专题03 勾股定理与逆定理的八类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（原卷版）

专题03勾股定理与逆定理的八类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、已知直角三角形的两边，求第三边长类型二、等面积法求斜边上的高问题类型三、勾股定理与网格问题类型四、勾股定理的验证方法类型五、判断三边能否构成直角三角形类型六、在网格中判断直角三角形类型七、利用勾股定理的逆定理求解类型八、勾股定理逆定理的实际应用压轴专练类型一、已知直角三角形的两边，求第三边长1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²（c为斜边，a、b为直角边）。2.分类讨论：已知两边需判断是否为直角边。若均为直角边，直接用勾股定理求斜边；若一边为斜边，用斜边平方减已知直角边平方求另一边。3.注意事项：边长为正数，计算后需验证结果合理性，避免忽略斜边与直角边的区别导致漏解。例1．（25-26八年级上·贵州毕节·月考）若一个直角三角形的其中两边的长分别为，且满足，则该直角三角形的第三边的长为．【变式1-1】（24-25八年级上·陕西西安·月考）若直角的三边长分别为、、，且、满足，则第三边的长是．【变式1-2】（2014九年级·浙江嘉兴·竞赛）已知直角三角形两边的长满足，则第三边的长．【变式1-3】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，，，在直线上找一点，使得为以为腰的等腰三角形，则的长度为．类型二、等面积法求斜边上的高问题1.核心原理：直角三角形面积可通过两直角边表示（S=1/2ab），也可通过斜边与斜边上的高表示（S=1/2ch），利用面积相等建立等式。2.公式推导：由1/2ab=1/2ch，得斜边上的高h=ab/c（a、b为直角边，c为斜边）。3.应用前提：需先明确直角三角形的直角边和斜边，若斜边未知，需先用勾股定理求出斜边长度再计算高。例2．（25-26八年级上·广东中山·阶段练习）已知的两直角边分别是3，4，则的斜边上的高是．【变式2-1】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知的两直角边分别是，，则的斜边上的高是．【变式2-2】（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）等腰三角形的周长为，面积为，且其中一边长为，则底边上的高为．【变式2-3】睿明同学在学习勾股定理后深入思考发现求一个三角形面积的方法：如图，是的高，高是和的公共直角边，由勾股定理得，，设，可建立关于的方程，求得，进而通过计算就可求出的面积．根据睿明同学的方法，若，，，则的面积为．类型三、勾股定理与网格问题1.

网格特性：网格中线段长度可通过水平、垂直方向格点数计算，水平（垂直）距离为格点差的绝对值，利用勾股定理求斜线长度（√(水平²+垂直²)）。2.

图形构造：网格中直角三角形可通过找直角边（水平/垂直线段）确定，多边形面积可分割为直角三角形或矩形计算。3.

验证应用：利用网格边长整数特性，直观验证勾股定理，或通过计算线段长度判断三角形是否为直角三角形。例3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（

）A． B．C．的面积为10 D．点到直线的距离是2【变式3-1】（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为【变式3-2】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1、每个小正方形的顶点称为格点．已知的三个顶点都在格点上．(1)判断的形状，并说明理由；(2)仅用无刻度直尺作线段垂直；(3)求点到的距离．【变式3-3】在边长为1的正方形网格中，均为格点，(1)___________，___________(2)求中边上的高类型四、勾股定理的验证方法1.拼图验证：通过割补正方形或直角三角形，如赵爽弦图，将图形面积用两种方式表示，推导a²+b²=c²，体现数形结合思想。2.面积法：构造以斜边为边的正方形，结合周围直角三角形面积，建立总面积等式，化简得勾股定理，核心是面积守恒。3.几何证明：利用全等三角形或相似三角形性质，通过对应边成比例或面积关系推导，需掌握三角形全等/相似判定及性质。例4．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）如图，为上一点，，，，，交于点，且．(1)判断线段，，的数量关系，并说明理由；(2)连接，，若设，，，利用此图验证勾股定理．【变式4-1】（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则．(1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？【变式4-2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究．【初步探究】

（1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（），小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）．①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示）②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简）【结论运用】（2）如图2，已知，是直角三角形，．请利用上面得到的结论求解．①若，求的长．②若，的长比的长大2，求的长．【应用拓展】（3）如图3，已知，在中，，请求出的面积．

