专题13 函数与函数图象的五种考法（原卷版）

专题13函数与函数的图象的五种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 1类型一、函数的理解 1类型二、函数的三种表示方法 4类型三、求自变量的值或函数值 7类型四、动点问题画函数图象 9类型五、从函数的图象获取信息 13压轴能力测评（16题） 16解题知识必备1.变量与函数在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。2.函数的概念函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.3.函数的三种表示方法=1\*GB3①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。=2\*GB3②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。=3\*GB3③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。压轴题型讲练类型一、函数的理解例题：（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）下列各图象中，不是的函数的是（

）A． B．C． D．【变式训练】1．（24-25八年级下·云南昆明·阶段练习）下列图象中，表示y是x的函数的是（

）A． B． C． D．2．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）下列选项中，y不是x的函数的是（

）A．x051015y33.544.5B．C．D．3．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）下列四个关系式：①；②；③；④，其中y是x的函数的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④类型二、函数的三种表示方法例题：（24-25八年级上·安徽淮北·期中）声音在空气中传播的速度和气温之间有如下关系：气温05101520声速331334337340343(1)上表反映了____________与____________之间的关系，其中____________是自变量；(2)若用表示气温，表示声速，则随着的增大，将发生怎样的变化？(3)从表中数据的变化，你发现了什么规律？写出与之间的函数表达式．【变式训练】1．（24-25七年级下·全国·课后作业）心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出这个新概念所用的时间x（单位：）之间有如下表所示的关系（其中）：提出一个新概念所用的时间257101213141720对这个新概念的接受能力y47.853.556.35959.859.959.858.355(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)根据表格中的数据，当提出一个新概念所用的时间是时，学生对这个新概念的接受能力最强；(3)学生对一个新概念的接受能力在什么时间段内逐渐增强？在什么时间段内逐渐减弱？2．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）数学兴趣小组通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：气温0102030声音在空气中的传播速度319325331337343349阅读上述材料，回答下列问题：(1)在这个变化过程中，哪些量是变量？(2)从表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了多少？(3)用含t的代数式表示v；(4)某日的气温为，小莹同学看到烟花燃放后才听到声响，那么小莹同学与燃放烟花所在地大约相距多远？3．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题：(1)点B所对应的数为_________．(2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时．(3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离．(4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？类型三、求自变量的值或函数值例题：（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在函数中，自变量x的取值范围是．【变式训练】1．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知函数，若，则x的值为．2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则．3．（24-25七年级下·全国·课后作业）假设圆柱的高是，圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之发生变化．（1）在这个变化的过程中，自变量为，因变量为；（2）如果圆柱底面半径为r（单位：），那么圆柱的体积V（单位：）可以表示为；（3）当r由变化到时，V由变化到．类型四、动点问题画函数图象例题：（2025·河南南阳·一模）如图1，在中，，为边上一定点，动点从点出发，沿折线—运动至点后停止．设点运动的路程为，令，图2是与的函数关系图象，则点到的距离为．【变式训练】1．（24-25九年级下·江西·阶段练习）如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，则的长为．2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，点是中点，点从点开始，沿着的路线匀速运动，设的面积是，点经过的路线长度为，如图坐标系中折线表示与之间的函数关系，根据图象信息，长方形的周长为．3．（2024·湖北·模拟预测）如图1，点E在正方形的边上，且，点P沿从点B运动的到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为，则最高点N的纵坐标a的值为．类型五、从函数的图象获取信息例题：（2025·江苏盐城·一模）2025年3月30日盐城马拉松激情开跑，小明报名参加迷你马拉松比赛，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．他跑步的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是．（填写序号）①第所用的时间最长；

