专题17 一次函数与方程、不等式的六种考法（原卷版）

专题17一次函数与方程、不等式的六种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、由一元一次方程的解求直线与x轴的交点 2类型二、利用图象法解一元一次方程 3类型三、两条直线的交点与二元一次方程组的解 5类型四、图象法解二元一次方程组 7类型五、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 10类型六、根据两条直线的交点求不等式的解集 12压轴能力测评（15题） 16解题知识必备1.一次函数与一元一次方程的关系1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=02）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解；y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解.2.一次函数与二元一次方程的关系1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.2）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.3）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.4）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立.3.一次函数与不等式的关系解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0)．从“数”的角度看，x为何值时函数y=ax+b的值大于0．解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0)．从“形”的角度看，求直线y=ax+b在x轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围．压轴题型讲练类型一、由一元一次方程的解求直线与x轴的交点例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（

）A． B． C． D．2．（24-25八年级上·陕西·期中）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为．类型二、利用图象法解一元一次方程例题：（24-25八年级上·河北保定·期中）一次函数的图象如图所示，则方程的解为（

）．A． B． C． D．【变式训练】1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，直线经过点，则方程的解为（

）A． B． C． D．2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，直线过点和点，则方程的解是（

）A． B． C． D．3．（2025·甘肃兰州·一模）如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（

）A． B． C． D．类型三、两条直线的交点与二元一次方程组的解例题：（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数与（是常数，且）的图象的交点坐标是，则方程组的解是．【变式训练】1．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x、y的方程组的解是．2．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如果函数与的图像的交点坐标是，那么方程组的解是．3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图象的交点坐标为．类型四、图象法解二元一次方程组例题：（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）如图，两个一次函数图象的交点坐标为，则关于，的方程组的解为.【变式训练】1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解为．2．（2025·山东聊城·一模）如图，直线与相交于点P，则关于x，y的方程组的解为．3．（2025·福建三明·一模）如图，一次函数与的图象交于，则关于，的方程组的解为．类型五、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集例题：（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为．【变式训练】1．（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，一次函数的图象与y轴的交点为，则不等式的解集是．2．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，则不等式的解集为．3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，直线交轴于点，交轴于点，则不等式的解集是．类型六、根据两条直线的交点求不等式的解集例题：（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，一次函数与的图象相交于点，与轴分别交于点，．请结合图象，写出当时的取值范围．【变式训练】1．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集为．2．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，一次函数与相交于点，则关于的不等式的解集是．3．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合．结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合．【解决问题】：（1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________．（2）如图2，观察图象，不等式的解集是__________．【拓展延伸】：（3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C．①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是__________．②在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．压轴能力测评（15题）一、单选题1．（23-24八年级下·广东广州·期末）若是方程的解，则直线的图象与x轴交点的坐标为（

）A． B． C． D．2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论错误的是（

）A．当时，B．当时，C．关于x，y的方程组的解为D．4．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，一次函数（是常数，且）与正比例函数（m是常数，且）的图象相交于点，下列判断不正确的是（）A．关于的方程的解是B．当时，C．关于的方程组的解是D．当时，函数的值比函数的值小二、填空题6．（2025·天津·模拟预测）直线与轴的交点坐标为．7．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为．8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，则关于x的方程的解为．

9．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解为．10．（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线和直线分别与x轴交于和两点，则不等式组的解集为三、解答题11．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，一次函数与的图象相交于点A，与x轴分别交于点B，C．(1)求点A的坐标；(2)结合图象，直接写出当时x的取值范围．12．（24-25八年级下·全国·期末）在以下平面直角坐标系中，(1)画出函数与的图象；(2)根据图象写出方程组的解；(3)根据图象写出不等式的解集．13．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，直线与x轴､y轴分别交于A､B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．

