在休息，分内，兔子匀速上山，第18分后开始下山，分钟内匀速运动，第24分到达终点，兔子的总路程为．要能根据函数图象的性质对图象上的数据分析得出有用信息将问题解决．【详解】解：兔子在上山过程中休息6分钟后，乌龟游过的路程是，兔子跑过的路程是．故①正确；乌龟在水中游动的速度（千米分）（千米时），故②正确；兔子下山的速度（千米分）（千米时），上山休息后的速度（千米分）（千米时），（千米时），兔子下山的速度比上山休息后的速度快50千米时．故③错误；这场比赛，只要兔子在上山过程中少休息一会儿，则它到达终点的时间就小于分钟，兔子用的时间就比乌龟少了，它就能赢．故④正确．故答案为：①②④．2．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明和小华是同班同学，也是邻居．某日早晨，小明先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到学校．如图所示的是他们从家到学校经过的路程s（单位：m）和所用时间t（单位：）的关系图，则下列说法正确的是（填序号）．①小明家离学校的距离是；②小华乘坐的公共汽车的速度是；③小华乘坐公共汽车后，在与小明离学校的距离一致．【答案】①②③【知识点】从函数的图象获取信息【分析】本题考查的是一次函数图象的综合应用，根据已知信息和函数图象的数据，依次解答每个选项．【详解】解：由图象可知，小华和小明的家离学校，故①正确；根据图象，小华乘公共汽车，从出发到达学校共用了，所以公共汽车的速度为，故②正确；小明先出发8分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐的过程中，小华出发并与小明相遇然后超过小明，所以二人相遇所用的时间是，即相遇，即在与小明离学校的距离一致，故③正确．故答案为：①②③．3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小亮家、小刚家、体育馆顺次在同一条直线上，周末小亮从家匀速步行去体育馆打羽毛球．小亮出发4分钟经过小刚家时，小刚跟随小亮一起前往体育馆，两人走了4分钟后，小刚发现自己忘记带装备，于是小刚加速返回家，取了装备后（取装备用了一段时间）又以返回家时的速度赶往体育馆；小亮仍以原速度前行，结果小刚比小亮提前1分钟到达体育馆．若小亮与小刚两人和体育馆之间的距离（米）与小刚出发的时间（分钟）之间的函数图象如图所示，则以下说法正确的是（填写序号）．①小刚返回家的速度为250米/分钟；

②小亮与小刚家相距600米；③小亮用了24分钟到达体育馆；

④小刚回家后用了0.6分钟取装备；⑤小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家2725米．【答案】①②③④【知识点】动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息【分析】本题考查从函数图象获取信息，根据题意和图象中的数据，可以分别计算出各个小题中的说法是否正确，从而可以判断哪个小题符合题意．【详解】解：由图象可得，小刚返回家的速度为：（米/分钟），故①正确，符合题意；小亮与小刚家相距为：（米），故②正确，符合题意；小亮到体育馆用的时间为：（分），故③正确，符合题意；小刚从家到体育馆用的时间为：（分），小刚回家后取装备用的时间为：（分），故④正确，符合题意；小刚取了装备后追上小亮时用的时间为分钟，，解得，∴小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家距离为：（米），故⑤错误，不符合题意；故答案为：①②③④．压轴能力测评（16题）一、单选题1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）徐老师到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机加油过程中某一时刻的数据显示，则其中的常量是（

）A．金额 B．数量 C．金额和单价 D．单价【答案】D【知识点】用图象表示变量间的关系【分析】本题主要考查常量和变量．根据常量的定义即可作答．【详解】解：由题意得，单价是常量．故选：D．2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）下列选项中，不能表示某函数图像的是（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】函数的概念【分析】本题考查了函数的概念，根据函数的概念可以判断哪个选项中的图象是与的函数图象，解题的关键是正确理解函数的概念，利用数形结合的思想解答．【详解】解：、与不是一一对应的，不符合函数的定义，符合题意；、与是一一对应的，符合函数的定义，不符合题意；、与是一一对应的，符合函数的定义，不符合题意；、与是一一对应的，符合函数的定义，不符合题意；故选：．3．（24-25八年级上·全国·课后作业）函数y=中，自变量x的取值范围为（）A． B．C．且 D．【答案】D【知识点】求一元一次不等式的解集、求自变量的取值范围【分析】本题考查函数自变量的取值范围，掌握二次根式、分式有意义条件，求公共解是解题关键．根据二次根式、分式有意义的条件，求自变量x的取值范围．【详解】因为，所以．又因为，所以，所以自变量x的取值范围为．故选：D．4．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）弹簧挂上物体后会伸长，测得一根弹簧的长度与所挂物体的质量之间有下面的关系：下列说法中，不正确的是（

