专题12 平行四边形、矩形、菱形、正方形中折叠四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（原卷版）

专题12平行四边形、矩形、菱形、正方形中折叠四类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、平行四边形中的折叠问题类型二、矩形中的折叠问题类型三、菱形中的折叠问题类型四、正方形中的折叠问题压轴专练类型一、平行四边形中的折叠问题方法总结1.折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.平行四边形性质：利用对边平行且相等、对角相等的性质，结合折叠产生的等量关系求解。解题技巧1.标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由平行四边形本身决定的等量关系。2.设元列方程：常在折叠后形成的直角三角形或全等三角形中，设未知线段为x，利用勾股定理或全等列方程求解。例1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠折叠，使得点A与点C重合，得到四边形，点D的对应点为点G，则的长度为（

）A． B． C．2 D．【变式1-1】（24-25八年级下·浙江宁波·月考）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则_________．【变式1-2】（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在中，，将进行折叠，折叠后恰好经过点，得到，，，，则线段的长度为______．

【变式1-3】（24-25八年级下·浙江杭州·月考）综合与探究【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形．【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：．【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长．【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长．类型二、矩形中的折叠问题方法总结1.折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.矩形性质：结合矩形四个角为直角、对边相等的性质，寻找折叠产生的直角三角形或全等形。解题技巧1.标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由矩形本身决定的等量关系。2.设元勾股：常在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段长为x，利用勾股定理列方程求解。例2．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，将矩形沿折叠得到，折叠后与交于点E，已知，则的大小为______．【变式2-1】（2025·陕西榆林·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在、轴上，点的坐标为，点在边上．将沿直线折叠，折叠后顶点恰好落在边上的点处，则点的坐标为___________．【变式2-2】（2024·广西玉林·一模）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，恰好落在边上．则该矩形纸片的长宽比的值为________．【变式2-3】（24-25八年级上·广东深圳·期末）在研究一类图形的折叠问题时，乐思数学小组发现，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理来解决．(1)如图1，在矩形中，，点E是边上一点，将沿折叠，使点D落在边上的处，求的长；乐思数学小组的解题思路如下：（请补充填写题中空缺部分）解：由折叠可知：，∴．∵，∴，∴．在中，设，则．由勾股定理可得：，即（），解得．(2)如图2，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿折叠，点D落在点处，当为直角三角形时，求的长；(3)如图3，在矩形中，，点E是直线上一动点，将沿折叠，当点D的对应点恰好落到边的中垂线上时，请直接写出的长．类型三、菱形中的折叠问题方法总结1.折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.菱形性质：利用菱形四边相等、对角线垂直平分且平分对角的性质，寻找折叠产生的全等三角形或直角三角形。解题技巧1.标等量：在图上清晰标注折叠产生的等边、等角，以及由菱形本身决定的等量关系（如四边相等）。2.设元勾股：常在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x，利用勾股定理列方程求解。例3．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，，分别为，上的点，将菱形沿折叠使点落在点处，则的长为______．【变式3-1】（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，在菱形中，对角线、交于点O，，菱形的面积为，点E是边上一点，将菱形沿折叠，使B、C的对应点分别是、，若，则点到的距离为________．【变式3-2】（25-26九年级上·安徽宣城·开学考试）如图，在菱形中，，是的中点，连接（1）的长为___________；（2）若分别是上的点，将沿着折叠，使得点恰好落在点处，则的长为___________．类型四、正方形中的折叠问题方法总结1.折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.正方形性质：利用正方形四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等的性质，寻找折叠产生的全等三角形或直角三角形。解题技巧1.标等量：在图上清晰标注折叠产生的等边、等角，以及由正方形本身决定的等量关系（如边长相等）。2.设元勾股：常在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x，利用勾股定理列方程求解。例4．（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）如图，将正方形折叠，使顶点A与边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G．设正方形的周长为m，的周长为n，则的值为（

）A． B．2C． D．随H点位置的变化而变化【变式4-1】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（）A． B． C． D．【变式4-2】（2024九年级下·广东·专题练习）综合与实践主题：特殊平行四边形的折叠．素材：一张正方形纸片．步骤1：将如图1所示的正方形纸片沿折叠（折痕经过顶点）得到图2；步骤2：将点折叠到点，得到图3，展开得到，两条折痕，如图4所示．猜想与证明：(1)请直接写出，的数量与位置关系；(2)证明（1）中你发现的结论．一、单选题1．如图，把矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处．设重叠部分为，那么下列说法错误的是（

）A．是等腰三角形， B．折叠后和一定相等C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D．和一定是全等三角形2．将一张平行四边形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，C在同一直线上，连接，．已知，，，则的度数为（

）A． B． C． D．3．将边长为a的菱形分别沿着和折叠（E，F，G，H分别在边，上），使点A和点C在折叠后均落在边上的点M处．若于点F，则的周长为（

）A． B． C． D．4．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于G，连接．下列结论①，②，③五边形的周长是44，④的面积是60．正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题5．如图，在中，，，．若将沿折叠，点A与边的点D恰好重合，点H，G分别在，上．将沿折叠，点B与点D恰好重合．将沿折叠，点C与点D恰好重合，则的长为______．6．将长方形形纸片（如图①，）沿过点所在的直线折叠，使得点落在边上处，折痕为（如图②）再沿过点的直线折叠，使得点落在边上的处，点落在边上的处，折痕为（如图③，如果第二次折叠后，点正好在的平分线上，，__________.7．如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠与重合，折痕为且交于点F．

