福建省漳州市2025-2026学年高一数学下学期期中测试含听力含解析

福建漳州市2025-2026学年高一下学期期中考试

数学试卷

一、单选题

3

1．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA,a3,b2，则sinB（）

7

△3𝐴�121

A．B．C．D．

141477

2．复数3i12i的实部与虚部之和为（）

A．0B．1C．2D．3

3．已知e1，e2是两个不共线的单位向量，ae12e2，b3e1ke2，若a与b共线，则k（）

33

A．6B．6C．D．

22

4．用斜二测画法画出的水平放置的正六边形ABCDEF的直观图如图所示，M是EF的中点，且OM3，

则AB（）

A．2B．23C．4D．43

5．已知点A1,2，B3,10，C是线段AB上最靠近的一个四等分点，则的坐标为（）

��

A．0,4B．2,8C．2,6D．1,6

6．已知单位向量a,b满足3a2b11，则a在b上的投影向量为（）

1111

A．bB．bC．bD．b

6633

7．上底面、下底面面积分别为1dm2，9dm2，高为3dm的棱台容器中装满了水，如图，将棱台容器中的水

全部倒入倒立的底面半径与高均为4dm的空圆锥容器中，不考虑水的损耗和容器壁的厚度，则该圆锥容器

中的水面高度为（）

117397826

A．3dmB．3dmC．3dmD．3dm

ππππ

8．台风中心位于地（视为质点）正西方向300km处，正向北偏东42方向移动，速度的大小为40km/h，

��

距离台风中心1006km范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么地遭受台风影响的持续时间为

2�

（）（取cos48）

3

A．4.5hB．5hC．5.5hD．6h

二、多选题

5(12i)

9．已知复数z，则（）

34i

A．z12iB．z5C．z12iD．z4i5z

10．在边长为2的正方形中，剪去以为圆心，1为半径的扇形CEF后得到的图形如图所示，以BE所

在的直线为轴，其余边和�弧�𝐵旋转一周形成�的面围成一个几何体，则（）

𝐸

A．该几何体的形状为圆柱中挖去1个球

2

B．该几何体的形状为圆柱中挖去1个球

4

C．该几何体的表面积为18π

22

D．该几何体的体积为π

3

AB

11．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且c2,ab2ccos，则下列结论正确的是

2

（△）𝐴�

π

A．C

6

B．外接圆的半径为23

3

C．△ab�的�最�大值为4

D．若的外心为，则CACOCBCO的最大值为4

△𝐴��

三、填空题

12．十棱柱有_________个顶点，_________条棱，_________个面.

13．已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1在复平面内对应的点位于第一象限，则

tz1z2(tR)在复平面内对应的点不可能位于第_________象限.

14．函数fx5x2x的最大值为________．

四、解答题

15．已知向量a1,2，b3,1．

(1)求a与b夹角的余弦值；

(2)若akb2ab，求k．

33

16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinC3sinB，ABC的面积为b2．

4

(1)求；△𝐴�

�

(2)若为钝角，且的周长为2138，求b．

�△𝐴�

17．（1）若55i是关于的方程x2axb0,a,bR的一个根，求a,b；

�

（2）若对任意tR，关于的方程x2tix2ti0都有纯虚数根，求出该纯虚数根.

18．如图，在梯形中，�AB//CD,AB2,ADCD1，E,F分别是边AD,AB上不与端点重合的点，

AEBF𝐴𝐵

且.

ADBA

(1)用AB,AD表示AC；

AE1AP

(2)若,AC与交于点，求；

AD3AC

𝐸�

π

(3)若BAD，求EF的最小值.

3

π

19．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2bsinA3c.

3

(1)求.△𝐴�

�

πAD431

(2)已知为边上的一点，且ABD,.

4CD3

���

c

（i）求；

a

（ii）若b13,E是线段BD上（不与重合）的一个动点，求BE2AE的最小值.

�

参考答案

1．C

3

【详解】在中，因为sinA,a3,b2，

7

△a𝐴�bbsinA2

由正弦定理，可得sinB.

sinAsinBa7

2．A

【详解】因为3i12i3i6i2i255i，所以该复数的实部与虚部之和为550．

3．A

【详解】由向量ae12e2与向量b3e1ke2共线，且向量e1,e2不共线，

3k

得，所以k6.

12

4．C

【详解】如图，为正六边形ABCDEF的中心，为边EF的中点，

��

由斜二测画法规则知，OM2OM23，所以ABEF2ME2OMtan304.

5．B

3

【详解】由题意，为线段AB上靠近的四等分点，故ACAB.

4

��

已知A(1,2)，B(3,10)，则AB(3(1),102)(4,8)，

3

因此OCOAAC(1,2)(4,8)(13,26)(2,8)，

4

即点的坐标为(2,8).

6．A�

221

【详解】因为3a2b11，可得，解得ab，

9a12ab4b116

又因为a,b都是单位向量，可得ab1，

ab1

所以向量在上的投影向量为.

ab2bb

b6

7．B

【详解】上底面、下底面面积分别为1dm2，9dm2，高为3dm的棱台容器中装满了水，所以水的体积为

1

V193313，

3

设圆锥容器中的水面高度为h，又因为圆锥的底面半径与高均为4dm，所以水的截面半径为h，

1233939

所以V13πhh，所以h，所以h3dm.

3ππ

8．B

【详解】如图，假设台风中心到达点时，AC1006km.

��

设BCxkm，易得ABC904248.

由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcosABC，得x2400x300000，得x100或x300，

300100

所以地遭受台风影响的持续时间为5h.

40

�

9．BC

5(12i)5(12i)(34i)510i

【详解】z12i，A错误.