【变式4-3】（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践．如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．【知识迁移】（1）把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为，显然，用分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理；【方法运用】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为________；【拓展延伸】（3）如图④，在中，是边上的高，，设，请直接写出x的值．类型五、判断三边能否构成直角三角形1.勾股定理逆定理：若三角形三边a、b、c（c为最长边）满足a²+b²=c²，则为直角三角形，反之不是。2.步骤要点：先确定最长边，计算最长边平方与另两边平方和，比较是否相等。3.注意事项：需先判断三边能否构成三角形（两边之和大于第三边），再用逆定理验证，避免忽略三边关系前提。例5．（25-26八年级上·吉林长春·期末）下列条件不能判定为直角三角形的是（

）A． B．C．a D．【变式5-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（

）A．B．C．D．【变式5-2】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【变式5-3】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）在中，的对边分别是．下列条件中，不能判断为直角三角形的是（

）A．，， B．C．，， D．类型六、在网格中判断直角三角形1.

网格边长计算：利用网格水平、垂直方向格点距离，求线段长度（水平/垂直为格数差，斜线用勾股定理得√(m²+n²)，m、n为格数）。2.

逆定理应用：算出三边长度后，找最长边，验证其平方是否等于另两边平方和，判断是否为直角三角形。3.

直角顶点判断：网格中直角常出现在水平与垂直线段交点，可通过观察边的垂直关系辅助判断，简化计算。例6．（25-26八年级下·全国·期中）如图，每个小正方形的边长为1．(1)求图中格点的面积．(2)判断的形状，并证明你的结论．【变式6-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．(1)求的周长；(2)求及的面积．【变式6-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在格点（小正方形的顶点）上．(1)求四边形的面积；(2)判断与的位置关系，并说明理由．【变式6-3】（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上．(1)求三角形的周长．(2)判断△ABC的形状，并说明理由；(3)求AB边上的高h．类型七、利用勾股定理的逆定理求解1.

定理内容：若三角形三边a、b、c（c为最长边）满足a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形，c所对的角为直角。2.

应用步骤：先确定最长边，计算其平方与另两边平方和，比较是否相等，相等则为直角三角形。3.

关联知识：需结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）先判断能否构成三角形，再用逆定理，常用于判断三角形形状或证明垂直关系。例7．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，在中，为边上的一点，连接，过点作交的延长线于点．已知，，，．(1)求线段的长．(2)求的面积．【变式7-1】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在四边形中，，且．(1)求证：；(2)求四边形的面积．【变式7-2】（24-25八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，，点是边上一点，连接，且，．(1)求证：；(2)若，求的周长．【变式7-3】（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点和，且．(1)求证：；(2)若，，求的长．类型八、勾股定理逆定理的实际应用1.

问题转化：将实际场景中的距离、长度转化为三角形三边，通过测量或计算得边长。2.

判定应用：找出最长边，验证其平方是否等于另两边平方和，确定是否为直角三角形。3.

场景适配：适用于判断墙角、支架等是否垂直，或规划路线是否构成直角路径，需结合实际提取几何模型。例8．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）为了让学生更多的参与到劳动实践中，育才中学开辟了一片劳动基地，然后中间用栅栏将这块劳动基地划分成两部分，分别种植花卉和蔬菜（如图），其中，已知，，，．(1)求花卉区的面积；(2)若学校在蔬菜基地周围修两条步道（宽度忽略不计）和，这两条步道的长度相差多少米？【变式8-1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行．(1)猜想两支架与的位置关系并说明理由；(2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离．【变式8-2】（24-25八年级下·山东日照·期末）如图是某婴儿车的设计结构示意图，现测得，，，．(1)求出的长；(2)根据相关安全标准，与的夹角需为，通过计算说明该婴儿车设计是否符合安全标准．【变式8-3】（24-25八年级下·广西南宁·期中）劳动教育能够提升学生的智力与创造力，强壮学生的体格，实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长（）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，(1)求蔬菜区边的长；(2)求劳动基地（四边形）的面积．一、单选题1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）下列条件能判定是直角三角形的是（

）A．B．C．D．2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接．若，，则的长为（

）A． B． C． D．3．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，在等腰三角形中，分别是的高和中线，，，是上的一个动点，则的最小值是（

）A． B． C．13 D．124．（25-26八年级上·广东深圳·期中）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（

）A． B． C． D．5．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）图中是第七届国际数学教育大会的会徽，其图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的．其中，记为相应三角形的面积．则的值为（

）A． B．30 C．33 D．6．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．连接，，若，，则大正方形的边长为（

