专题02 矩形、菱形、正方形期中复习压轴题（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（原卷版）

1/10专题02矩形、菱形、正方形期中复习压轴题目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、矩形、菱形、正方形中的多结论问题类型二、矩形、菱形、正方形中的多解问题类型三、矩形的性质和判定综合问题类型四、菱形的性质和判定综合问题类型五、正方形的性质和判定综合问题类型六、矩形、菱形、正方形中的折叠问题类型七、矩形、菱形、正方形中的新定义型问题压轴专练类型一、矩形、菱形、正方形中的多结论问题方法总结1.逐项验证：对每个结论，结合已知条件及特殊平行四边形性质（边、角、对角线）独立推导。2.反例排除：对于不一定成立的结论，尝试构造特殊图形（如正方形、菱形）或改变条件进行验证。解题技巧1.性质链推理：系统梳理矩形、菱形、正方形的性质（共性如对角线互相平分；特性如矩形对角线相等、菱形对角线垂直等）。2.图形直观：画出一般图形（非特殊）示意图，结合测量快速排除明显错误结论。例1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-1】（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-2】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形与个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为，中间的小正方形为正方形，面积为，连接，交于点，交于点，①，②；③，④，以上说法中正确的个数为（）．A． B． C． D．类型二、矩形、菱形、正方形中的多解问题方法总结1.分类讨论：根据图形顶点顺序、动点位置、对角线情况（如哪条为边或对角线）等，分不同情形讨论。2.方程求解：设未知数，利用图形性质（如勾股定理、面积等）列方程，得到多组解，结合几何意义取舍。解题技巧1.画图辅助：画出每种情形的示意图，直观分析几何关系，避免漏解。2.检验合理性：求出解后，需验证是否满足图形条件（如边长正数、角度合理），舍去不合题意的解。例2．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在正方形中，，的两边分别交边，于点E、F，若，，则的长为________．【变式2-1】（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，长方形中，,,点是射线上一动点（不与重合），将沿着所在的直线折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为____________________．【变式2-2】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在菱形中，，，点是边上的一个动点（不与、重合），交于点，点在上，．当是直角三角形时，的长为_____．类型三、矩形的性质和判定综合问题方法总结1.先判后用：先根据已知条件（如对角线相等、一个角为直角等）判定四边形为矩形。2.再性求解：再利用矩形的性质（四个角为直角、对角线相等且互相平分）求角度、线段或证明结论。解题技巧1.判定优选：优先选择“一个角为直角的平行四边形”或“对角线相等的平行四边形”等简捷判定。2.直角三角形转化：矩形问题常可转化为直角三角形，运用勾股定理、三角函数求解。例3．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，D，E分别为，的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求AC的长．【变式3-1】（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，中，，平分，，．(1)求证：四边形是矩形；(2)过点E作于，若，，求的长．【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，回答下列问题：【问题探究】(1)如图1，在中，连接，．①求证：是矩形；②若，探究线段与线段之间的数量关系．【问题解决】(2)如图2所示，矩形是一块待开发的旅游景点规划地，、、是从入口C通往三个观光点A、E、F的路线，其中，且，因自然地理环境的限制，观光点A无法直接到达观光点E、F，为方便旅客顺利、便捷地从观光点A到达观光点E、F（观光点E、F分别在、上），现要在、上架一座桥梁，已知，桥梁的造价为200万元，桥梁的造价为100万元，求建好和两座桥梁所需要的总造价．类型四、菱形的性质和判定综合问题方法总结1.先判后用：先依据一组邻边相等或对角线垂直等条件判定四边形为菱形。2.再性求解：再利用菱形的性质（四边相等、对角线垂直平分且平分对角）求角度、线段或证明结论。解题技巧1.判定优选：优先选择“四边相等的四边形”或“对角线垂直平分的平行四边形”等直接判定。2.对角线模型：连接对角线，构造直角三角形，运用勾股定理、三角函数求解。例4．（24-25八年级下·福建·期中）如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)连接，若，，，求的长．【变式4-1】（24-25八年级下·福建厦门·期中）在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，菱形的面积为80，求的长．【变式4-2】（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）如图，菱形中，，的两边分别与，边所在的直线交于点E和点F，且．(1)当的两边分别与，边垂直时，如图①，易证：；(2)将绕着点D旋转至不垂直时，如图②，请直接写出线段，和之间有怎样的数量关系，不需证明；(3)将绕着点D旋转至，分别和射线，相交时，如图③，请写出线段，和之间有怎样的数量关系，并证明．类型五、正方形的性质和判定综合问题方法总结1.先判后用：先依据一组邻边相等且一个角为直角等条件判定四边形为正方形。2.再性求解：再利用正方形的性质（四边等、四直角、对角线垂直平分且相等）求角度、线段或证明。解题技巧1.判定优选：优先选择“一个角为直角的菱形”或“一组邻边相等的矩形”等简捷判定。2.对角线模型：连接对角线，利用其垂直、平分、相等的特性构造全等直角三角形解题。例5．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，且，于点G．(1)求证：矩形是正方形；(2)延长到点H，使得，连接，判断的形状，并说明理由．【变式5-1】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连接，且．(1)求证：矩形是正方形；(2)若，，求的长度；(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．【变式5-2】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形中，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，连接、和，设运动时间为．(1)当时，如图①所示，则______；(2)若，则______；(3)连接，与和分别交于点，，如图②所示：①若，求的长和此时的值；②求证：点是的中点．类型六、矩形、菱形、正方形中的折叠问题方法总结1.折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.图形特性：利用矩形（直角）、菱形（四边相等）、正方形（直角且四边相等）的性质，寻找折叠产生的全等或直角三角形。解题技巧1.标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及图形本身决定的等量关系。2.设元勾股：常在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x，利用勾股定理列方程求解。例6．（24-25八年级下·福建南平·期中）有一个数学活动，通过折叠矩形纸片得到等边三角形，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（如图1）；第二步：再折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段BN（如图2）．第三步：沿着折叠，得到折痕，沿着折痕，剪下．（如图2）．请解答以下问题：(1)如图1，求出的度数．(2)如图2，求证：是等边三角形．【变式6-1】（24-25八年级上·吉林长春·期中）折叠问题是几何变换中常见的数学问题，经常利用轴对称的性质解决相关问题，而有直角的图形折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：