34i(34i)(34i)5

z5，B正确.

z12i，C正确.

z4i512i4i16iz，D错误.

10．AD

【详解】对于A，B，正方形以BE所在的直线为轴旋转一周，形成一个底面半径为2，高为2的圆柱；

由正方形得FCE90��，�则�扇形CEF（圆心角为90的扇形）绕BE所在的直线为轴旋转一周，形成

一个半球（𝐴球𝐵的半径为1），因此该几何体的形状为圆柱中挖°去1个球，如图所示，

2

故A正确，B错误；

对于C，圆柱的底面半径r2，高h2，半球的半径R1，则S侧面积2πrh2π228π，

2222122

S下底πrπ24π，S上底π213π，S半球4πR2π12π，得

2

S表8π4π3π2π17π18π，故C错误；

22

对于D，圆柱的底面半径r2，高h2，半球的半径R1，则V圆柱πrhπ228π，

1431432222

V半球πRπ1π，得V8πππ，故D正确.

2323333

11．BCD

ABAB

【详解】对于A：因为ab2ccos，由正弦定理得sinAsinB2sinCcos，

22

ABABABAB

又sinAsinBsinsin

2222

ABABABABABABABAB

sincoscossinsincoscossin

22222222

ABAB

2sincos，

22

ABABAB

所以2sincos2sinCcos.

222

AB

因为ABπ，所以cos0，

2

ABABπCC

所以sinsinC，又sinsincos，

2222

CCC

即cos2sincos.

222

CπCC1

又C0,π，所以0,，所以cos0，所以sin，

22222

CπCππ

由0,，得，所以C，故A错误；

22263

对于B：设外接圆的半径为R，

c△𝐴4�323

由2R，解得R，故B正确.

sinC33

对于C：由余弦定理c2a2b22abcosC，得4a2b2ab2ababab，

当且仅当ab2时，等号成立，所以ab的最大值为4，故C正确；

对于D：因为的外心为，

121211

所以CACO△C�B�C�OCA�CBa2b2.

2222

a2b2

因为4a2b2ab，所以a2b24ab4，

2

当且仅当ab2时，等号成立，所以a2b28，

11

所以CACOCBCOa2b24，

22

所以CACOCBCO的最大值为4，故D正确.

12．203012

【详解】十棱柱的上下底面都是10边形，所以每个底面有10个顶点，因此总顶点数为20，

上下底面各有10条边，再加10条侧棱，因此总棱数为30，

包含2个底面和10个侧面，因此总面数为12.

13．四

【详解】设z1abi（a0，b0），则z2abi，则tz1z2a(t1)b(t1)i，

tz1z2(tR)在复平面内对应的点为(a(t1),b(t1)).

当t1时，(a(t1),b(t1))位于第三象限，

当1t1时，(a(t1),b(t1))位于第二象限，

当t1时，(a(t1),b(t1))位于第一象限，

当t1时，(a(t1),b(t1))位于坐标轴上.

综上，at1,bt1不可能位于第四象限.

14．15

5x0

【详解】由，解得0x5，fx的定义域为0,5，且fx0.

2x0

∴

2222

215x

由柯西不等式得，5x2x125xx3515，当且仅当即

2x

10

x时等号成立；

3

5x2x15，即fx5x2x的最大值为15.

2

15．(1)

10

11

(2)k．

12

【详解】（1）由题意得ab13211，

2222

a125，b3110，

ab2

所以a与b夹角的余弦值为．

ab10

（2）akb1,2k3,13k1,k2，

2ab21,23,15,3，

因为akb2ab，

所以akb2ab53k13k20，

11

得k．

12

π2π

16．(1)A或

33

(2)b2

【详解】（1）因为sinC3sinB，由正弦定理得c3b．

13333b3

由的面积SbcsinAb2，得sinA．

242c2

△𝐴�π2π

因为A0,，所以A或．

33

2π

（2）因为为钝角，由（1）知A．

3

�2222212

由余弦定理abc2bccosAb9b2b3b13b，

2

得a13b．

又abc13b4b2138，所以b2．

17．（1）a10,b30；（2）i.

【详解】解：（1）由题意知，55i是关于的方程的一个根，可得方程的另一个根为55i，

�

55i55ia

由韦达定理得，解得a10,b30.

55i55ib

（2）设该方程的纯虚数根为mi,mR，且m0，

2

可得mitimi2ti0，整理得m2m2tm1i0，

m2m20

所以，因为该方程对任意tR都成立，所以m10，解得m1，

tm10

经验证：m1适合方程m2m20，所以该方程的纯虚数根为i.

1

18．(1)ACABAD

2

AP4

(2)

AC15

(3)21

7

【详解】（1）在梯形中，因为AB//CD且AB2,ADCD1，

1

可得DCAB，𝐴𝐵

2

1

根据向量的运算法则，可得ACADDCABAD.

2

AEBF13

（2）由，可得AD3AE,ABAF，

ADBA32

AP13

设，则APABADAF3AE，

AC24

34

因为E,P,F三点共线，所以31，解得，

415

AP4

所以.

AC15

AEBF

（3）设t(0t1)，则AEtAD,AF1tAB，

ADBA

π1

可得EFAFAE1tABtAD，由BAD可得ABAD211；

32

22

则222

EF1tABtAD1tAB2t1tABADtAD

2

22253

4(1t)2t1tt7t10t47t，

77

521

当t时，EF取得最小值，且最小值为.

77

π

19．(1)B

3

4

(2)（i）；（ii）2622

3

π

【详解】（1）由正弦定理得2sinBsinA3sinC，

3

得sinAsinB3cosAsinB3sinAB3sinAcosB3cosAs