(1)求A､B两点的坐标；(2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；(3)当t为何值时，并求此时M点的坐标．14．（22-23八年级下·辽宁丹东·期中）观察图象填空：(1)如图1，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______．(2)如图2，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______．(3)如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点和点．结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是______．15．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点．(1)若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案．方程的解是______．方程组的解是______．不等式的解集是______．不等式的解集是______．(2)若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积；(3)在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标．模拟训练一、选择题1.-3的倒数是()A.3 B.-3 C.13 D.-2.下列几何体的主视图与其他三个不同的是()3.已知反比例函数y=3a-6x的图象在第二、第四象限,则A.a≤2 B.a≥2 C.a<2 D.a>24.356578km精确到万位是()A.3.57×105km B.0.35×106kmC.3.6×105km D.4×105km5.下列图形是正方体的表面展开图的是()6.在数学课外小组活动中,小红同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型.如图所示,它的底面半径OB=6cm,高OC=8cm,则这个圆锥形漏斗的侧面积是()A.30cm2 B.30πcm2C.60πcm2 D.120cm27.已知关于x的一元二次方程x2-6x+2k=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A.k≤92 B.k<92 C.k≥92 D8.如图,有三条绳子穿过一片木板,姐妹两人分别站在木板的左、右两边,各选该边的一段绳子.若每边每段绳子被选中的机会相等,则两人选到同一条绳子的概率为()A.12 B.13 C.16 9.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图甲).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是()A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线被对称轴平分C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线互相平行10.(2024·四川宜宾中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A,B及边AC的中点M,若BC∥x轴,边AB与y轴交于点N,则ANAB的值为(A.13 B.C.15 D.11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其图象的对称轴是直线x=-1.有以下结论:①abc>0,②4ac<b2,③2a+b=0,④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是()A.1 B.2C.3 D.412.在一次自行车越野赛中,甲、乙两名选手行驶的路程y(单位:千米)随时间x(单位:分)变化的图象(全程)如图,根据图象判定下列结论不正确的是()A.甲先到达终点B.前30分钟,甲在乙的前面C.第48分钟时,两人第一次相遇D.这次比赛的全程是28千米二、填空题13.把x3-4x分解因式,结果为.

14.(宁夏中考改编)如图,粮库用传送带传送粮袋,大转动轮的半径为10cm,传送带与水平面成30°角.假设传送带与转动轮之间无滑动,当大转动轮转140°时,传送带上点A处的粮袋上升的高度是cm.(传送带厚度忽略不计)

15.现有A,B两只不透明口袋,每只口袋里装有两个相同的球,A袋中的两个球上分别写了“细”“致”的字样,B袋中的两个球上分别写了“信”“心”的字样.从每只口袋里各摸出一个球,刚好能组成“细心”字样的概率是.

16.将一直径为17cm的圆形纸片(图①)剪成如图②所示形状的纸片,再将纸片沿虚线折叠得到正方体(图③)形状的纸盒,则这样的纸盒体积最大为cm3.

17.甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价10%,乙超市一次性降价20%,在超市购买此种商品更合算.

18.如图,点O(0,0),B(0,1)是正方形OBB1C的两个顶点,以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1,再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2,……依次下去,则点B6的坐标是.

三、解答题19.(1)计算:|2-1|-2sin45°+12(2)先化简,再求值:2a+6a220.解分式方程:2x2-21.(宁夏中考)学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人,现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位:分)进行统计:七年级86947984719076839087八年级88769078879375878779整理如下:年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b36.6根据以上信息,回答下列问题:(1)填空:a=,b=;

A同学说:“这次测试我得了86分,位于年级中等偏上水平”,由此可判断他是年级的学生.

(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”,估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数.(3)你认为哪个年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好?请给出一条理由.22.(宁夏中考)“人间烟火味,最抚凡人心”,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某地摊经营者购进了A型和B型两种玩具,已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个,且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍.(1)求两种型号玩具的单价各是多少元.根据题意,甲、乙两名同学分别列出如下方程:甲:5201.6x=175x乙:520x=1.6×175x-30,解得x=则甲所列方程中的x表示,乙所列方程中的x表示.

