专题08 平行四边形的性质和判定的八类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（原卷版）

专题08平行四边形的性质和判定的八类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段类型二、利用平行四边形的性质求面积类型三、利用平行四边形的性质求动点问题类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题）类型五、利用平行四边形的性质证明类型六、利用平行四边形的判定和性质求解类型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图类型八、利用平行四边形的判定和性质证明压轴专练类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段方法总结1.性质对应：明确问题所求（角或线段），选择平行四边形对应性质（如对角相等、对边相等、对角线互相平分）。2.构建方程：根据选定的性质，将已知量和未知量建立等量关系，列出方程求解。解题技巧1.标注已知：在图形上清晰标注已知条件，便于直观发现关系。2.性质联用：求角度常联用“对角相等”与“邻角互补”；求线段常联用“对边相等”与“对角线互相平分”。例1．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，若，，，则．【变式1-1】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小驰用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为．【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线相交于点，过点的直线分别交，于点，，．的长度是．【变式1-3】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，点在边上，且于点，平分．若，，则的长为．类型二、利用平行四边形的性质求面积方法总结1.公式应用：平行四边形面积=底×对应高，需确保底和高互相垂直对应。2.割补转化：将平行四边形通过割补法转化为矩形或三角形，利用其面积公式间接求解。解题技巧1.确定对应：明确所选底边，并找到（或计算）该底边上的高。2.等积变换：利用“同底等高”或“等底等高”模型，将未知面积转化为已知图形的面积。例2．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）如图，四边形是平行四边形，若平行四边形的面积是，则阴影部分的面积．【变式2-1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，点E是内任意一点．若的面积是6，则涂色部分的面积是．