）A．是自变量，是的函数B．弹簧不挂重物时长度为C．在弹簧的允许范围内，物体质量每增加，弹簧长度增加D．所挂物体质量为时，弹簧长度为【答案】B【知识点】函数的概念、求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系【分析】此题主要考查函数的表示方法，解题的关键是根据表格的关系写出函数的关系式，根据表格可得到函数的关系式，再根据关系式即可判断．【详解】解：由表格知弹簧不挂重物时的长度为，物体质量每增加，弹簧长度y增加，故弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）之间函数关系式为，∴A，C正确；B错误；所挂物体质量为时，弹簧长度，故D正确，故选：B．5．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在等腰中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义【分析】本题考查了从函数图象获取信息，等腰三角形的性质，勾股定理，过作于点，由图象可知：，，通过面积求出，最后再通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：过作于点，由函数图象可知：，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故选：．二、填空题6．（24-25八年级下·全国·单元测试）以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是，变量是．【答案】，，【知识点】用关系式表示变量间的关系【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量；在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量．根据常量与变量的定义即可直接得出答案．【详解】解：由常量与变量的定义可知：在关系式中，常量是，，变量是，，故答案为：，；，．7．（24-25八年级上·上海·期中）已知，则．【答案】【知识点】求自变量的值或函数值【分析】本题主要考查了求函数值，直接把代入到中，计算求出结果即可得到答案．【详解】解：∵，∴，故答案为：．8．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列式子中，y是x的函数关系的有个．①；②；③；④；【答案】3【知识点】函数的概念【解析】略9．（24-25七年级上·山西运城·期末）国际上常用的温标有华氏温标、摄氏温标和热力学温标，已知华氏温标（）与摄氏温标（℃）之间的函数关系为，热力学温标T（K）与摄氏温标（℃）之间的函数关系为．当热力学温度时，所对应的华氏温度为．【答案】【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求自变量的值或函数值【分析】本题考查了方程的应用和函数关系式，解题关键是根据题意代入求出c，再代入c，通过解方程求解．【详解】解：把代入得，，解得，把代入得，，故答案为：．10．（24-25七年级下·全国·单元测试）渔夫将渔船停靠在A地休息，等渔夫醒来时，发现渔船没有固定好，已经顺水漂流了一个半小时到达了B地，此时渔夫打开渔船的发动机，逆流匀速行驶了一段时间后又回到了A地．若水流的速度和渔船来回行驶的路线都保持不变，渔船离A地的距离（千米）与渔船移动的时间（小时）之间的图象如图所示，则该渔船从开始离开A地到回到A地所用的时间是小时．

