专题09 矩形的性质与判定七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（原卷版）

专题09矩形的性质与判定七类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、利用矩形的性质求角度、线段长类型二、矩形与折叠问题类型三、根据矩形的性质与判定求角度、线段长类型四、根据矩形的性质与判定解决多结论问题类型五、斜边上的中线等于斜边的一半类型六、矩形的性质与判定的综合问题类型七、与矩形的性质与判定有关的作图压轴专练类型一、利用矩形的性质求角度、线段长方法总结1.性质对应：明确矩形四个角为90°、对边相等、对角线相等且互相平分。2.方程求解：将已知条件与上述性质结合，建立关于角度或线段的方程（组）求解。解题技巧1.直角三角形转化：矩形内含对角线常构成直角三角形，可运用勾股定理、三角函数。2.等量代换：灵活运用“对边相等”、“对角线互相平分”进行线段长度的等量代换。例1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为．【变式1-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在矩形中，、相交于点O，平分分别交、于点F、E，若，则的度数为．【变式1-2】（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，矩形的对角线相交于点，为上的一点，，，则的周长为．【变式1-3】（25-26九年级上·河南郑州·期末）已知，矩形中为上一点，且为上一点，且，连接，，．若是直角三角形，则的长为．类型二、矩形与折叠问题方法总结1.抓折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.利用矩形性质：结合矩形四个角为直角、对边平行的性质，寻找全等或直角三角形。解题技巧1.标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由折叠产生的新等量关系。2.设元列方程：常设未知线段长为x，在直角三角形中利用勾股定理建立方程求解。例2．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在矩形中，，点E是上一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处，当为直角三角形时，的长为．【变式2-1】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，在长方形纸片ABCD中，将沿对角线BD折叠得，FB和AD相交于点E，将沿BE折叠得．若，则的度数为．【变式2-2】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图1，在矩形中，，，E为射线上一动点，设．连接，点B关于的对称点为，作射线．(1)【基础探究】如图2，点E在线段上，且射线经过点D．①求证：；②求此时x的值；(2)【应用拓展】若射线交边于点F，．①当时，求x的值；②当时，直接写出x的值．【变式2-3】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）在长方形中，．(1)如图1，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，求的长．(2)如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长：(3)如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当三点在同一直线上时，请直接写出的长．类型三、根据矩形的性质与判定求角度、线段长方法总结1.先判后用：先根据已知条件（如一个角是直角且对边相等）判定四边形为矩形。2.性质求解：再利用矩形性质（四个直角、对角线相等且平分）建立方程，求角度或线段。解题技巧1.判定优选：优先选择“一个角为直角的平行四边形是矩形”等简捷判定。2.构造直角三角形：矩形问题常可转化为直角三角形，运用勾股定理、三角函数求解。例3．（24-25八年级下·宁夏吴忠·月考）如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，．(1)求证：四边形是矩形；(2)求的度数．【变式3-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，点分别在上，且，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，，求的长．【变式3-2】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O．(1)求证：四边形为矩形；(2)若，，，求的长．【变式3-3】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，中，，平分，，．(1)求证：四边形是矩形；(2)过点E作于，若，，求的长．类型四、根据矩形的性质与判定解决多结论问题方法总结1.逐项检验：对每个结论，分别判断其是否可由已知条件结合矩形性质或判定必然推出。2.构造反例：对于不一定成立的结论，尝试构造特殊矩形（如正方形）或改变形状进行验证。解题技巧1.图形直观：准确画出一般矩形（非正方形）示意图，结合测量直观判断。2.逻辑推理：系统梳理矩形的性质链（边、角、对角线），结合全等、相似等几何知识严密推理。例4．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中对角线相交于点O，有以下结论：①；②若，则是等边三角形；③；④；⑤平分．正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式4-1】（24-25八年级下·北京大兴·期中）如图，在矩形中，点，分别在，上，和都是等边三角形，连接交于点．有下列结论：①，②，③垂直平分，④．其中正确结论的个数是（

）A． B． C． D．【变式4-2】（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与、交于点E、F，连结交于点M，连结、．若，，则下列结论，其中正确结论的个数是（

）①；②；③四边形是菱形；④．A．1个 B．2个 C．2个 D．4个【变式4-3】（24-25七年级下·辽宁大连·月考）如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（