【变式2-2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，点E、F是平行四边形的边上两点，点G是边上一点，若平行四边形的面积是，则与以及的面积之和为．【变式2-3】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，的面积是32，点E，G在上，点F，H在上，且，，点M，N在上，点P在上，则阴影部分的面积是．类型三、利用平行四边形的性质求动点问题方法总结1.分类讨论：根据动点位置（在线段上、延长线上等），画出所有可能情形的平行四边形示意图。2.性质建等量：利用平行四边形对边平行且相等，建立关于动点坐标或线段长的方程。解题技巧1.参照系选择：以图形中已知定点为参照，用含t的式子表示动点坐标或线段长。2.排除增解：解方程后需检验结果是否满足动点运动范围（如在线段上），舍去不合题意的解。例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，等边三角形的边长为，动点从点出发，沿的路径以的速度运动；动点从点出发，沿的路径以的速度运动．若动点同时出发，且其中一点到达终点时，另一点立即停止运动．设运动时间为，则当的值为时，点，，以及的边上一点恰好能构成一个平行四边形．【变式3-1】（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为．【变式3-2】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为．【变式3-3】（2024·江西南昌·模拟预测）在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是．类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题）方法总结1.逐项分析：对每个结论单独分析，判断其是否由已知条件结合平行四边形性质必然推出。2.反例排查：对于“不一定成立”的结论，尝试构造特殊平行四边形（如矩形、菱形）进行检验。解题技巧1.性质链推理：系统梳理“边、角、对角线”三条线索的性质及其推论，形成推理链条。2.图形直观法：准确画出一般平行四边形（非特殊）示意图，结合测量估算快速排除明显错误结论。例4．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．成立的个数有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式4-1】（25-26八年级上·山东日照·期末）两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式4-2】（2025·河北唐山·二模）如图，在正六边形中，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的条件的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤，其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5类型五、利用平行四边形的性质证明方法总结1.性质选择：根据待证结论（边相等、角相等、线平行等），选用平行四边形对应的边、角、对角线性质。2.逻辑递推：从已知条件出发，结合所选性质，逐步推导出目标结论，形成完整证明链。解题技巧1.标注关键：在图上明确标出已知的等边、等角或平行关系，为推理提供直观线索。2.灵活转化：若直接性质不足，可先证三角形全等或利用“对边平行”得出角相等，为后续证明铺路。例5．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且．(1)求证：；(2)求证：．【变式5-1】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点．(1)求证：；(2)若，，，求的长度．【变式5-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，连接，使恰好经过点．(1)求证：．(2)若，，，求的长．(3)记四边形的面积为，的面积为，用等式表示和的关系为．【变式5-3】（2026八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：．（2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：．类型六、利用平行四边形的判定和性质求解方法总结1.先判后用：先依据已知条件（如一组对边平行且相等）判定四边形是平行四边形。2.再用性质：在判定为平行四边形的基础上，应用其性质（对边相等、对角相等）进行求解。解题技巧1.判定优选：优先选择条件最直接、步骤最少的判定定理（如“两组对边分别相等”）。2.性质联用：求解时综合运用多条性质（如对边平行与对角线互相平分结合）建立方程。例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上一点，，连接，，分别是，的中点，连接，，．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若，，，求的长．【变式6-1】（2025·贵州遵义·一模）如图，平行四边形的对角线交于O，，连接．(1)求证四边形是平行四边形；(2)若点E是的中点，的面积为2，求四边形的面积．【变式6-2】（24-25八年级下·安徽·期末）如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接．(1)求证：四边形为平行四边形；(2)连接交于点，若，，，求的长．【变式6-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F．(1)当点D在边BC上时，如图①，求证：．(2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．(3)若，，求DF的长．类型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图方法总结1.依性质作图：利用平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，作平行线或截取等长线段。2.依判定构图：以满足平行四边形判定条件（如两组对边分别平行、一组对边平行且相等）为目标设计步骤。解题技巧1.先定一组对边：通常先作出一条边，再作其平行且相等的对边。2.对角线中点法：利用对角线互相平分，先定对角线中点，再确定顶点。例7．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，点为的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）：(1)在图1中，，作出中边上的高；(2)在图2中，过点作的平行线．【变式7-1】（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图，在平行四边形中，点E是边上一点．请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．(1)在图（1）中，，作一个三角形，使其面积为的两倍；(2)在图（2）中，E为的中点，在作一点F，使线段．【变式7-2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，点E是边的中点，是对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）(1)如图1，在边上找一点O，使平分的面积；(2)如图2，分别在边上找点P，M，N，作【变式7-3】（2025·浙江衢州·三模）数学课上，老师提出一个问题：在平行四边形的边上取一点P，使得是以为底边的为等腰三角形．小明同学按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N；②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E：③以点E为圆心，以长为半径作弧，在内部交前弧于点F；④连接并延长，交于点P．(1)通过作图可以得到的依据是______；(2)小聪同学表示他可以借助无刻度直尺和圆规用另外一种方法作出点P，请在图2中完成作图，要求保留作图痕迹；(3)如图3，小聪同学继续用无刻度直尺和圆规作了射线，发现恰好经过点P，此时小聪同学发现，，都是等腰三角形，求的度数．类型八、利用平行四边形的判定和性质证明方法总结1.判定为先：根据已知条件，选择恰当的判定定理证明四边形是平行四边形。2.性质导出：利用平行四边形的性质，推导出所需结论（如边相等、角相等、线段平行）。解题技巧1.判定优选：优先考虑“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”等简捷判定方法。2.数形互化：将图形中的等量、平行关系转化为代数方程，或利用全等三角形辅助判定与证明。例8．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别是，的中点．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)求证：；(3)试猜想与的数量关系并给予证明．【变式8-1】（25-26八年级下·全国·周测）【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．（1）如图①，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，．【知识应用】（2）如图②，在中，为的中点．延长到点，使得，延长到点，使得，连接，，．若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明．【变式8-2】（24-25八年级下·全国·期末）平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2①当，时，求的长．②探究与的数量关系，直接写出答案．【变式8-3】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点在平行四边形内，连接，，，是等腰直角三角形，，其中．(1)如图，求的度数；(2)如图，在上取点使得，求证：；(3)如图，在问的条件下，若、、在同一直线上，当时，求平行四边形的面积．一、单选题1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平行四边形中，若∠A与∠B的度数之比为，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（25-26七年级上·湖南·期末）如图，平行四边形中，平分交边于点，则线段的长度分别为（）A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和43．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（

）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，点P、Q是平行四边形的边上一点，且，相交于R，连接，且恰好平分，若，则点C到的距离为（