【答案】【知识点】从函数的图象获取信息【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，先根据函数图象求出渔船从B返回A的速度，进而求出返回到A所用的时间，再加上从A到B的时间即可得到答案．【详解】解：由图象得，渔船返回A地时的速度为（千米/小时），∴渔船返回A地的时间为（小时），∴该渔船从开始离开A地到回到A地所用的时间是（小时），故答案为：．三、解答题11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，圆柱的底面半径是，当圆柱的高h（）大到小变化时，圆柱的体积随之发生变化．(1)在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是__________；(2)在这个变化过程中，圆柱的体积V与高h之间的关系式是__________；(3)当圆柱的高由变化到时，圆柱的体积由__________变化到__________．【答案】(1)圆柱的高h；圆柱的体积V(2)(3)；【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系【分析】本题考查函数的概念，函数关系式，函数值，掌握相关概念是解题的关键．（1）利用函数的概念进行回答；（2）利用圆柱的体积公式求解；（3）分别计算出和应的函数值可得到V的变化情况．【详解】（1）解：∵当圆柱的高h从大到小变化时，圆柱的体积V随之发生变化，∴自变量是圆柱的高h，因变量是圆柱的体积V．故答案为：圆柱的高h；圆柱的体积V（2）解：∵，∴圆柱的体积V与高h之间的关系式是．故答案为：（3）解：当时，，当时，，∴当圆柱的高由变化到时，圆柱的体积由变化到．故答案为：；12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）心理学研究发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系：x257101213141720…y47.853.556.35959.859.959.858.355…根据以上信息，回答下列问题：(1)上表反映的两个变量中，自变量是__________，因变量是__________．(2)当提出概念所用的时间为7分钟时，学生的接受能力是多少？(3)在上表中，当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？(4)根据表中数据，说说当提出概念所用的时间在2~20分钟时，学生对概念的接受能力是怎样变化的？【答案】(1)提出概念所用的时间x；学生对概念的接受能力y(2)56.3(3)13分钟(4)见解析【知识点】用表格表示变量间的关系【分析】此题主要考查了用表格表示变量间的关系，正确利用表格中数据得出结论是解题关键．（1）利用表格中数据得出答案；（2）利用表格中数据得出答案；（3）利用表格中数据得出答案；（4）先根据表格可知：当时，y的值最大是59.9，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，从而得出答案．【详解】（1）解：上表反映的两个变量中，自变量是提出概念所用的时间x，因变量是学生对概念的接受能力y．故答案为：提出概念所用的时间x；学生对概念的接受能力y（2）解：观察表格可知，当时，，∴当提出概念所用的时间为7分钟时，学生的接受能力是56.3．（3）解：∵当时，y的值最大是59.9，∴当提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强．（4）解：当时，学生的接受能力y随提出概念所用的时间x的增加而增大；当时，学生的接受能力y随提出概念所用的时间x的增加而减小．13．（24-25七年级下·全国·单元测试）元旦期间，小鹿去游乐场乘过山车（如图①）．图②反映了某一段时间内小鹿在过山车上离地面的高度（米）与乘坐时间（分钟）之间的变化关系．请观察图象回答下列问题：(1)在这段时间内，小鹿离地面的最大高度是________米；(2)在4分钟到10分钟时，随着时间的增大，小鹿离地面的高度的变化趋势是________（填“变大”或“变小”）；(3)在这段时间内，多少分钟时，小鹿离地面的高度是25米？【答案】(1)(2)变小(3)或【知识点】从函数的图象获取信息【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，学会从函数的图象获取正确信息是解题的关键．（1）由图象即可直接得出答案；（2）由图象即可直接得出答案；（3）由图象即可直接得出答案．【详解】（1）解：由图象可知：在这段时间内，小鹿离地面的最大高度是米，故答案为：；（2）解：由图象可知：在4分钟到10分钟时，随着时间的增大，小鹿离地面的高度的变化趋势是变小，故答案为：变小；（3）解：由图象可知：在分钟或分钟时，小鹿离地面的高度是米，答：在分钟或分钟时，小鹿离地面的高度是米．14．（23-24七年级下·河南郑州·期末）我国的高铁技术发展日新月异，一次次惊艳世界，成为擦亮中国的一张名片．在高铁行驶过程中，司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄，如图表示了司机的视野（度）随车速（千米/时）变化而变化的情况．速度v(千米/时)50100b400视野f(度)a402010(1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是_____；(2)结合图象，表格中_____，_____；(3)若高铁司机视野不小于度，则高铁行驶的速度最快是______；(4)请举出生活中一个变量随另一个变量变化而变化的例子，并写出自变量和因变量．【答案】(1)高铁的速度，司机的视野(2)，(3)千米/时(4)某天的气温随时间的变化而变化．自变量是时间，因变量是气温．（答案不唯一，合理即可）【知识点】函数的概念【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键．（1）由函数图象即可得出答案；（2）由表格可得，计算即可得出答案；（3）由函数图象即可得出答案；（4）写出生活中的例子即可．【详解】（1）解：由图象可得：在这个变化过程中，自变量是高铁的速度，因变量是司机的视野；（2）解：由表格可得：，∴，；（3）解：由函数图象可得，若高铁司机视野不小于度，则高铁行驶的速度最快是千米/时；（4）解：某天的气温随时间的变化而变化．自变量是时间，因变量是气温．（答案不唯一，合理即可）15．（24-25八年级下·江苏无锡·开学考试）一辆快车与慢车分别从，两地同时相向出发，匀速行驶，快车到达地后停留，然后按原路原速返回，快车比慢车早到达地，两车距地的路程与慢车的行驶时间的关系如图所示．(1)，两地之间的距离为___；快车的速度为___；慢车的速度为___；(2)两车出发多少小时相遇？(3)两车出发后到慢车到达地前，经过多少小时，两车相距？【答案】(1)400；150；50；(2)两车出发或后相遇．(3)经过、或后，两车相距．【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息【分析】本题考查函数的图象、一元一次方程的几何应用，理解题意，看懂图象，能从图象中准确获取信息是解答的关键．（1）先从图象中获取，两地距离和快车单程时间，然后利用路程、时间、速度的关系求解即可；（2）根据图象，分快车与慢车第一次相遇和快车返回追上慢车第二次相遇两种情况分别求解即可；（3）分①在两车第一次相遇前，经过两车相距；②两车第一次相遇后，快车未到地；③当快车在地，经过两车相距；④当快车从地出发后，超过了慢车四种情况，设经过两车相距，根据题意，结合图象列方程求解即可．【详解】（1）解：由题意，根据图象可得，，两地距离为；快车的速度为：．快车单程时间为，又快车比慢车早，慢车全程时间为．慢车的速度为：．故答案为：400；150；50．（2）解：由题意，分成两种情形．①经过，快车与慢车第一次相遇，．．②经过快车返回追上慢车第二次相遇，．．综上，两车出发或后相遇．（3）（3）由题意，分以下几种情形．①在两车第一次相遇前，经过两车相距，．．②两车第一次相遇后，快车未到地，经过了两车相距，．，不合题意．③当快车在地，经过两车相距，．．④当快车从地出发后，超过了慢车，经过两车相距，．，符合题意．答：经过、或后，两车相距．16．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，边上的高是定值．当三角形的顶点C沿底边所在直线由点B向右运动时，三角形的面积随之发生变化．设底边长，三角形面积为，变化情况如下表所示：