②前的平均速度大于最后的平均速度；③第和第的平均速度相同；

④第的平均速度最大．【变式训练】1．（22-23九年级下·河南洛阳·期末）兔子输掉比赛后，后悔不已，决定跟乌龟再比一场．它们商定：从地跑或游到地，其中兔子从地出发翻过一座山后到达地，乌龟从地下水游到地．由于赛道不同，它们的比赛距离也不一样，最后同时到达地．请根据提供的比赛图象信息，判断下列说法中正确的是．（只填序号）①兔子在上山过程中休息后，乌龟游过的路程刚好与兔子跑过的路程相同；②乌龟在水中游动的速度是；③兔子下山的速度比上山休息后的速度快；④这场比赛，如果兔子在上山过程中少休息一会儿，它就能赢．2．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明和小华是同班同学，也是邻居．某日早晨，小明先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到学校．如图所示的是他们从家到学校经过的路程s（单位：m）和所用时间t（单位：）的关系图，则下列说法正确的是（填序号）．①小明家离学校的距离是；②小华乘坐的公共汽车的速度是；③小华乘坐公共汽车后，在与小明离学校的距离一致．3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小亮家、小刚家、体育馆顺次在同一条直线上，周末小亮从家匀速步行去体育馆打羽毛球．小亮出发4分钟经过小刚家时，小刚跟随小亮一起前往体育馆，两人走了4分钟后，小刚发现自己忘记带装备，于是小刚加速返回家，取了装备后（取装备用了一段时间）又以返回家时的速度赶往体育馆；小亮仍以原速度前行，结果小刚比小亮提前1分钟到达体育馆．若小亮与小刚两人和体育馆之间的距离（米）与小刚出发的时间（分钟）之间的函数图象如图所示，则以下说法正确的是（填写序号）．①小刚返回家的速度为250米/分钟；

②小亮与小刚家相距600米；③小亮用了24分钟到达体育馆；

④小刚回家后用了0.6分钟取装备；⑤小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家2725米．压轴能力测评（16题）一、单选题1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）徐老师到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机加油过程中某一时刻的数据显示，则其中的常量是（

）A．金额 B．数量 C．金额和单价 D．单价2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）下列选项中，不能表示某函数图像的是（

）A． B．C． D．3．（24-25八年级上·全国·课后作业）函数y=中，自变量x的取值范围为（）A． B．C．且 D．4．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）弹簧挂上物体后会伸长，测得一根弹簧的长度与所挂物体的质量之间有下面的关系：下列说法中，不正确的是（

）A．是自变量，是的函数B．弹簧不挂重物时长度为C．在弹簧的允许范围内，物体质量每增加，弹簧长度增加D．所挂物体质量为时，弹簧长度为5．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在等腰中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的值为（

）A． B． C． D．二、填空题6．（24-25八年级下·全国·单元测试）以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是，变量是．7．（24-25八年级上·上海·期中）已知，则．8．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列式子中，y是x的函数关系的有个．①；②；③；④；9．（24-25七年级上·山西运城·期末）国际上常用的温标有华氏温标、摄氏温标和热力学温标，已知华氏温标（）与摄氏温标（℃）之间的函数关系为，热力学温标T（K）与摄氏温标（℃）之间的函数关系为．当热力学温度时，所对应的华氏温度为．10．（24-25七年级下·全国·单元测试）渔夫将渔船停靠在A地休息，等渔夫醒来时，发现渔船没有固定好，已经顺水漂流了一个半小时到达了B地，此时渔夫打开渔船的发动机，逆流匀速行驶了一段时间后又回到了A地．若水流的速度和渔船来回行驶的路线都保持不变，渔船离A地的距离（千米）与渔船移动的时间（小时）之间的图象如图所示，则该渔船从开始离开A地到回到A地所用的时间是小时．