(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个,则最多可购进A型玩具多少个?23.“五一”假期,某公司组织部分员工到A,B,C三地旅游,公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图,如图.根据统计图回答下列问题:(1)前往A地的车票有张,前往C地的车票占全部车票的%;

(2)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工,在看不到车票的条件下,每人抽取1张(所有车票的形状、大小、质地完全相同,且充分洗匀),那么员工小王抽到去B地车票的概率为;

(3)若最后剩下一张车票时,员工小张、小李都想要,决定采用抛掷一个各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定,具体规则是:每人各抛掷一次,若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大,车票给小张,否则给小李.试用列表法或树状图法分析,这个规则对双方是否公平.24.如图,三角形花园ABC紧邻湖泊,四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量,点C在点A的正东方向,AC=200m.点E在点A的正北方向.点B,D在点C的正北方向,BD=100m.点B在点A的北偏东30°方向,点D在点E的北偏东45°方向.(1)求步道DE的长度(结果取整数);(2)点D处有直饮水,小明从A处出发沿人行步道去取水,可以经过点B到达点D,也可以经过点E到达点D.请通过计算说明他走哪一条路较近?(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)25.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,且AC=CD.(1)求证:OC∥BD;(2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,试确定四边形OBDC的形状.26.某地发生特大自然灾害,某慈善基金会将筹措到位的第一批救灾物资打包成件,其中棉帐篷和毛巾被共3200件,毛巾被比棉帐篷多800件.(1)打包成件的棉帐篷和毛巾被各多少件?(2)现计划用甲、乙两种小飞机共8架,一次性将这批棉帐篷和毛巾被全部运往该灾区.已知甲种飞机最多可装毛巾被400件和棉帐篷100件,乙种飞机最多可装毛巾被和棉帐篷各200件.则安排甲、乙两种飞机时有几种方案?请你帮忙设计出来.(3)在第(2)问的条件下,如果甲种飞机每架需付运输成本费4000元,乙种飞机每架需付运输成本费3600元.应选择哪种方案可使运输成本费最少?最少运输成本费是多少元?27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),直线l是抛物线的对称轴.(1)求该抛物线对应函数的解析式;(2)若过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,求此直线对应函数的解析式;(3)点P在抛物线的对称轴上,☉P与直线AB和x轴都相切,求点P的坐标.模拟训练一、选择题1.D2.D3.C4.C5.C6.C7.B由于方程有两个不相等的实数根,因此Δ=b2-4ac>0,则(-6)2-8k>0,解得k<928.B将绳子记为1,2,3,则姐妹选中绳子共有9种等可能结果:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),其中两人选到同一条绳子的结果有3种,所以两人选到同一条绳子的概率为139.B10.B过点A作BC的垂线,垂足为点D,BC与y轴交于点E,如图.设点Aa,ka,∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD⊥BC,∴D是线段BC的中点.∴DC=BD=a-b,∴C2a∵点M为边AC的中点,∴M3a-b2∵点M在反比例函数的图象上,∴M3a-b2解得b=-3a.易知,AD∥NE,∴ANAB11.C根据抛物线的开口向下可知a<0,根据抛物线的对称轴在y轴左侧可知a,b同号,则b<0,且-b2a=-1,根据抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知c>①∵a<0,b<0,c>0,∴abc>0正确;②∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴4ac<b2正确;③∵抛物线对称轴是直线x=-1,∴-b2a=-1,∴2∴2a+b=0错误;④由图象可知,抛物线的顶点为最高点,故当x=-1时,y>2,∴a-b+c>2正确.12.D观察题图知,到达终点时,甲对应的点是C,所花时间为86分钟,乙对应的点是D,所花时间为96分钟,所以甲先到达终点,A正确;两人第一次相遇前,甲都在乙的前面,B正确;由A(30,10),B(66,14),利用待定系数法可求得直线AB的关系式为y=19x+203,把y=12代入关系式解得x=48,C正确;乙的速度为12÷48=14,总路程为14×96=24(二、填空题13.x(x+2)(x-2)14.35π9如图,设传送带上点A处的粮袋上升到点B,构建Rt△ABC,则AC∥由题意可得AB=140π×∵AC∥MN,∴∠BAC=∠NMA=30°.