底边长x（cm）12三角形面积36(1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________；(2)由上表可知，边上的高为________；(3)y与x的关系式可以表示为________；(4)当底边长由变化到时，三角形的面积从________变化到________．【答案】(1)底边长x，三角形面积y(2)6(3)(4)9，36【知识点】求自变量的值或函数值、与三角形的高有关的计算问题、用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系【分析】本题主要考查的是函数关系式，常量与变量，函数值及三角形的面积，解题的关键是能求出y与x的关系式．（1）根据函数的定义找出自变量和函数；（2）由表可知，当面积为6时，底边长为2，设边上的高为h，有三角形面积即可计算出高；（3）根据三角形面积公式表示出y与x的关系式；（4）根据三角形的面积公式求出面积，根据面积即可得出结论．【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是底边长即x，函数是的面积即y，故答案为：底边长x，三角形面积y；（2）由表可知，当面积为6时，底边长为2，设边上的高为h，，，故答案为：6；（3），故答案为：；（4）当时，，当时，，当底边长由变化到时，三角形的面积从变化到，故答案为：9，36．模拟训练一、选择题1.-3的倒数是()A.3 B.-3 C.13 D.-2.下列几何体的主视图与其他三个不同的是()3.已知反比例函数y=3a-6x的图象在第二、第四象限,则A.a≤2 B.a≥2 C.a<2 D.a>24.356578km精确到万位是()A.3.57×105km B.0.35×106kmC.3.6×105km D.4×105km5.下列图形是正方体的表面展开图的是()6.在数学课外小组活动中,小红同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型.如图所示,它的底面半径OB=6cm,高OC=8cm,则这个圆锥形漏斗的侧面积是()A.30cm2 B.30πcm2C.60πcm2 D.120cm27.已知关于x的一元二次方程x2-6x+2k=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A.k≤92 B.k<92 C.k≥92 D8.如图,有三条绳子穿过一片木板,姐妹两人分别站在木板的左、右两边,各选该边的一段绳子.若每边每段绳子被选中的机会相等,则两人选到同一条绳子的概率为()A.12 B.13 C.16 9.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图甲).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是()A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线被对称轴平分C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线互相平行10.(2024·四川宜宾中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A,B及边AC的中点M,若BC∥x轴,边AB与y轴交于点N,则ANAB的值为(A.13 B.C.15 D.11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其图象的对称轴是直线x=-1.有以下结论:①abc>0,②4ac<b2,③2a+b=0,④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是()A.1 B.2C.3 D.412.在一次自行车越野赛中,甲、乙两名选手行驶的路程y(单位:千米)随时间x(单位:分)变化的图象(全程)如图,根据图象判定下列结论不正确的是()A.甲先到达终点B.前30分钟,甲在乙的前面C.第48分钟时,两人第一次相遇D.这次比赛的全程是28千米二、填空题13.把x3-4x分解因式,结果为.