三、解答题11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，圆柱的底面半径是，当圆柱的高h（）大到小变化时，圆柱的体积随之发生变化．(1)在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是__________；(2)在这个变化过程中，圆柱的体积V与高h之间的关系式是__________；(3)当圆柱的高由变化到时，圆柱的体积由__________变化到__________．12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）心理学研究发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系：x257101213141720…y47.853.556.35959.859.959.858.355…根据以上信息，回答下列问题：(1)上表反映的两个变量中，自变量是__________，因变量是__________．(2)当提出概念所用的时间为7分钟时，学生的接受能力是多少？(3)在上表中，当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？(4)根据表中数据，说说当提出概念所用的时间在2~20分钟时，学生对概念的接受能力是怎样变化的？13．（24-25七年级下·全国·单元测试）元旦期间，小鹿去游乐场乘过山车（如图①）．图②反映了某一段时间内小鹿在过山车上离地面的高度（米）与乘坐时间（分钟）之间的变化关系．请观察图象回答下列问题：(1)在这段时间内，小鹿离地面的最大高度是________米；(2)在4分钟到10分钟时，随着时间的增大，小鹿离地面的高度的变化趋势是________（填“变大”或“变小”）；(3)在这段时间内，多少分钟时，小鹿离地面的高度是25米？14．（23-24七年级下·河南郑州·期末）我国的高铁技术发展日新月异，一次次惊艳世界，成为擦亮中国的一张名片．在高铁行驶过程中，司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄，如图表示了司机的视野（度）随车速（千米/时）变化而变化的情况．速度v(千米/时)50100b400视野f(度)a402010(1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是_____；(2)结合图象，表格中_____，_____；(3)若高铁司机视野不小于度，则高铁行驶的速度最快是______；(4)请举出生活中一个变量随另一个变量变化而变化的例子，并写出自变量和因变量．15．（24-25八年级下·江苏无锡·开学考试）一辆快车与慢车分别从，两地同时相向出发，匀速行驶，快车到达地后停留，然后按原路原速返回，快车比慢车早到达地，两车距地的路程与慢车的行驶时间的关系如图所示．(1)，两地之间的距离为___；快车的速度为___；慢车的速度为___；(2)两车出发多少小时相遇？(3)两车出发后到慢车到达地前，经过多少小时，两车相距？16．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，边上的高是定值．当三角形的顶点C沿底边所在直线由点B向右运动时，三角形的面积随之发生变化．设底边长，三角形面积为，变化情况如下表所示：

底边长x（cm）12三角形面积36(1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________；(2)由上表可知，边上的高为________；(3)y与x的关系式可以表示为________；(4)当底边长由变化到时，三角形的面积从________变化到________．模拟训练一、选择题1.-3的倒数是()A.3 B.-3 C.13 D.-2.下列几何体的主视图与其他三个不同的是()3.已知反比例函数y=3a-6x的图象在第二、第四象限,则A.a≤2 B.a≥2 C.a<2 D.a>24.356578km精确到万位是()A.3.57×105km B.0.35×106kmC.3.6×105km D.4×105km5.下列图形是正方体的表面展开图的是()6.在数学课外小组活动中,小红同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型.如图所示,它的底面半径OB=6cm,高OC=8cm,则这个圆锥形漏斗的侧面积是()A.30cm2 B.30πcm2C.60πcm2 D.120cm27.已知关于x的一元二次方程x2-6x+2k=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A.k≤92 B.k<92 C.k≥92 D8.如图,有三条绳子穿过一片木板,姐妹两人分别站在木板的左、右两边,各选该边的一段绳子.若每边每段绳子被选中的机会相等,则两人选到同一条绳子的概率为()A.12 B.13 C.16 9.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图甲).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是()A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线被对称轴平分C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线互相平行10.(2024·四川宜宾中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A,B及边AC的中点M,若BC∥x轴,边AB与y轴交于点N,则ANAB的值为(A.13 B.C.15 D.11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其图象的对称轴是直线x=-1.有以下结论:①abc>0,②4ac<b2,③2a+b=0,④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是()A.1 B.2C.3 D.412.在一次自行车越野赛中,甲、乙两名选手行驶的路程y(单位:千米)随时间x(单位:分)变化的图象(全程)如图,根据图象判定下列结论不正确的是()A.甲先到达终点B.前30分钟,甲在乙的前面C.第48分钟时,两人第一次相遇D.这次比赛的全程是28千米二、填空题13.把x3-4x分解因式,结果为.

14.(宁夏中考改编)如图,粮库用传送带传送粮袋,大转动轮的半径为10cm,传送带与水平面成30°角.假设传送带与转动轮之间无滑动,当大转动轮转140°时,传送带上点A处的粮袋上升的高度是cm.(传送带厚度忽略不计)

15.现有A,B两只不透明口袋,每只口袋里装有两个相同的球,A袋中的两个球上分别写了“细”“致”的字样,B袋中的两个球上分别写了“信”“心”的字样.从每只口袋里各摸出一个球,刚好能组成“细心”字样的概率是.

16.将一直径为17cm的圆形纸片(图①)剪成如图②所示形状的纸片,再将纸片沿虚线折叠得到正方体(图③)形状的纸盒,则这样的纸盒体积最大为cm3.