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴BC=AB·sin30°=12AB=35即传送带上点A处的粮袋上升的高度是35π915.116.1717如图,当纸盒展开图中水平方向上的四个小正方形组成的矩形对角线AC为圆形纸片的直径,即圆形纸片为Rt△ABC的外接圆时,纸盒体积最大,此时AC=17cm时,设此情况下的正方体的边长为x,则在Rt△ABC中有AB2+BC2=AC2,即x2+(4x)2=172,可求出x=±17,负值舍去得x=17,所以x3=1717.17.乙18.(-8,0)三、解答题19.解(1)原式=2-1-2×22+2+2=4-1=3(2)原式=2(a+3当a=2时,原式=-2220.解方程两边同乘x2-4,得2+x(x+2)=x2-4,整理得2+x2+2x=x2-4,2x=-6,x=-3.检验:当x=-3时,x2-4=5≠0.故原方程的解为x=-3.21.解(1)把七年级10名学生的测试成绩按从小到大的顺序排列为71,76,79,83,84,86,87,90,90,94,根据中位数的定义可知,该组数据的中位数为a=84+862=85八年级10名学生的成绩中87分的最多,有3人,所以众数b=87,A同学得了86分大于85分,位于年级中等偏上水平,由此可判断他是七年级的学生.故答案为85,87,七.(2)510×200+610×200=220(人答:该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220.(3)我认为八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.理由:因为七、八年级测试成绩的平均数相等,八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差,所以八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.22.解(1)根据所列方程可知,甲所列方程中的x表示B型玩具的单价;乙所列方程中的x表示520元购进A型玩具的数量.故答案为B型玩具的单价;520元购进A型玩具的数量.(2)设可购进A型玩具a个,则购进B型玩具(200-a)个,由(1)可知B型玩具的单价为5元,A型玩具的单价为1.6×5=8(元).根据题意得8a+5(200-a)≤1350,解得a≤11623故整数a的最大值是116.答:最多可购进A型玩具116个.23.解(1)3020(2)1(3)可能出现的所有结果列表如下:小张抛到的数字小李抛到的数字12341(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)或画树状图如下:共有16种可能的结果,且每种的可能性相同,其中小张获得车票的结果有6种:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3).故小张获得车票的概率为616=38,小李获得车票的概率为因此这个规则对小张、小李双方不公平.24.解(1)过点D作AE的垂线,交AE的延长线于点F,如图.由已知可得四边形ACDF是矩形,∴DF=AC=200m.∵点D在点E的北偏东45°方向,∴∠DEF=45°,∴△DEF是等腰直角三角形,∴DE=DFsin45°=2002≈283(2)由(1)知△DEF是等腰直角三角形,DE≈2002m,∴EF=DF=200m.∵点B在点A的北偏东30°方向,∴∠EAB=30°,∴∠ABC=30°,∴∠BAC=60°.∵AC=200m,∴AB=2AC=400m,BC=AB·sin60°=2003m.∵BD=100m,∴经过点B到达点D的路程为AB+BD=400+100=500(m),CD=BC+BD=(2003+100)m,∴AF=CD=(2003+100)m.∴AE=AF-EF=(2003+100)-200=(2003-100)m.∴经过点E到达点D的路程为AE+DE=2003-100+2002≈529(m).∵529>500,∴经过点B到达点D较近.25.(1)证明在☉O中,AC=CD,则∠ABC=∠DBC.∵OC=OB,∴∠ABC=∠OCB,∴∠OCB=∠DBC,则OC∥BD.(2)解∵OC∥BD,不妨设平行线OC与BD之间的距离为h,∴S△OBC=12O