14.(宁夏中考改编)如图,粮库用传送带传送粮袋,大转动轮的半径为10cm,传送带与水平面成30°角.假设传送带与转动轮之间无滑动,当大转动轮转140°时,传送带上点A处的粮袋上升的高度是cm.(传送带厚度忽略不计)

15.现有A,B两只不透明口袋,每只口袋里装有两个相同的球,A袋中的两个球上分别写了“细”“致”的字样,B袋中的两个球上分别写了“信”“心”的字样.从每只口袋里各摸出一个球,刚好能组成“细心”字样的概率是.

16.将一直径为17cm的圆形纸片(图①)剪成如图②所示形状的纸片,再将纸片沿虚线折叠得到正方体(图③)形状的纸盒,则这样的纸盒体积最大为cm3.

17.甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价10%,乙超市一次性降价20%,在超市购买此种商品更合算.

18.如图,点O(0,0),B(0,1)是正方形OBB1C的两个顶点,以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1,再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2,……依次下去,则点B6的坐标是.

三、解答题19.(1)计算:|2-1|-2sin45°+12(2)先化简,再求值:2a+6a220.解分式方程:2x2-21.(宁夏中考)学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人,现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位:分)进行统计:七年级86947984719076839087八年级88769078879375878779整理如下:年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b36.6根据以上信息,回答下列问题:(1)填空:a=,b=;

A同学说:“这次测试我得了86分,位于年级中等偏上水平”,由此可判断他是年级的学生.

(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”,估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数.(3)你认为哪个年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好?请给出一条理由.22.(宁夏中考)“人间烟火味,最抚凡人心”,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某地摊经营者购进了A型和B型两种玩具,已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个,且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍.(1)求两种型号玩具的单价各是多少元.根据题意,甲、乙两名同学分别列出如下方程:甲:5201.6x=175x乙:520x=1.6×175x-30,解得x=则甲所列方程中的x表示,乙所列方程中的x表示.

(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个,则最多可购进A型玩具多少个?23.“五一”假期,某公司组织部分员工到A,B,C三地旅游,公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图,如图.根据统计图回答下列问题:(1)前往A地的车票有张,前往C地的车票占全部车票的%;

(2)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工,在看不到车票的条件下,每人抽取1张(所有车票的形状、大小、质地完全相同,且充分洗匀),那么员工小王抽到去B地车票的概率为;

