专题3.1 概率的进一步认识-北师大版九年级《数学》上册培优讲义

专题3.1概率的进一步认识内容内容概览知识点01用树状图或表格求概率知识点02用频率估计概率题型01列举法求概率题型02列表法或树状图法求概率题型03利用概率判断游戏的公平性题型04几何概率题型05概率的应用题型06由频率估计概率题型07用频率估计概率的综合应用教学目标、教学重难点教学目标、教学重难点结果，并据此准确计算其发生的概率；理解当试验次数足够大时，试验频率将稳定于1.重点(1)熟练掌握借助树状图或列表法，清晰、准确地计算涉及两步试验的随机事件发生的概率，比如在掷硬币、摸球等常见试验场景中灵活运用这两种方(2)深刻理解并掌握用频率估计概率的条件及方法，能够通过大量重复试验，利用试【即学即练1】键.一共有9种等可能性，其中两次相同的有3种等可能性，不同的有6种等可能性.【详解】(1)解：从3个结果中选择，其中负数的有1种结果，2424共有9种等可能的结果，其中两次取出的卡片上的数字之积为正数共有9种等可能的结果，其中两次取出的卡片上的数字之积为正数精确.【即学即练2】摸到黄色乒乓球的频率·ab对于(2),根据②中的概率计算即可得出结论.【详解】(1)解：①由题意得(2)解：由(1)可知，摸到黄色乒乓球的概率约是0.7,【答案】其中能组成三角形的情况有3种，其中能组成三角形的情况有3种，【变式1】如图，电路图上有一个小灯泡以及4个断开状态的开关A,B,C,D,现随机闭合两个开关，小【答案】【答案】【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键.根据题意列举随机闭合两个开关的所有情况，以及能使小灯泡发光的情况，从而完成求解.【详解】解：由题意得，随机闭合两个开关有AB、AC、AD、BC、BD、CD【变式2】某科技节新增了机器人编程、无人机操控、3D打印、虚拟现实设计四个竞赛项目.学校为普及相关知识，在四个实验室分别开展对应项目的体验活动，要求每名学生选择其中一项参与.九(1)班准备了四枚外观相同的电子芯片，分别编号为1,2,3,4(对应上述四个项目),放在不透明的芯片盒中.若一次性从芯片盒中随机抽取两枚芯片，则两枚芯片编号的差值超过2的概率是【答案】【答案】【分析】本题主要考查了列举法求解概率，根据题意列举出所有的等可号的差值超过2的结果数，最后根据概率计算公式求解即可.【详解】解：由题意得，一共有1、2,1、3,1、4,2、3,2、4,3、4这6种情况，其中两枚芯片编号的差值超过2的只有1、4这种情况，2两枚芯片编号的差值超过2的概率是机坐到这四个位置(深色B,C,D,F),乘务员验票时发现是一家四口的座位，但四个人都没有坐到车票 上名字所对应的位置，请问四人都没坐到车票上 过道过道窗窗【分析】本题主要考查了简单的概率计算，先根据题意可计算出一共有24种选择；当小侯选择C时，则有以下三种情况符合题意，姐姐选择B,爸爸选择D,妈妈选择C;姐姐选择D,爸爸选择F,妈妈选择B;姐姐选择D,爸爸选择B,妈妈选择D;同理当小侯选择D或者F时，都有三种情况符合题意；据此根据概率计算公式求解即可.假设小侯先选择座位，那么小侯有4种选择，接着姐姐选择座位，那么姐姐有3种选择，接着妈妈选择座位，那么妈妈有2种选择，最后爸爸选择座位，那么爸爸有1种选择，选择F,妈妈选择B;姐姐选择D,爸爸选择B,妈妈选择D;【典例2】2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录.虽然春节已过，但新年的喜悦和希望仍然在我们心中回荡，为此张老师在班会上，提议拜新年”这四个春节习俗中，随机选择一个进行讲解.如图，班长做了4张背面完全相同的卡片，将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上.A.A.贴春联B.吃饺子C.挂灯笼D.拜新年卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，请利用画树状图或列表的方法的概率.【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与关键.(1)由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“B.吃饺子”的结果有1种，利用概率公式可得答案.(2)列表可得出所有等可能的结果数以及两人摸到的习俗相同的结果数，再利用概率公式可得出答案.(2)解：列表如下：ABCDABCD共有16种等可能的结果，其中两人摸到的习俗相同的结果有：共有16种等可能的结果，其中两人摸到的习俗相同的结果有：(A,A),(B,B),(C,C),(D,D),共4种，D.“喜星蛇墩墩”,E.“财星蛇墩墩”(除正面内容不同外，其余均相同),现将五张卡片背面朝上，洗匀放好.AA动攀岩)的概率.岩)的结果有2种，最后由概率公式求解即可.【详解】(1)解：恰好抽到是B(滑板)的概率是开始B共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是B(滑板)和D(运动攀岩)的结果有2种，DBA个装置(含2个发光装置和2个发音装置),每个按钮控制该组的一个装置(按钮与装置一对应，但顺序不甲组按钮按甲组按钮按钮按钮按钮按钮按钮按钮按钮开始开始爸爸68开始2【变式2】现有12张卡片，分别标有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.小花和小佳合作完成一②猜是不是3的倍数.关键.(3)根据(2)所求可得答案.(2)解：①公平，理由如下：2一共有12个数，其中3的倍数有4个，不是3的倍数有8个，(3)解：由(2)可得，猜不是3的倍数的获(3)解：由(2)可得，猜不是3的倍数的获胜概率比较大，故为了获胜，选择猜不是3的倍数.不透明的箱子中放了4张卡片，卡片上分别写有数字-2,3,5,6这些卡片除上面的数字外，其余均相同.(1)小晴从箱子中随机摸10次卡片，其中摸到写有数字“6”的卡片2次，则这10次摸卡片中解答即可.6和13418938114911【答案】【答案】分别求出图1和图2的面积，即可得出A的面积=B的面积进而可求出图2的面积和阴影部则阴影区域的面积为：A的面积+B的面积=8,图2的面积=16+8=24,【分析】本题考查了求几何概率；求出黑色区域面积占整个面积的比即可.