(1)【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，折痕和交于点D，，则的长为________；(2)【深入探究】如图②，在平行四边形纸片中，，现将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果．求的长；(3)【拓展延伸】如图③，在平行四边形纸片中，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长为________．【变式6-2】（24-25八年级上·广东汕头·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．【操作判断】如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______；②线段，，之间的数量关系为______．【深入探究】如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示．（2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由．（3）小段发现是一个定值．小段同学的发现是否成立?若成立，求出的大小；若不成立，请说明理由．类型七、矩形、菱形、正方形中的新定义型问题方法总结1.理解定义：准确理解新定义（如“和谐矩形”“完美菱形”），将其转化为边、角或对角线的数学关系。2.性质应用：利用矩形、菱形、正方形的性质（如矩形对角线相等、菱形对角线垂直等），将定义条件转化为方程或不等式求解。解题技巧1.举例验证：用简单数值代入新定义试算，理解本质后再一般化处理。2.分类讨论：新定义常涉及边长比例、角度关系，需分类讨论不同情况求解。例7．（25-26八年级上·山西运城·期中）新定义：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫作“悦动三角形”．例如：某三角形三边长分别是和3，因为，所以这个三角形是“悦动三角形”．(1)若三边长分别是5，，则此三角形___________“悦动三角形”．(填“是”或“不是”)(2)如图，中，，点D为的中点，连接，，若是“悦动三角形”，求的长．【变式7-1】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形中，若垂直平分，那么四边形称为鹞形．(1)写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______；(2)如图2，在平行四边形中，E、F分别在边和上，且四边形是鹞形（垂直平分），求证平行四边形是菱形．(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，，，则的长度为________．【变式7-2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）【定义】在学习了“中心对称图形--平行四边形”这一章后，小明同学对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形．勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”，并进行了以下问题的探究．【理解】（1）如图①，正方形中，点，分别在边，上，连接，，，，若，求证：四边形为“双直四边形”【应用】（2）如图②，双直四边形中，，，，对角线与相交于点，且，求四边形的面积．【拓展】（3）如图③，双直四边形中，，，且，若，求线段的长度．一、单选题1．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，矩形中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线分别交于点E，F，连接和，若，以下结论正确的个数是（

）①四边形是菱形；②；③；④若点是直线上的一个动点，则的最小值是9．A．1 B．2 C．3 D．43．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，四边形是正方形，是边上的一点，点在对角线上，，的延长线交的延长线于点，连接．下列结论中正确的个数是（