(3)若最后剩下一张车票时,员工小张、小李都想要,决定采用抛掷一个各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定,具体规则是:每人各抛掷一次,若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大,车票给小张,否则给小李.试用列表法或树状图法分析,这个规则对双方是否公平.24.如图,三角形花园ABC紧邻湖泊,四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量,点C在点A的正东方向,AC=200m.点E在点A的正北方向.点B,D在点C的正北方向,BD=100m.点B在点A的北偏东30°方向,点D在点E的北偏东45°方向.(1)求步道DE的长度(结果取整数);(2)点D处有直饮水,小明从A处出发沿人行步道去取水,可以经过点B到达点D,也可以经过点E到达点D.请通过计算说明他走哪一条路较近?(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)25.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,且AC=CD.(1)求证:OC∥BD;(2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,试确定四边形OBDC的形状.26.某地发生特大自然灾害,某慈善基金会将筹措到位的第一批救灾物资打包成件,其中棉帐篷和毛巾被共3200件,毛巾被比棉帐篷多800件.(1)打包成件的棉帐篷和毛巾被各多少件?(2)现计划用甲、乙两种小飞机共8架,一次性将这批棉帐篷和毛巾被全部运往该灾区.已知甲种飞机最多可装毛巾被400件和棉帐篷100件,乙种飞机最多可装毛巾被和棉帐篷各200件.则安排甲、乙两种飞机时有几种方案?请你帮忙设计出来.(3)在第(2)问的条件下,如果甲种飞机每架需付运输成本费4000元,乙种飞机每架需付运输成本费3600元.应选择哪种方案可使运输成本费最少?最少运输成本费是多少元?27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),直线l是抛物线的对称轴.(1)求该抛物线对应函数的解析式;(2)若过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,求此直线对应函数的解析式;(3)点P在抛物线的对称轴上,☉P与直线AB和x轴都相切,求点P的坐标.模拟训练一、选择题1.D2.D3.C4.C5.C6.C7.B由于方程有两个不相等的实数根,因此Δ=b2-4ac>0,则(-6)2-8k>0,解得k<928.B将绳子记为1,2,3,则姐妹选中绳子共有9种等可能结果:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),其中两人选到同一条绳子的结果有3种,所以两人选到同一条绳子的概率为139.B10.B过点A作BC的垂线,垂足为点D,BC与y轴交于点E,如图.设点Aa,ka,∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD⊥BC,∴D是线段BC的中点.∴DC=BD=a-b,∴C2a∵点M为边AC的中点,∴M3a-b2∵点M在反比例函数的图象上,∴M3a-b2解得b=-3a.易知,AD∥NE,∴ANAB11.C根据抛物线的开口向下可知a<0,根据抛物线的对称轴在y轴左侧可知a,b同号,则b<0,且-b2a=-1,根据抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知c>①∵a<0,b<0,c>0,∴abc>0正确;②∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴4ac<b2正确;③∵抛物线对称轴是直线x=-1,∴-b2a=-1,∴2∴2a+b=0错误;④由图象可知,抛物线的顶点为最高点,故当x=-1时,y>2,∴a-b+c>2正确.12.D观察题图知,到达终点时,甲对应的点是C,所花时间为86分钟,乙对应的点是D,所花时间为96分钟,所以甲先到达终点,A正确;两人第一次相遇前,甲都在乙的前面,B正确;由A(30,10),B(66,14),利用待定系数法可求得直线AB的关系式为y=19x+203,把y=12代入关系式解得x=48,C正确;乙的速度为12÷48=14,总路程为14×96=24(二、填空题13.x(x+2)(x-2)14.35π9如图,设传送带上点A处的粮袋上升到点B,构建Rt△ABC,则AC∥由题意可得AB=140π×∵AC∥MN,∴∠BAC=∠NMA=30°.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴BC=AB·sin30°=12AB=35即传送带上点A处的粮袋上升的高度是35π915.116.1717如图,当纸盒展开图中水平方向上的四个小正方形组成的矩形对角线AC为圆形纸片的直径,即圆形纸片为Rt△ABC的外接圆时,纸盒体积最大,此时AC=17cm时,设此情况下的正方体的边长为x,则在Rt△ABC中有AB2+BC2=AC2,即x2+(4x)2=172,可求出x=±17,负值舍去得x=17,所以x3=1717.17.乙18.(-8,0)三、解答题19.解(1)原式=2-1-2×22+2+2=4-1=3(2)原式=2(a+3当a=2时,原式=-2220.解方程两边同乘x2-4,得2+x(x+2)=x2-4,整理得2+x2+2x=x2-4,2x=-6,x=-3.检验:当x=-3时,x2-4=5≠0.故原方程的解为x=-3.21.解(1)把七年级10名学生的测试成绩按从小到大的顺序排列为71,76,79,83,84,86,87,90,90,94,根据中位数的定义可知,该组数据的中位数为a=84+862=85八年级10名学生的成绩中87分的最多,有3人,所以众数b=87,A同学得了86分大于85分,位于年级中等偏上水平,由此可判断他是七年级的学生.故答案为85,87,七.(2)510×200+610×200=220(人答:该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220.(3)我认