专题6.3 反比例函数的应用-北师大版九年级《数学》上册培优讲义

专题6.3反比例函数的应用内容概览内容概览知识点01涉及自变量取值范围知识点02求一次函数与反比例函数的交点坐标知识点03利用反比例函数解决实际问题知识点04反比例函数在其他学科中的应用题型01一次函数与反比例函数图象综合判断题型02一次函数与反比例函数的交点问题题型04反比例函数的实际应用题型05一次函数与反比例函数的实际应用反比例函数的应用教学目标、教学重难点教学目标、教学重难点1.学会利用反比例函数解决简单几何问题.2.利用反比例函数构建数学模型解决实际问题.教学重难点1.重点：学会利用反比例函数解决简单几何问题.2.难点：利用反比例函数构建数学模型解决实际问题.知识清单知识清单当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标.针对y1>y2时自【即学即练】1.如图，一次函数y=mx+n与反比例函数的图象交于A,B两点，已知点A横坐标为1,点A纵坐标为点B纵坐标的2倍.【答案】2-2<x<-1或x>0【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，涉及到一次函数与反比例函数的性质，一次函数及反比例函数图象上点的坐标特征等知识，数形结合是解题的关键.(1)设A(1,2t),由点A纵坐标为点B纵坐标的2倍，可得点B纵坐标为t,再由一次函数y=mx+n与反比例函数的图象交于A,B两点，可得点B横坐标为(2)由可得,一次函数y=mx-n与y=mx+n关于原点对称，可得一次函数y=mx+n与反比例函数的图象交于C,D两点，且与B,A两点关于原点对称，再求解即可.【详解】解：(1)设A(1,2t),∵点A纵坐标为点B纵坐标的2倍，∵一次函数y=mx+n与反比例函数的图象交于A,B两点，(2)由BXCD0k₂x=kx+b的解是x=-1,关于x的不等式k₂于x的不等式的解集是-2<x<0或如图③,一次函数y=kx+b与反比例函数的图像相交于A、B两点，它们的横坐标分别为1和5,①②③【详解】(1)解：∵直线y=kx+b与双曲线交于A(-2,m)故答案为：x=-2或1;【即学即练】B(2,n)两点.对于(3),先设点P的坐标，再表示出PC,然后根据SBcp+SAcp=6可得答案.【详解】(1)解：将点A(-1,-2)代入BCO=1.3PAB的面积是6,解得PC=4,B(2)根据AMC的面积为6,求得CM=2,根据C的坐标即可求得M的坐标；(3)观察函数图象即可求解.【详解】(1)解：(1)把A(1,6)代入把B(3,n)代入得：n=2,(2)∵一次函数y=-2x+8与x轴交于点C,难度适中.在y轴上，点D为(0,2),即可求出答案.【详解】(1)解：把A(2,b)代入,得把A(2,3)代入,得k=2×3=6,(2)解：由(1)知，反比例函数的解析式是(3)解：设与Y轴交于点D,题.【即学即练】(2)将x=0.25代入解析式计算即可.(2)解：将,得y=400,400-200=200(度),【即学即练】?,解得：k=144,(2)解：中，144>0,R>0,判断.大致图象是()【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质：解题的关键是分两种两种情况确定正确的选项即可.当k<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象可能是()【分析】此题考查反比例函数及一次函数图象的判断，根据a,b的符号判断两个函数图象经过的象限，再根据一次函数与反比例函数的图象与性质解答即可.B.由一次函数的图象可知：a>0,b>0;由反比例函数的图象可知：ab>0,故正确；C.由一次函数的图象可知：a<0,b>0;由D.由一次函数的图象可知：a<0,b<0;由反比例故选B.【变式3】(24-25九年级上·内蒙古包头阶段练习)函数)与y=ax-a标系中的大致图象是()A.线交于点A(-2,3),B(3,-1).则满足不等式的x的取值范围是()点的横坐标为4,则k的值为()A.-6B.-2Cy=-x+4向上平移1个单位后与双曲线相交于A,BA.(1,4)B.(1,5)C.(2,3)D.(2,4)直线y=-x+4向上平移1个单位后解析式为y=-x+5,B两点，过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,连接AO、BO,下列说法正确的有()增大.【分析】本题考查一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，求出两函数解析式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断①;根据图象的特点即可判断②;根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出两个三角形的面积，即可判断③;根据图形的特点即可判断④.②由图象可知，当-2<x<0或x>1时，y₁>y₂,故②错误；【典例1】如图，直线y=2x+6与反比例函数的图像交于点A(m,求BMN的面积.