）（友情提示：正方形四条边都相等，四个角都是直角．）①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题4．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小敏家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积是__________．5．（25-26九年级上·山西运城·期末）在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为_____________．6．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在矩形中，，点E是上一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处，当为直角三角形时，的长为_____．三、解答题7．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，延长到，使，连接，，，若．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长．8．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在四边形中，是四边形的对角线，过点作的垂线交的延长线于点，点恰好是的中点．(1)求证：四边形是菱形；(2)过点作于点，交于点，连接，若，求和的长．9．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在矩形中，，G、H分别是、中点，E、F是对角线上的两个动点，分别从点A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．(1)当时，请判断四边形的形状，并说明理由；(2)若四边形为矩形，求t的值；(3)若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值．10．（24-25八年级下·河南南阳·期末）定义：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．(1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合等腰直角四边形定义的特殊四边形；(2)如图1，等腰直角四边形中，，．若，，请利用如图2的辅助线，求的长；(3)如图3，在矩形中，，，点P是对角线的中点，过点P作直线分别交边、于点E、F．当四边形是等腰直角四边形时，直接写出四边形的面积．11．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点．(1)判断四边形的形状，并说明理由．(2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点．①试判断四边形的形状，并说明理由．②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长．12．（25-26九年级上·陕西西安·期末）[问题探究]如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，则的最小值是；[尝试应用]如图2，矩形中，，点P是矩形内一动点，且，求周长的最小值．[实践创新]如图3，，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值．综合训练一、选择题1.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论错误的是()A.当∠ABC=90°时,它是矩形 B.当AC⊥BD时,它是菱形C.∠ABC=∠ADC D.AC=BD一定成立2.下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.内角和为360° B.对角线互相平分C.对角线相等 D.对角线互相垂直3.在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=10cm,AB=4cm,则△COD的周长为()A.14cm B.9cm C.7cm D.5cm4.如图,AD是△ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形,增加下列条件,能判断▱ADCE是菱形的是()A.∠BAC=90° B.∠DAE=90°C.AB=AC D.AB=AE5.如图,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为()A.55° B.25°C.30° D.35°6.将一张正方形的纸片按下图所示的方式三次折叠,折叠后再按图所示沿MN裁剪,则可得()A.多个等腰直角三角形 B.一个等腰直角三角形和一个正方形C.四个相同的正方形 D.两个相同的正方形7.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,点P是AD上一动点(不与A,D重合),过点P作AC和BD的垂线,垂足分别为E,F,则PE+PF=()A.125 B.C.35 D.8.将一边长为2的正方形纸片折成四部分,再沿折痕折起来,恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥,则三棱锥四个面中最小的面积是()A.1 B.32 C.12 D二、填空题9.如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为.

10.如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB=.

11.如图,∠ACB=90°,△ABF的中位线DE经过点C,且CE=13CD,若AB=6,则BF的长为.12.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为.

三、解答题13.如图,在▱ABCD中,点E在AB的延长线上,点F在CD的延长线上,满足BE=DF.连接EF,分别与BC,AD交于点G,H.求证:EG=FH.14.如图,A,B,C三点在同一条直线上,AB=2BC.分别以AB,BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN,连接FN,EC.求证:FN=EC.15.如图,在▱ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)①当AE=cm时,四边形CEDF是矩形;

②当AE=cm时,四边形CEDF是菱形.

(直接写出答案,不需要说明理由)16.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD的垂直平分线与AD,BC分别相交于点M,N.(1)求证:四边形BNDM是菱形;(2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长.17.如图①,有一张菱形纸片ABCD,AC=8,BD=6.图①图②图③图④(1)请沿着AC剪一刀,把它分成两部分,把剪开的两部分拼成一个平行四边形,在图②中用实线画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开,请在图③中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边形的周长.(2)沿着一条直线剪开,拼成与上述两种都不全等的平行四边形,请在图④中用实线画出拼成的平行四边形.(注:上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)综合训练一、选择题1.D2.C3.B4.A5.B∵∠BAD=60°,∠F=110°,∴由平行四边形的性质可得,∠BCD=∠BAD=60°,∠DCF=180°-∠F=70°.∵AD∥BC,DE∥CF,∴∠ADE=∠BCF=∠BCD+∠DCF=60°+70°=130°.∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且有公共边CD,∴AD=DE.∴∠DAE=12(180°-∠ADE)=12×50°=6.C7.A如图所,连接OP,过点A作AG⊥BD于G.∵AB=3,AD=4,∴由勾股定理可得BD=32+4∵S△ABD=12AB·AD=12BD·∴12×3×4=12×5×AG,解得AG=在矩形ABCD中,OA=OD.∵S△AOD=12OA·PE+12OD·PF=12OD∴PE+PF=AG=1258.C如图,点E,F为边的中点,沿图中虚线折叠,恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥,此时三棱锥四个面中最小的面是△AEF,其面积=