计算机控制的数学描述

计算机控制的数学描述1脉冲传递函数的定义

定义：在初始条件为零时，离散系统脉冲传递函数又称为z传递函数输出量z变换输入量z变换输出的采样信号：脉冲传递函数1脉冲传递函数

*输出虚设采样开关2脉冲传递函数特性

离散系统脉冲传递函数的求取离散系统的脉冲传递函数可以看作是系统输入为单位脉冲时，其脉冲响应的z变换。若已知采样系统的连续传递函数G(s)，当其输出端加入虚拟开关变为离散系统时，其脉冲传递函数可按下述步骤求取：

（1）对G(s)做拉氏反变换，求得脉冲响应（2）对采样，求得离散系统脉冲的响应为（3）对离散脉冲响应做z变换，即得系统的脉冲传递函数为几种脉冲传递函数的表示法均可应用脉冲传递函数完全表征了系统或环节的输入与输出之间的特性，并且也只由系统或环节本身的结构参数决定，与输入信号无关。2.脉冲传递函数的极点与零点极点当G(z)是G(s)由通过z变换得到时，它的极点是G(s)的极点按z=e-sT的关系一一映射得到。由此可知，G(z)的极点位置不仅与G(s)的极点有关，还与采样周期T密切相关。当采样周期T足够小时，G(s)的极点都将将密集地映射在z=1附近。零点G(z)的零点是采样周期T的复杂函数。采样过程会增加额外的零点。若连续系统G(s)没有不稳定的零点，且极点数与零点数之差大于2，当采样周期较小时，G(z)总会出现不稳定的零点，变成非最小相位系统。

有不稳定零点的连续系统G(s)，只要采样周期取得合适，离散后也可得到没有不稳定零点的G(z)。3差分方程与脉冲传递函数1.由差分方程求脉冲传递函数已知差分方程，设初始条件为零。两端进行z变换脉冲传递函数系统的特征多项式系统输出2.由脉冲传递函数求差分方程z反变换z反变换1环节连接的等效变换1.采样系统中连续部分的结构形式并不是所有结构都能写出环节的脉冲传递函数2离散系统的方块图分析

2.串联环节的脉冲传递函数3.并联环节的脉冲传递函数根据叠加定理有：2闭环反馈系统脉冲传递函数采样控制系统典型结构E(z)=R(z)-B(z)B(z)=G2G3H(z)U(z)E(z)=R(z)-G2G3H(z)U(z)U(z)=G1(z)E(z)E(z)=R(z)/[1+G1(z)G2G3H(z)]

一般系统输出z变换可按以下公式直接给出：C(z)=G2G3(z)U(z)

C(z)=G2G3(z)G1(z)E(z)3CCS闭环脉冲传递函数1.数字部分的脉冲传递函数控制算法，通常有以下两种形式：差分方程脉冲传递函数D(z)连续传递函数脉冲传递函数D(z)(z变换法)(第5章的离散法)2.连续部分的脉冲传递函数计算机输出的控制指令u*(t)是经过零阶保持器加到系统的被控对象上的，因此系统的连续部分由零阶保持器和被控对象组成。

被控对象传递函数图3-11连续部分的系统结构4干扰作用时闭环系统的输出根据线性系统叠加定理，可分别计算指令信号和干扰信号作用下的输出响应。有干扰时的计算机控制系统R(s)单独作用时的系统输出[N(s)=0]干扰单独作用时的系统输出[R(s)=0]共同作用时的系统输出●●●●3.1.1差分的定义连续函数，采样后为简写一阶向前差分：二阶向前差分：n阶向前差分：一阶向后差分：二阶向后差分：n阶向后差分：3.1离散系统的时域描述——差分方程3.1.2差分方程差分方程是时间序列的方程

连续系统微分用差分代替一般离散系统的差分方程：差分方程还可用向后差分表示为：代替代替（线性常系数差分方程）3.1.3差分方程（迭代）求解差分方程的解也分为通解与特解。通解是与方程初始状态有关的解。特解与外部输入有关，它描述系统在外部输入作用下的强迫运动。例3-1已知差分方程，试求解：采用递推迭代法，有：说明：另一个求解方法是利用z变换求解。（通式困难；计算机有限项）3.2.1Z变换定义1.z变换采样信号采样信号的z变换注意：z变换中，z-1代表信号滞后一个采样周期，可称为单位延迟因子。3.2Z变换特殊的拉氏变换（超越函数；幂级数）采样脉冲序列进行z变换的写法在实际应用中，对控制工程中多数信号，z变换所表示的无穷级数是收敛的，并可写成闭和形式。z的有理分式：z-1的有理分式:零、极点形式：表达式形式（实际中，有理分式）1）级数求和法步骤：i)代入采样信号的定义式；

ii)求出相应的F（z）的级数展开式；

iii)找出收敛条件，写出闭公式。2）部分分式展开法（常用。查表）步骤：i)将F（s）展开成简单分式；（f(t)时）

ii)利用F（s）与F（z）的对应关系查表。3）留数法（不记）步骤：直接利用公式：2求Z变换的方法——（对f(t)或F(s)）1）级数求和法步骤：i)代入采样信号的定义式；

ii)求出相应的F（z）的级数展开式；

iii)找出收敛条件，写出闭公式。当等比级数的公比例例求F(z)表中查不到，部分分式分解：求系数方法：解方程组。得到查表，得到：说明：极点按对应；T。零点无对应；个数一般多于F(s)。2）部分分式展开法（常用）步骤：i)将F（s）展开成简单分式；ii)利用F（s）与F（z）的对应关系查表。2）右位移（延迟）定理3）左位移（超前）定理4）位移定理3

Z变换的基本定理1）线性定理5）初值定理6）终值定理*条件：系统稳定

假定函数全部极点均在z平面的单位圆内或最多有一个极点

在z=1处，则

①建立在理想采样基础上（）；②只反映采样时刻的信息；③系统为零初始输出。*G（s）中分母比分子高两个阶次时，可保证输出有零初值。Z变换应注意问题◆Z反变换只反映了采样时刻的信息。1）求法①幂级数展开法（长除法）②留数法③部分分式展开法（查表法）◆对F(z)/z进行求解（分子中通常含z）。◆查表。f(t)——f(kT)——f(k)i）无重根：ii）有重根：4

Z反变换（F(z)——f(t)）（）3.2.4差分方程z变换解法例3-11用z变换法求差分方程

利用z变换求解线性常系数差分方程，将差分方程的求解转换为代数方程的求解c(k+2)-3c(k+1)+2c(k)=4k解：(1)对每一项做z变换(2)归纳整理特解通解

(3)z反变换查表得部分分式展开假设初始条件为零，上式第2项为零3.5.1离散系统频率特性定义在离散系统中，一个系统或环节的频率特性是指，在正弦信号作用下，系统或环节的稳态输出与输入的复数比随输入正弦信号频率变化的特性。频率特性定义：离散系统的频率特性3.5离散系统的频域描述3.5.2离散系统频率特性的计算离散系统频率特性的指数形式

幅频特性相频特性1.数值计算法——按表达式逐点计算它的幅相