（1）_____________；（2）若点E是的中点，则的长为_____________．8．如图（1），四边形是正方形，点E是边AD上的点，将沿着直线CE折叠，使得点D落在AC上，对应点为点F．（1）_____________；（2）如图（2），点G是BC上的点，将沿着直线AG折叠，使得点B落在AC上，对应点为H，连接，则_____________．三、解答题9．综合与实践折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．(1)【感知】如图①，若点恰好落在边上，求证：四边形是平行四边形；(2)【探究】如图②，若点，，在同一条直线上，求证：；(3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点．若平行四边形纸片的面积为20，，求线段的长．10．综合探究综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动．问题初探：（1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由；迁移探究（2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由；拓展探索（3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由11．【操作思考】如图1，将正方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形的内部，点A的对应点为点G，折痕为，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使与重合，折痕为．（1）求的度数．【探究应用】将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结，作的中垂线分别交，于点P，H，连结，．（2）求证：．（3）求证：平分．12．实践操作(1)在矩形纸片中，，．①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则________，②如图1，若点恰好在边上，连接，求的长度；③将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，如图．设与相交于点，求的长；(2)若，，将矩形纸片折叠，使点与重合，如图，求折痕的长．综合训练一、选择题1.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论错误的是()A.当∠ABC=90°时,它是矩形 B.当AC⊥BD时,它是菱形C.∠ABC=∠ADC D.AC=BD一定成立2.下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.内角和为360° B.对角线互相平分C.对角线相等 D.对角线互相垂直3.在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=10cm,AB=4cm,则△COD的周长为()A.14cm B.9cm C.7cm D.5cm4.如图,AD是△ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形,增加下列条件,能判断▱ADCE是菱形的是()A.∠BAC=90° B.∠DAE=90°C.AB=AC D.AB=AE5.如图,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为()A.55° B.25°C.30° D.35°6.将一张正方形的纸片按下图所示的方式三次折叠,折叠后再按图所示沿MN裁剪,则可得()A.多个等腰直角三角形 B.一个等腰直角三角形和一个正方形C.四个相同的正方形 D.两个相同的正方形7.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,点P是AD上一动点(不与A,D重合),过点P作AC和BD的垂线,垂足分别为E,F,则PE+PF=()A.125 B.C.35 D.8.将一边长为2的正方形纸片折成四部分,再沿折痕折起来,恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥,则三棱锥四个面中最小的面积是()A.1 B.32 C.12 D二、填空题9.如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为.

10.如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB=.

11.如图,∠ACB=90°,△ABF的中位线DE经过点C,且CE=13CD,若AB=6,则BF的长为.12.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为.

三、解答题13.如图,在▱ABCD中,点E在AB的延长线上,点F在CD的延长线上,满足BE=DF.连接EF,分别与BC,AD交于点G,H.求证:EG=FH.14.如图,A,B,C三点在同一条直线上,AB=2BC.分别以AB,BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN,连接FN,EC.求证:FN=EC.15.如图,在▱ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)①当AE=cm时,四边形CEDF是矩形;

②当AE=cm时,四边形CEDF是菱形.

(直接写出答案,不需要说明理由)16.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD的垂直平分线与AD,BC分别相交于点M,N.(1)求证:四边形BNDM是菱形;(2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长.17.如图①,有一张菱形纸片ABCD,AC=8,BD=6.图①图②图③图④(1)请沿着AC剪一刀,把它分成两部分,把剪开的两部分拼成一个平行四边形,在图②中用实线画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开,请在图③中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边形的周长.(2)沿着一条直线剪开,拼成与上述两种都不全等的平行四边形,请在图④中用实线画出拼成的平行四边形.(注:上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)综合训练一、选择题1.D2.C3.B4.A5.B∵∠BAD=60°,∠F=110°,∴由平行四边形的性质可得,∠BCD=∠BAD=60°,∠DCF=180°-∠F=70°.∵AD∥BC,DE∥CF,∴∠ADE=∠BCF=∠BCD+∠DCF=60°+70°=130°.∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且有公共边CD,∴AD=DE.∴∠DAE=12(180°-∠ADE)=12×50°=6.C7.A如图所,连接OP,过点A作AG⊥BD于G.∵AB=3,AD=4,∴由勾股定理可得BD=32+4∵S△ABD=12AB·AD=12BD·∴12×3×4=12×5×AG,解得AG=在矩形ABCD中,OA=OD.∵S△AOD=12OA·PE+12OD·PF=12OD∴PE+PF=AG=1258.C如图,点E,F为边的中点,沿图中虚线折叠,恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥,此时三棱锥四个面中最小的面是△AEF,其面积=12AE·AF=12×1×1=二、填空题9.(4,4)连接BD,AC交于点E(图略).根据点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2)可知BD∥x轴.∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,AE=CE=OD=2,DE=BE=OA=4,∴AC=4.故点C的坐标为(4,4).10.22.5°11.8CD=12AB=3,CE=13CD=1,DE=CD+CE=4,∴BF=2DE=12.317在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,∠BAD=90°,∴BD=AB2+∵BP=