专题05 利用勾股定理解决折叠问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（原卷版）

专题05利用勾股定理解决折叠问题的六类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、长方形中折痕过对角线模型类型二、长方形中折痕过一顶点模型类型三、长方形中折痕过任意两点模型类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型压轴专练类型一、长方形中折痕过对角线模型【方法总结】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’.结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：AEC是等腰三角形。例1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．(1)求证：；(2)若，，求的面积．【变式1-1】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在长方形中，，，，，且，将长方形沿对角线折叠，点B的对应点为，与相交于点E．则线段的长为．【变式1-2】如图，长方形中，，，．点为上的一个动点，把沿直线翻折得．

(1)当点落在边上时，(2)如图2，当E点与C点重合时，与交点，求长．类型二、长方形中折痕过一顶点模型【方法总结】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形边上结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：AEF是等腰三角形。例2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边上，则的长为．【变式2-1】如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是．【变式2-2】（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边的处，是折痕，已知，，求的长．【变式2-3】（25-26八年级上·江苏常州·期中）在四边形中，，，．(1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）．①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______．②在①的条件下，求的长．(2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长．类型三、长方形中折痕过任意两点模型【方法总结】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕EF垂直平方BB’。折在矩形边上结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：GC’F是直角三角形。例3．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕分别与，交于点，．(1)求证：．(2)若，，则的面积为__________．【变式3-1】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在长方形中，，，将长方形沿线段折叠到如图的位置，使得点C与线段的中点重合，则的长为．【变式3-2】（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在长方形纸片中，厘米，厘米．现将纸片沿直线折叠，使点与点重合，折痕为．则阴影部分的面积是平方厘米．【变式3-3】（24-25八年级上·河南焦作·期末）如图，在长方形纸片中，四个角是直角，对边平行，，．点、分别在、边上，连接，如图1，把长方形纸片沿着折叠，设、的对应点分别是、．

(1)当时，则______．(2)在折叠的过程中，当的对应点恰好与点重合时，请结合图2，求出和的长；(3)在折叠的过程中，当点落在直线上，且时，请直接写出的长．类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型【方法总结】（1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；（2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；（3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。例4．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于．【变式4-1】如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（

）A． B． C． D．【变式4-2】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使点落在斜边上的点处，试求的长．(1)求的长；(2)求的长．【变式4-3】（24-25八年级上·四川雅安·期中）如图，将纸片沿折叠，使直角顶点C与边上的点E重合，若．

(1)求线段的长；(2)求线段的长．类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型【方法总结】（1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；（2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.（3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.例5．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（

）

A． B． C． D．【变式5-1】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在直角三角形中，，把沿直线折叠，点A与点B重合；若，则的长为．【变式5-2】（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长．【变式5-3】（24-25八年级下·福建三明·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．【初步感知】（1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长；【深入探究】（2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）；【拓展延伸】（3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）．类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型【方法总结】（1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.（2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；例6．（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为．【变式6-1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在中，，．如图D、E分别是和边上的点，把沿直线折叠，若点B落在边上的点F处，则的最小值是．【变式6-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，点P，Q分别是边上的动点，沿所在的直线折叠，使得点C的对应点始终落在线段上，若为直角三角形，则的长为．【变式6-3】（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，点，分别是，上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点落在上．(1)如图1，若点是的中点．①求证：；②连接，求证：；(2)如图2，若，且点是的中点，判断线段，与之间存在的数量关系，并证明．一、单选题1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，有一张直角三角形纸片，，，．将三角形纸片沿翻折，使点落在直角边延长线上的点处，则的长为（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·湖南湘潭·自主招生）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（

）A． B． C． D．3．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边的延长线于点E，交边于点F，则的长为（

）A．1 B．2 C． D．4．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（

）A．6 B．7 C．8 D．95．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在长方形中，，，点为射线上一动点（不与点重合），将沿所在直线折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为（