【分析】本题考查了求几何概率；求出黑色区域面积占整个面积的比即可.【详解】解：镖落在黑色区域的概率是【变式2】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,直线1过点0,且与边AD,BC分别交于点E、F,AE=2ED.若在平行四边形ABCD内随机取点，则点落在△AOE内的概率是【答案】【答案】再根据几何概率的求法即可得出答案.【详解】解：设平行四边形ABCD的面积是x,【变式3】如图，在3×3的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同.假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次(击中边界或没有击中游戏板，则重投一次),飞镖击中阴影部分【分析】本题主要考查了几何概率的求法，飞镖击中阴影部分的概率等于阴影部分面积比，掌握几何概率的求法是解题的关键.题型05概率的应用张写着数字1,2张写着数字5,顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和26实际付款7折开始5123456789牙刷纸巾参与纸巾参与纸巾牙刷太阳伞参与伞即可.123456789牙刷纸巾参与纸巾纸巾纸巾牙刷太阳伞参与分，3分，4分，5分.工作人员随机抽取了20名顾客进行调查，并制作了如下统计表.分12345份23582需要整改.【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、概率的其他应用【分析】本题考查了、平均数以及中位数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键.(1)求出评分不高于3分的百分比，判断即可解答；(2)求出平均数和中位数，判断即可解答.【详解】(1)解：该餐厅不需要整改，理由如下：(2)解：该餐厅不需要整改.理由如下：【变式3】某体育馆有A,B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C,D,E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开.甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入.(3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结E三个出口(每个年级的学生走同一个出口)离开(安排一种即可),并说明理由.(3)七年级走(3)七年级走E出口，八九年级走C、D出【分析】此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件.(1)画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，再由概率公式求解即可；(2)画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，再由概率公式求解即可；(3)满足题意的方案即可.【详解】(1)解：(1)画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有12甲从A口进入，C口离开的概率为(2)画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，开始(3)七年级走E出口，八九年级走C、D出口.理由：因为七年级80人，八年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能够在规定时间内使所有同学都能有序离开.题型06由频率估计概率【典例6】某种绿豆在相同条件下发芽的试验结果如下表所示：3发芽的粒数39发芽的频率1【答案】0.93【答案】0.93【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确.根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.93左右，由此频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.93左右，由此【详解】解：根据表中数据，估计这种绿豆发芽的概率约是0.93,故答案为：0.93.【变式1】二维码已深入人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图是一个边长为5cm的正方形二维码，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色部分，则估计黑色部分的面积是 cm².面积；理解频率与概率之间的关系，掌握解法是解题的关键.故答案为：15.在同一条件下，往该卡纸上随机抛一枚大头针，重复试验并留一位小数)【答案】0【答案】0.6项目名称组别一组二组三组四组石子落在草地内的次数石子落在阴影内的次数(1)填写表格中的数据；【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集似值就是这个事件的概率.(1)根据频率=频数÷总数求解即可；数率故答案为：0.39、390;答：袋中有4个黑球.ab故答案为：117;0.80;(3)解：600÷0.80=750(棵),抽取件数(件)(1)请估计抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有多少万件?【分析】本题考查了由频率估计概率，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.