）①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个类型五、斜边上的中线等于斜边的一半方法总结1.定理应用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。2.逆定理：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。解题技巧1.构造直角三角形：遇到中点及垂直条件，常连接直角顶点与斜边中点构造中线。2.求线段长度：已知斜边，则中线长为其一半；已知中线，则斜边长为中线的2倍。例5．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是边上的高线，．(1)若，，求的长．(2)若是边上的中线，，求证：．【变式5-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求矩形的面积【变式5-2】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）综合与实践问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在中，，则：．探究结论：我们在以上结论的基础上作进一步研究．(1)如图1，取边的中点，连接，易得结论：为等边三角形，请说明理由，(2)如图2，为的中线，点是边上任意一点，连接，作等边，且点在的外部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．(3)如图3，当点为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，如果，求的度数，请直接写出你的结论．【变式5-3】（25-26八年级上·河南焦作·期末）如图，在中，，．(1)观察猜想：如图1，作边上的中线，得出以下结论：①的形状是___________；②与之间的数量关系为___________．(2)探索发现：如图2，是的中线，是边上任意一点，连接，作等边，且点在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由．(3)拓展应用：如图3，分别以为边作等边三角形和等边三角形，连接交于点，若，则的长为___________．类型六、矩形的性质与判定的综合问题方法总结1.先判后用：首先利用已知条件（如一个角是直角的平行四边形）判定四边形为矩形。2.以性求值：再运用矩形的性质（四个角为90°、对角线相等）求角度、线段长或证明新结论。解题技巧1.判定择优：优先选择条件最直接的判定定理（如“有三个角是直角的四边形”）。2.数形结合：将几何关系转化为方程，常在直角三角形中用勾股定理，或用全等三角形传递边角关系。例6．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图1，在中，为上一点，连接，分别作，的平分线，．(1)求的度数(2)若，，试判断四边形的形状，并说明理由：(3)如图2，在（2）的条件下，若，为外一点，平分，，且，求的长．【变式6-1】（2025八年级上·上海·专题练习）如图①，在四边形中，，点E是上一点，连接交于点G，延长交的延长线于点F．(1)若，求证：；(2)如图②，在（1）的条件下，连接，求证：；(3)如图③，四边形关于直线的对称图形为四边形，延长交于点P．若，求四边形的面积．【变式6-2】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：【实践探究】（1）小红将两个矩形纸片摆成图的形状，连接，，，则°；【解决问题】（2）将矩形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接．如图2，当时，求证：平分；【迁移应用】（3）如图，将矩形绕点顺时针转动，当点落在上时，连接，，交于点，过点作于点．①求证：；②若，，直接写出的长．【变式6-3】（25-26九年级上·福建漳州·期中）教材再现：(1)如图1，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为_____．知识应用：(2)如图2，在矩形中，点M，N分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为E和F，以为邻边作平行四边形，若，，的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由．(3)如图3，当点P是等边外一点时，过点P分别作直线的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，求出的面积．类型七、与矩形的性质与判定有关的作图方法总结1.依据性质作图：根据矩形对边相等且平行、四个角为直角的性质，利用尺规作平行线、垂线或截取等长线段。2.依据判定构图：以满足矩形判定条件（如作一个角为直角的平行四边形）为目标，逆向设计作图步骤。解题技巧1.先定直角：通常先作出一个直角，再根据条件（如边长）完成矩形。2.借助对角线：利用“对角线互相平分且相等”的性质，通过作线段的中垂线或等圆确定顶点。例7．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，已知矩形．(1)请用直尺与圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹；①以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，连接；②作的平分线交于点F；③连接；(2)在（1）作出的图形中，若，，求的面积．【变式7-1】（2025九年级·江西·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．(1)如图①，若，请在BC边上找点G，使．(2)如图②，P为AB边上一点，请在CD边上找点K，使．【变式7-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知矩形，，，点是边上一点，连接．(1)在边上作出点，使得点到的距离等于线段的长度；（用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，设点到的垂线段为，连接，若点刚好是的中点，补全图形（无需尺规作图），并求此时的长度．【变式7-3】（24-25八年级下·重庆·开学考试）在矩形中，是边上一定点，是直线上一动点，将沿直线翻折，点B的对应点为G．(1)若点G落在矩形的内部，且E，G，D三点在一条直线上时，请在图中作出此时的点G和直线；（请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，若，，，求的长度．一、单选题1．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平行四边形中，对角线交于点．若，，（

）A．4 B． C． D．83．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．4．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，矩形纸片中，，，同学们按以下所给图步骤折叠这张矩形纸片，则线段长为（

）A．8 B．5 C． D．5．（2026·陕西·一模）如图，在矩形中，，，点E、F分别是边、上的动点（点E不与A、B重合）且，若点G在五边形内，且满足，．则以下结论正确的有（

）个．①与一定互补；②点G到边，的距离一定相等；③点G到边，的距离不可能相等；④点G到边的距离的最大值为．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题6．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，则的度数为．7．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，是上的两点，，连接，，，．为使得四边形是矩形，可以添加的一个条件是（写出一种情况即可）．8．（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）在矩形中，，，将沿矩形对角线折叠到，直线与交于点，则的面积为．