）A． B．C．或 D．或二、填空题6．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，，，将沿折叠，使点与点重合，则的长度为．7．（25-26八年级上·福建泉州·月考）如图，在长方形中，，将沿翻折，得到，其中，与相交于点，则为8．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为．若的长为，则的长为．9．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为．10．（25-26八年级上·山西·月考）如图，在中，，，，D，E分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点B的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为．三、解答题11．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程．12．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长．13．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，．(1)求的长；(2)的面积为__________；(3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值；14．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上．(1)求边的长．(2)如图，若为的中点．求证：．(3)如图，若为的中点．试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由．直接写出线段的长．15．（25-26八年级上·重庆北碚·月考）在长方形中，．P为上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）．(1)如图1，当点E在边上时，求的长度．(2)如图2，当点E在边外时，与相交于点F，与相交于点G，且，求的长．(3)如图3，已知点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，求的长．综合训练一、选择题1.如图,带阴影的长方形的面积是()A.9cm2 B.24cm2C.45cm2 D.51cm22.若a,b,c是直角三角形的三条边,下列说法正确的是()A.a2,b2,c2能组成三角形B.3a,3b,3c能组成直角三角形C.a+3,b+4,c+5能组成直角三角形D.3a,4b,5c能组成直角三角形3.如图,在长方形纸片ABCD中,点E是AD的中点,且AE=1,BE的垂直平分线MN恰好过点C,则长方形纸片的一边AB的长度为()A.1 B.2 C.3 D.24.如图,在Rt△ABC中,AC=8cm,BC=6cm,∠ACB=90°,分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为()A.14cm2 B.18cm2 C.24cm2 D.48cm25.如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则点C坐标为()A.(-1,0) B.(-2,0) C.(-5+4,0) D.(-1.5,0)6.下列命题的逆命题是真命题的是()A.若a=b,则|a|=|b| B.全等三角形的周长相等C.若a=0,则ab=0 D.有两边相等的三角形是等腰三角形7.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按如图②所示的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出()图①图②A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和8.如图①,第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB=BC=1,∠AOB=30°,则点B到OC的距离为()图①图②A.55 B.255 C.1 二、填空题9.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长.如果设AC=x,则可列方程为.

10.命题“在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是

,它是命题.

11.如图①,直角三角形的两个锐角分别是40°和50°,其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作:由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形,再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形,图③是重复上述步骤若干次后得到的图形,人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长为2,则10次操作后图形中所有正方形的面积和为.

12.如图,长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要cm.

三、解答题13.若a,b,c为△ABC的三边长,且a,b,c满足等式(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0.(1)求出a,b,c的值;(2)△ABC是直角三角形吗?请说明理由.14.为了减少交通事故的发生,某条例规定:小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70km/h.如图,一辆小汽车在一条由东向西的城市街道上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路边车速监测仪的正前方30m处,过了2s后,测得小汽车与车速监测仪的距离为50m,问这辆小汽车超速了吗?15.如图,在正方形ABCD中,M为AB的中点,N为AD上的一点,且AN=14AD,试猜想△CMN是什么三角形,请证明你的结论16.[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明,著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.[定理表述]请你根据图①中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述).图①图②[尝试证明]以图①中的直角三角形为基础,可以构造出以a,b为底,以a+b为高的直角梯形(如图②),请你利用图②,验证勾股定理.[知识拓展]利用图②中的直角梯形,我们可以证明a+b因为BC=a+b,AD=,

又因为在直角梯形ABCD中有BCAD(填大小关系),即,

所以a+17.阅读:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a,b,c,称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》,其勾股数组公式为a=12(m2-n应用:当n=1时,求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.综合训练一、选择题1.C2.B∵a,b,c是直角三角形的三条边,∴3a,3b,3c能组成直角三角形,a2,b2,c2不一定能组成三角形,其他情况都不能得到直角三角形.3.C连接CE(图略),则CE=BC=2,AE=1,由勾股定理,得CD=3.4.C由勾股定理可证,分别以直角边AC,BC为直径的两半圆的面积和等于以斜边AB为直径的半圆的面积,故阴影部分的面积等于Rt△ABC的面积.5.A6.DA的逆命题是若|a|=|b|,则a=b,假命题;B的逆命题是周长相等的三角形是全等三角形,假命题;C的逆命题是若ab=0,则a=0,假命题;D的逆命题是等腰三角形的其中两边相等,真命题.7.C8.B二、填空题9.x2+32=(10-x)210.在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°真把题中的结论作为条件,把条件作为结论,可知此命题为真命题.11.48如图,把题图②中各个小正方形标上字母,设正方形a的边长为x,正方形b的边长为y.∴正方形a的面积为x2,正方形b的面积为y2.由题意,得正方形c的边长为2,并且是直角三角形的斜边,∴正方形c的面积为4.根据勾股定理可得x2+y2=22=4.∴正方形a的面积+正方形b的面积=4.∴题图①中所有正方形的面积和=4+4=8.同理可得,正方形e的面积+正方形f的面积=正方形a的面积,正方形g的面积+正方形h的面积=正方形b的面积,∴正方形e的面积+正方形f的面积+正方形g的面积+正方形h的面积=正方形a的面积+正方形b的面积=4.∴题图②中所有正方形的面积和=题图①中所有正方形的面积和+4=12.即1次操作后所有正方形的面积和=题图①中所有正方形的面积和+4=12.同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4.∴2次操作后所有正方形的面积和=题图①中所有正方形的面积和+2×4=8+8=16.∴10次操作后所有正方形的面积和=题图①中所有正方形的面积和+1