【详解】(1)解：根据表格中的数据可知：随着抽检数量的增多，合格衬衣的频数稳定在0.9左右，所以抽取一件衬衫是合格衬衣的概率为0.9,因此抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有：解得：x≥80,数出现红球的频数出现红球的频率数出现红球的频数出现红球的频率ab4频率4频率100200300400500600700800试验次数(3)估计摸到红球的概率为(精确到0.1).【详解】(1)解：4频率100200300400500600700800试验次数(4)解：估计盒子里有红球20×0.3=6(个),则点(a,b)在第二象限的概率为()随机摸出一个球，估计摸到白球的概率为()4频率4频率都获得礼品).你觉得这个游戏()4.某旅游景区，假日期间实施购票有奖，凡购买一张门票，可以转动转盘一次，指针指向哪个获奖区域，就得到对应的奖品，如图1所示.售票员用电脑制作出获得优胜奖频率的折线统计图，如图2所示.根据以上信息，图1中∠AOB的度数为()图1图2【答案】【答案】D【分析】本题考查了利用频率估计概率，利用频率估计概率，可知当n很大时，频率将会接近其概率，所【详解】解：由图②可估计指针落入优胜奖区域的概率为0.2,5.不透明的口袋里装有若干个除颜色外都相同的小球，将球摇匀后从中随机摸出放回袋中，不断重复上述过程，得到一组统计数据(如下表),则下列说法错误的是()baC.摸到红球的概率约为0.60D.若袋中有9个红球，则总球数有14个【答案】【答案】D概率，对各选项进行判断.B、300次摸球时，红球次数b=0.59×300=177,正确；C、随着试验次数增加，频率稳定在0.60附近，可估计概率约为0.60,正确；DD、设总球数为x,由概率,解得x=15.选项中总球数为14,错误.【答案】【答案】22故答案为：25.得到SADE=SADC,根据EF⊥BC,∠B=30°,易求BE=2EF,设EF=xBAE=3x盈将一个飞镖随机投掷到该纸板上(假设飞镖一定落在纸板上),则飞镖落在阴影部分的概率是11.消防教育进校园，消防安全记心间.为切实提升广大师生的自护自救能力，阳光中学组织全体师生开展了消防演练.在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员.该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师.(2)请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率.关键.答案.甲乙丙丁甲(甲，乙)(甲，丙)(甲，丁)乙(乙，甲)(乙，丙)(乙，丁)丙(丙，甲)(丙，乙)(丙，丁)丁(丁，甲)(丁，乙)(丁，丙)共有12种等可能的结果，其中被选到的2位老师是一男一女的结果有8共有12种等可能的结果，其中被选到的2位老师是一男一女的结果有8被平均分成6等份，分别标有木棒的长度：2,3,5,8,10,12.小亮转动转盘一次，停止后，指针指向【分析】本题主要考查可根据概率公式求解概率，求频率，三角形三边关系的应用等知识.(1)根据频率等于实验发生的次数除以总实验的次数求解即可.(2)根据三角形三边关系得出能组成三角形的结果有5,8,5;5,8,8;5,8,10;5,8,12共4种，然后根据概率公式计算即可.【详解】(1)解：转出的小棒长度小于5的频率为·(2)解：因为转动转盘共有6种等可能的结果，其中能组成三角形的结果有5,8,5;5,8,8;5,8,10;5,8,12共4种，所以小亮获取的第三根木棒和现有的两根木棒解活动(两人所选景区相互不受影响).【分析】本题考查了画树状图或列表的方法求概率，事件的分类，简单的概率是解题的关键.(1)根据事件的分类求解即可；(2)画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小明和小颖所选择的景区不同的结果有12种，∴P(小明和小颖两人所选择的景区不同)14.一个不透明的盒子里装有黄色乒乓球和白色乒乓球共40个，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放出现黄色乒乓球的次数出现黄色乒乓球的频率ab(1)填空：a=_,b=_;(3),根据②中的概率计算即可得出结论.(3)解：由(2)可知，摸到黄色乒乓球的概率约是0.4,答：盒子里黄色乒乓球有16个，白色乒乓球有24个.BDCABDC【分析】本题考查的是概率公式求概率，用画树状图法或列表法求概率，熟知概率计算公式是解题的关键.(1)直接根据概率公式求解即可；(2)根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案.【详解】(1)解：图一共有四张卡片，其中写有华罗庚的卡片有一张16.在一个不透明布袋中装着除颜色外其他都相同的红球3个和蓝球1个，它们已经在布袋中被搅匀了.(2)若随机取出一个球，求取出的球的颜色是蓝球的概率.(3)小明与小亮玩摸球游戏，在一个袋子中放有5个完全一样的球，分别标有1、2、3、4、5五个数字，小明与小亮轮流坐庄，从袋中摸出一球，记下号码，然后放回，规定：如果摸到的球号码大于3,则小明胜否则小亮胜，你认为这个游戏公平吗?请说明理由，若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平.(3)根据概率公式求出两人获胜的概率，比较解答即可，然后设计游戏规则，使得游戏公平即可.由题意可知，号码大于3的球的个数为2,所以号码大于3的概号码小于3的球的个数为2,所以号码小于等于3的概ba(1)表中的a=,b=_—_;平游戏.值即概率.掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键.(1)用摸到红球的次数除以摸球的总次数，求出a;用摸球的总次数乘以摸到红球的频率，求出b;(2)根据图表给出的数据即可得出摸到红球的频率，然后用频率估计算概率即可；(3)根据摸到红球的频率计算出红球的个数，从而求出白球个数，再分别求出摸到的白球与黑球的概率，再比较即可求解.【详解】(1)解：故答案为：0.48;102.(2)解：由统计表可知：摸到红球的频率约为0.5,(3)解：由(2)摸到红球的概率是0.5,设计公平游戏为：将袋中红球拿出1个换成白球，即袋中10个球，有3个黑球，3个白球，4个红球，或将袋中黑球拿出1个换成红球，即