9．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在正方形中，点为对角线上的一点，，垂足分别为、，若，则的长度为．10．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，矩形的顶点在坐标原点，边、分别在、轴正半轴上，，，是中点，在轴上移动，将沿翻折至．当的长最小时，此时点的坐标为．三、解答题11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，点在上，平分．(1)求证：是等腰三角形．(2)若，，求的长．12．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，是矩形的对角线，延长至点，使，请用无刻度的直尺及圆规按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）(1)作的边上的高，并写出简单的作图说明；(2)延长交，分别于，两点，连接、，请你判断四边形的形状并说明理由；(3)若，，请你求出的长度．13．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图所示，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为E．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长．14．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，，为边上的中线，点为的中点，连接，将线段绕着点顺时针旋转到，连接，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长．15．（25-26九年级上·江西九江·期中）课本再现思考：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．定理证明（1）为了证明该定理，小聪同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程．已知：在平行四边形中，对角线，交点为O．求证：四边形是矩形．应用定理（2）如图2，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接，，．求证：四边形是矩形．（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）．16．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）矩形折叠问题：如图，把矩形（）折叠，折痕为，点在边上，点在边上，记点落在点处，点落在点处．(1)如图1，已知，．①甲同学折叠时使，点落在矩形的一边上，求的长．②乙同学折叠时使，且，求的长．(2)如图2，点在点处，作的平分线交的延长线于，过作的平行线交，分别于R，T．连结，，若，，求的值．综合训练一、选择题1.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论错误的是()A.当∠ABC=90°时,它是矩形 B.当AC⊥BD时,它是菱形C.∠ABC=∠ADC D.AC=BD一定成立2.下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.内角和为360° B.对角线互相平分C.对角线相等 D.对角线互相垂直3.在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=10cm,AB=4cm,则△COD的周长为()A.14cm B.9cm C.7cm D.5cm4.如图,AD是△ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形,增加下列条件,能判断▱ADCE是菱形的是()A.∠BAC=90° B.∠DAE=90°C.AB=AC D.AB=AE5.如图,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为()A.55° B.25°C.30° D.35°6.将一张正方形的纸片按下图所示的方式三次折叠,折叠后再按图所示沿MN裁剪,则可得()A.多个等腰直角三角形 B.一个等腰直角三角形和一个正方形C.四个相同的正方形 D.两个相同的正方形7.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,点P是AD上一动点(不与A,D重合),过点P作AC和BD的垂线,垂足分别为E,F,则PE+PF=()A.125 B.C.35 D.8.将一边长为2的正方形纸片折成四部分,再沿折痕折起来,恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥,则三棱锥四个面中最小的面积是()A.1 B.32 C.12 D二、填空题9.如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为.

10.如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB=.

11.如图,∠ACB=90°,△ABF的中位线DE经过点C,且CE=13CD,若AB=6,则BF的长为.12.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为.

三、解答题13.如图,在▱ABCD中,点E在AB的延长线上,点F在CD的延长线上,满足BE=DF.连接EF,分别与BC,AD交于点G,H.求证:EG=FH.14.如图,A,B,C三点在同一条直线上,AB=2BC.分别以AB,BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN,连接FN,EC.求证:FN=EC.15.如图,在▱ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)①当AE=cm时,四边形CEDF是矩形;

②当AE=cm时,四边形CEDF是菱形.

(直接写出答案,不需要说明理由)16.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD的垂直平分线与AD,BC分别相交于点M,N.(1)求证:四边形BNDM是菱形;(2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长.17.如图①,有一张菱形纸片ABCD,AC=8,BD=6.图①图②图③图④(1)请沿着AC剪一刀,把它分成两部分,把剪开的两部分拼成一个平行四边形,在图②中用实线画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开,请在图③中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边形的周长.(2)沿着一条直线剪开,拼成与上述两种都不全等的平行四边形,请在图④中用实线画出拼成的平行四边形.(注:上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)综合训练一、选择题1.D2.C3.B4.A5.B∵∠BAD=60°,∠F=110°,∴由平行四边形的性质可得,∠BCD=∠BAD=60°,∠DCF=180°-∠F=70°.∵AD∥BC,DE∥CF,∴∠ADE=∠BCF=∠BCD+∠DCF=60°+70°=130°.∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且有公共边CD,∴AD=DE.∴∠DAE=12(180°-∠ADE)=12×50°=6.C7.A如图所,连接OP,过点A作AG⊥BD于G.∵AB=3,AD=4,∴由勾股定理可得BD=32+4∵S△ABD=12AB·AD=12BD·∴12×3×4=12×5×AG,解得AG=在矩形ABCD中,OA=OD.∵S△AOD=12OA·PE+12OD·PF=12OD∴PE+PF=AG=1258.C如图,点E,F为边的中点,沿图中虚线折叠,恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥,此时三棱锥四个面中最小的面是△AEF,其面积=12