得AB=4BN,根据AP=8,得NQ=2,可得MN=6,即得S△BMN=6.(2)解：过点A作AP⊥x轴于点P,过点N作NQ⊥x轴于点Q,?7??【变式1】如图，直线3与Y轴交于A,与双曲线交于B(m,4).将直线AB平移，与x轴交于C,与双曲线交于D.(1)将Bm.4)代入求得m,即可求解；(2)作BE⊥y轴于E,DF⊥x轴于F.证明△ABE≌△DCF(AAS).得AE=DF.由A(0,3),E(0,4),得(2)解：作BE⊥y轴于E,DF⊥x轴于F.由,得x=8.出n的值.【详解】(1)解：点B(m,2)在反比例函数的图象上，(2)记平移后的直线与Y轴的交点为D,则AD=n,个DBx0xA②直接写出不等式的解集.(2)解：①由(1)知，反比例函数的解析式为令x=0,得y=5,∵把y=2000和5000别代入【点睛】2y关于x的函数表达式为(3)解：把y=100代入解得：x=6,AA(2)当I=3I时，,即可得出结论.?【变式3】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔在井上汲水的情境，受桔槔的和重物B的质量xN之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：8542(1)在图1中描出表中数据对应的点(x,y);为xN和L₂的长度为ycm的函数关系，并求出这个函数的解析式(不要求写出x的取值范围);(3)在(2)的条件下，若点A的坐标为(20,0),点B的坐标为(0,2),在(2)中所求函数的图象上存在点C,使得S△ABC=40,请求出所有满足条件的点C的坐标.②(3)设,连接BC,AC,OC,得到求出a₁=20,a₂=40,即可得到答案.,∴C(20,4),∴C(40,2),【详解】(1)解：根据图象知，当10分钟时，效力为3,(2)解：当10≤x≤30时，故故(3)解：根据解析式为药量y(mg)与燃烧时间x(分钟)成正比例；燃烧后，y与x成反比例(如图所示).现测得药物10分钟间x之间的函数关系如图2所示.图2②∴水温从20℃加热到100℃,所需时间为(3)根据各时间段的函数解析式算出y=12时x的值，用24小时减去这些时间即可.键.【详解】(1)解：设直线AB的函数解析式为：y=kx+(2)由(1)可知：一次函数解析式为y=2x+10(0≤x≤5),交点，其中一个交点的坐标为(-2,-1),则另一个交点的坐标为()A.(1,2)B.(2,-1)C.(-1,2)D.(2,1)与受力面积S(m²)的关系.经测定，当S=0.5m²时，P=20Pa,则P与S之间的函数图象可能是()A.A.进而判断出函数图象.【详解】解：根据压强公式可知当S=0.5m²,大致图象是()【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，分类讨论是关键.根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论.【详解】解：∵ab<0,①若a>0,b<0,则直②若a<0,b>0,则示p>(0).下列说法正确的是()下列结论中错误的是()其中正确的是()A.①④B.②③C.①③④D.②③④②当y₁=y₂=-1时，则-1=2x+3,解得x=-2;-1=-x+1,解得x=2;,整理得求得R的值即可.点A作AE垂直于x轴于点E,AE=4,则k₁k₂的值是_·∴k可以取4,【答案】【答案】P₁<P₂<P₃个台阶凸出的角的顶点记作Tm(m为1~4的整数).函数的图象为曲线L.(3)若曲线L使得T₁=T₄这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，请直接写出k的取值范围(1)根据每个台阶的高和宽分别是1和2,即可求解；(2)根据每个台阶的高和宽分别是1和2,即可求得T、T₃的坐标，据此即可解答；(3)分别求得过点T₁和T₄时，过点T₂和T₃时的k值，即可求解.【详解】解：(1)∵每个台阶的高和宽分别是1和2,(2)∵每个台阶的高和宽分别是1和2,(3)当函数过点T(8,1)关键.(1)把A(-1,a)代入y=-2x+2求出a,再把A(-1,4)代入求出m的值；【详解】(1)把A(-1,a)代入y=-2x+2,把A(-1,4)代入得(2)当y=0时，有0=-2x+2,解得：x=1,例函数例函数的图象交于A,B两点，且与x轴交于点C,与y轴交于点D,A点的横坐标与B点的纵坐标都是3.(2)x<-4或0<x<3.【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求一次函数解析式，根据图象确定取值范围等知识，掌握相关知识是解题的关键.(1)先求出A,B两点的坐标，再利用待定系数法求解即可；(2)根据图象找出一次函数大于反比例函数的解集即可.【详解】(1)解：将A点的横坐标3代入反比例函数,得：y=-4,将B点的纵坐标3代入反比例函数,得：x=-4,将A(3,-4),B(-4,3)代入y=kx+b中，得：(3)-6≤x<0或x≥2答案.把点A和点B的坐标代入y=-ax+b得(2)