）A．6 B． C． D．5二、填空题7．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则．8．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，在、上分别截取、，使，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则点到的距离为．9．（25-26八年级上·河北张家口·期末）明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》．该诗词翻译后的示意图如图所示，表示秋千的绳索，，与地面l垂直，点C到地面l的距离为5尺，点B到地面l的距离为1尺，尺，则的长为尺．西江月·秋千索长平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？10．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，交于点D，，，过点B作，垂足为E，，，延长交的延长线于点H，则．11．（25-26八年级上·上海闵行·月考）定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“超厉害三角形”．若是“超厉害三角形”，且一条直角边长为1，则斜边长是__________．12．（25-26八年级上·上海虹口·期末）定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成两个等腰三角形，则称该线段为原三角形的“双等线”．例如：任意直角三角形斜边上的中线就是一条过直角顶点的“双等线”．问题解决：已知中，，，如果中存在过锐角顶点的“双等线”，则的长为．三、解答题13．（24-25八年级下·云南昆明·月考）如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上．(1)求的周长；(2)判断的形状，并求边上的高；14．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，劳动课时，小星将的空地种上两种不同品种的花卉，中间用小路隔开，经测量，，，，．(1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)若空地种植花卉的费用为50元/，则需花费多少元？15．（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．(1)求水池的深度．(2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性．16．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）已知在中，，，，点D是上一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为，连接．(1)当时，求的长度；(2)当为等腰三角形时，t的值为________；(3)过点D作于点E，当P在点C的左侧运动时，要使，_______．17．（25-26八年级上·福建福州·期末）【项目式学习】【项目主题】合理规划，绿色家园【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动．任务一：实地测绘小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得，平分道路长度（米）806060366450任务二：数学计算根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算：(1)求道路和的长；(2)任务三：方案设计根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路．18．（25-26八年级上·上海松江·期末）综合与实践【阅读理解】背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着智慧．赵爽的证明方法是：制作四个全等的直角三角形，直角边长分别记为a、b（），斜边长记为c．用这四个直角三角形拼成如图1所示的正方形（赵爽弦图）．用它可以证明勾股定理．证明思路是：大正方形的面积有两种求法，方法1：利用正方形面积公式算得大正方形面积为；方法2：把大正方形面积看作四个直角三角形与中间一个小正方形的面积之和．再根据以上结果，就可以证明勾股定理．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．（1）请根据上面的叙述，给出勾股定理证明过程．【方法运用】根据背景介绍，探索勾股定理新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置（其中B、D、C在同一条直线上，A、F、D在同一条直线上），其中，，，延长与交于点E．（2）连接，请利用“双求法”证明：；【应用拓展】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，测得米，米．后来为了方便村民就近取水，决定在河边新建第三个取水点H（A、H、B在同一条直线上），要求的长度最短．求新修道路的长．综合训练一、选择题1.使得式子x4-x有意义的xA.x≥4 B.x>4 C.x≤4 D.x<42.设a>0,b>0,则下列运算错误的是()A.ab=a·b B.a+b=a+b C3.在二次根式:2xy,8,A.4 B.3 C.2 D.04.被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式,下列各数27,118A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.实数a,b在数轴上的对应位置如图所示,则化简(a-b)2-(b-a-A.2 B.2a-2 C.2-2b D.-26.下列判断正确的是()A.32<3<2 B.2<C.1<5−3<2 D.4<37.化简4x2-4x+1-(A.2 B.-4x+4 C.-2 D.4x-48.化简37甲:37+2乙:37+2=对于他们的解法,正确的判断是()A.甲、乙的解法都正确 B.甲的解法正确,乙的解法不正确C.甲、乙的解法都不正确 D.甲的解法不正确,乙的解法正确二、填空题9.式子x,m2+10.观察并分析下列数据,寻找规律:0,2,2,6,22,10,23,…则第10个数据应是11.如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B,点A表示-2,设点B所表示的数为m,则(m-1)(m-3)的值是.

12.规定:a※b=ab-b2,则2※(2-1)的值是.

三、解答题13.化简(各式中字母均为正数):(1)a4+a2b14.计算:(1)(13)2+0.32−19; (2)(6−(3)(323-412+327)÷22; (4)(3+2-1)(15.当a=2+6,b=2-6时,求代数式a-b16.已知实数a,b,c满足(a-8)2+b-5+|c-32|=(1)求a,b,c的值;(2)试问以a,b,c为边