17.甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价10%,乙超市一次性降价20%,在超市购买此种商品更合算.

18.如图,点O(0,0),B(0,1)是正方形OBB1C的两个顶点,以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1,再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2,……依次下去,则点B6的坐标是.

三、解答题19.(1)计算:|2-1|-2sin45°+12(2)先化简,再求值:2a+6a220.解分式方程:2x2-21.(宁夏中考)学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人,现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位:分)进行统计:七年级86947984719076839087八年级88769078879375878779整理如下:年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b36.6根据以上信息,回答下列问题:(1)填空:a=,b=;

A同学说:“这次测试我得了86分,位于年级中等偏上水平”,由此可判断他是年级的学生.

(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”,估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数.(3)你认为哪个年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好?请给出一条理由.22.(宁夏中考)“人间烟火味,最抚凡人心”,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某地摊经营者购进了A型和B型两种玩具,已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个,且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍.(1)求两种型号玩具的单价各是多少元.根据题意,甲、乙两名同学分别列出如下方程:甲:5201.6x=175x乙:520x=1.6×175x-30,解得x=则甲所列方程中的x表示,乙所列方程中的x表示.

(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个,则最多可购进A型玩具多少个?23.“五一”假期,某公司组织部分员工到A,B,C三地旅游,公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图,如图.根据统计图回答下列问题:(1)前往A地的车票有张,前往C地的车票占全部车票的%;

(2)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工,在看不到车票的条件下,每人抽取1张(所有车票的形状、大小、质地完全相同,且充分洗匀),那么员工小王抽到去B地车票的概率为;