）A． B．2 C． D．二、填空题6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是（写出一种情况即可）．7．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一张平行四边形纸片折叠成如图所示的图形，为折痕，点的对应点为．若，，则的度数为．8．（25-26八年级下·全国·周测）如图，，，，．若，，则的长为．9．（25-26八年级下·全国·课后作业）图①是四连杆平开窗铰链，图②是其示意图．已知，，，．当时，窗户为完全开启状态，此时点A到点E的距离为cm．10．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角得到，连接．当为等腰三角形时，的值为．三、解答题11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，的两条对角线、相交于点，点、分别是、上的中点．连接、．求证：．12．（2025·四川雅安·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，．(1)求证：；(2)若，，当时，求的面积．13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF．(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．(2)若，的面积为8，求的面积．14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点E在内部，连接AE，BE，CE，DE，分别过点A，D作，．(1)求证：．(2)设的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，，垂足分别为，，，．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若，，，则____________．16．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线，相交于点，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为．(1)求的长（用含的代数式表示）．(2)当四边形是平行四边形时，求的值．(3)当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值．17．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且．(1)求证：．四边形为平行四边形．(2)过点作，交于点，交于点，连结若，，求的度数．18．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）．(1)_________．(2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值．(3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．(4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值．综合训练一、选择题1.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论错误的是()A.当∠ABC=90°时,它是矩形 B.当AC⊥BD时,它是菱形C.∠ABC=∠ADC D.AC=BD一定成立2.下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.内角和为360° B.对角线互相平分C.对角线相等 D.对角线互相垂直3.在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=10cm,AB=4cm,则△COD的周长为()A.14cm B.9cm C.7cm D.5cm4.如图,AD是△ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形,增加下列条件,能判断▱ADCE是菱形的是()A.∠BAC=90° B.∠DAE=90°C.AB=AC D.AB=AE5.如图,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为()A.55° B.25°C.30° D.35°6.将一张正方形的纸片按下图所示的方式三次折叠,折叠后再按图所示沿MN裁剪,则可得()A.多个等腰直角三角形 B.一个等腰直角三角形和一个正方形C.四个相同的正方形 D.两个相同的正方形7.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,点P是AD上一动点(不与A,D重合),过点P作AC和BD的垂线,垂足分别为E,F,则PE+PF=()A.125 B.C.35 D.8.将一边长为2的正方形纸片折成四部分,再沿折痕折起来,恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥,则三棱锥四个面中最小的面积是()A.1 B.32 C.12 D二、填空题9.如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为.

10.如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB=.

11.如图,∠ACB=90°,△ABF的中位线DE经过点C,且CE=13CD,若AB=6,则BF的长为.12.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为.

三、解答题13.如图,在▱ABCD中,点E在AB的延长线上,点F在CD的延长线上,满足BE=DF.连接EF,分别与BC,AD交于点G,H.求证:EG=FH.14.如图,A,B,C三点在同一条直线上,AB=2BC.分别以AB,BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN,连接FN,EC.求证:FN=EC.15.如图,在▱ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)①当AE=cm时,四边形CEDF是矩形;

②当AE=cm时,四边形CEDF是菱形.

(直接写出答案,不需要说明理由)16.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD的垂直平分线与AD,BC分别相交于点M,N.(1)求证:四边形BNDM是菱形;(2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长.17.如图①,有一张菱形纸片ABCD,AC=8,BD=6.图①图②图③图④(1)请沿着AC剪一刀,把它分成两部分,把剪开的两部分拼成一个平行四边形,在图②中用实线画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开,请在图③中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边形的周长.(2)沿着一条直线剪开,拼成与上述两种都不全等的平行四边形,请在图④中用实线画出拼成的平行四边形.(注:上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)综合训练一、选择题1.D2.C3.B4.A5.B∵∠BAD=60°,∠F=110°,∴由平行四边形的性质可得,∠BCD=∠BAD=60°,∠DCF=180°-∠F=70°.∵AD∥BC,DE∥CF,∴∠ADE=∠BCF=∠BCD+∠DCF=60°+70°=130°.∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且有公共边CD,∴AD=DE.∴∠DAE=12(180°-∠ADE)=12×50°=6.C7.A如图所,连接OP,过点A作AG⊥BD于G.∵AB=3,AD=4,∴由勾股定理可得BD=32+4∵S△ABD=12AB·AD=12BD·∴12×3×4=12×5×AG,解得AG=在矩形ABCD中,OA=OD.∵S△AOD=12OA·PE+12OD·PF=12OD∴PE+PF=AG=1258.C如图,点E,F为边的中点,沿图中虚线折叠,恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