(3)若最后剩下一张车票时,员工小张、小李都想要,决定采用抛掷一个各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定,具体规则是:每人各抛掷一次,若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大,车票给小张,否则给小李.试用列表法或树状图法分析,这个规则对双方是否公平.24.如图,三角形花园ABC紧邻湖泊,四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量,点C在点A的正东方向,AC=200m.点E在点A的正北方向.点B,D在点C的正北方向,BD=100m.点B在点A的北偏东30°方向,点D在点E的北偏东45°方向.(1)求步道DE的长度(结果取整数);(2)点D处有直饮水,小明从A处出发沿人行步道去取水,可以经过点B到达点D,也可以经过点E到达点D.请通过计算说明他走哪一条路较近?(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)25.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,且AC=CD.(1)求证:OC∥BD;(2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,试确定四边形OBDC的形状.26.某地发生特大自然灾害,某慈善基金会将筹措到位的第一批救灾物资打包成件,其中棉帐篷和毛巾被共3200件,毛巾被比棉帐篷多800件.(1)打包成件的棉帐篷和毛巾被各多少件?(2)现计划用甲、乙两种小飞机共8架,一次性将这批棉帐篷和毛巾被全部运往该灾区.已知甲种飞机最多可装毛巾被400件和棉帐篷100件,乙种飞机最多可装毛巾被和棉帐篷各200件.则安排甲、乙两种飞机时有几种方案?请你帮忙设计出来.(3)在第(2)问的条件下,如果甲种飞机每架需付运输成本费4000元,乙种飞机每架需付运输成本费3600元.应选择哪种方案可使运输成本费最少?最少运输成本费是多少元?27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),直线l是抛物线的对称轴.(1)求该抛物线对应函数的解析式;(2)若过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,求此直线对应函数的解析式;(3)点P在抛物线的对称轴上,☉P与直线AB和x轴都相切,求点P的坐标.模拟训练一、选择题1.D2.D3.C4.C5.C6.C7.B由于方程有两个不相等的实数根,因此Δ=b2-4ac>0,则(-6)2-8k>0,解得k<928.B将绳子记为1,2,3,则姐妹选中绳子共有9种等可能结果:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),其中两人选到同一条绳子的结果有3种,所以两人选到同一条绳子的概率为139.B10.B过点A作BC的垂线,垂足为点D,BC与y轴交于点E,如图.设点Aa,ka,∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD⊥BC,∴D是线段BC的中点.∴DC=BD=a-b,∴C2a∵点M为边AC的中点,∴M3a-b2∵点M在反比例函数的图象上,∴M3a-b2解得b=-3a.易知,AD∥NE,∴ANAB11.C根据抛物线的开口向下可知a<0,根据抛物线的对称轴在y轴左侧可知a,b同号,则b<0,且-b2a=-1,根据抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知c>①∵a<0,b<0,c>0,∴abc>0正确;②∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴4ac<b2正确;③∵抛物线对称轴是直线x=-1,∴-b2a=-1,∴2∴2a+b=0错误;④由图象可知,抛物线的顶点为最高点,故当x=-1时,y>2,∴a-b+c>2正确.12.D观察题图知,到达终点时,甲对应的点是C,所花时间为86分钟,乙对应的点是D,所花时间为96分钟,所以甲先到达终点,A正确;两人第一次相遇前,甲都在乙的前面,B正确;由A(30,10),B(66,14),利用待定系数法可求得直线AB的关系式为y=19x+203,把y=12代入关系式解得x=48,C正确;乙的速度为12÷48=14,总路程为14×96=24(二、填空题13.x(x+2)(x-2)14.35π9如图,设传送带上点A处的粮袋上升到点B,构建Rt△ABC,则AC∥由题意可得AB=140π×∵AC∥MN,∴∠BAC=∠NMA=30°.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴BC=AB·sin30°=12AB=35即传送带上点A处的粮袋上升的高度是35π915.116.1717如图,当纸盒展开图中水平方向上的四个小正方形组成的矩形对角线AC为圆形纸片的直径,即圆形纸片为Rt△ABC的外接圆时,纸盒体积最大,此时AC=17cm时,设此情况下的正方体的边长为x,则在Rt△ABC中有AB2+BC2=AC2,即x2+(4x)2=172,可求出x=±17,负值舍去得x=17,所以x3=1717.17.乙18.(-8,0)三、解答题19.解(1)原式=2-1-2×22+2+2=4-1=3(2)原式=2(a+3当a=2时,原式=-2220.解方程两边同乘x2-4,得2+x(x+2)=x2-4,整理得2+x2+2x=x2-4,2x=-6,x=-3.检验:当x=-3时,x2-4=5≠0.故原方程的解为x=-3.21.解(1)把七年级10名学生的测试成绩按从小到大的顺序排列为71,76,79,83,84,86,87,90,90,94,根据中位数的定义可知,该组数据的中位数为a=84+862=85八年级10名学生的成绩中87分的最多,有3人,所以众数b=87,A同学得了86分大于85分,位于年级中等偏上水平,由此可判断他是七年级的学生.故答案为85,87,七.(2)510×200+610×200=220(人答:该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220.(3)我认为八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.理由:因为七、八年级测试成绩的平均数相等,八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差,所以八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.22.解(1)根据所列方程可知,甲所列方程中的x表示B型玩具的单价;乙所列方程中的x表示520元购进A型玩具的数量.故答案为B型玩具的单价;520元购进A型玩具的数量.(2)设可购进A型玩具a个,则购进B型玩具(200-a)个,由(1)可知B型玩具的单价为5元,A型玩具的单价为1.6×5=8(元).根据题意得8a+5(200-a)≤1350,解得a≤11623故整数a的最大值是116.答:最多可购进A型玩具116个.23.解(1)3020(2)1(3)可能出现的所有结果列表如下:小张抛到的数字小李抛到的数字12341(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)或画树状图如下:共有16种可能的结果,且每种的可能性相同,其中小张获得车票的结果有6种:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3).故小张获得车票的概率为616=38,小李获得车票的概率为因此这个规则对小张、小李双方不公平.24.解(1)过点D作AE的垂线,交AE的延长线于点F,如图.由已知可得四边形ACDF是矩形,∴DF=AC=200m.∵点D在点E的北偏东45°方向,∴∠DEF=45°,∴△DEF是等腰直角三角形,∴DE=DFsin45°=2002≈283(2)由(1)知△DEF是等腰直角三角形,DE≈2002m,∴EF=DF=200m.∵点B在点A的北偏东30°方向,∴∠EAB=30°,∴∠ABC=30°,∴∠BAC=60°.∵AC=200m,∴AB=2AC=400m,BC=AB·sin60°=2003m.∵BD=100m,∴经过点B到达点D的路程为AB+BD=400+100=500(m),CD=BC+BD=(2003+100)m,∴AF=CD=(2003+100)m.∴AE=AF