新版2027高一下学期期末数学培优题练习 (学生版+解析版)

2027高一下学期期末数学培优题练习等于()sin(a+β)的值为()值范围是()A.(0.1)B.(0.2)C.(0,3)D.(1.3)DF=2√3,∠DEF=90°,则三角形ABC的面积的最大值是()A.7√3b²-2csinB+c²=a²,且a=2,则的最大值为()A.√5-22PA=4,AB=2,BC=2√3.,PB=PC=2√5,则PA与平面PBC所成角的余弦值为()且AE=2,BF=1,将此正方形沿DE、DF折起，使点A、C重合于点P.记三棱锥P-DEF的体积为V₁,9.(24-25高一下·湖南长沙-阶段检测)已z,z₂∈C,则下列等式正确的是()A.|3+z|=|z|+lz₂|B.z+z₂■Z₂+ZC.|zz|=|z||²2|D.Z2₂=2·A.2=3-2iB.|4=5C.z²PA=2AB=2AC=2,,则下列说法正确的是()A.BC=√B.球心O在三棱锥的外部C.球心O到底面ABC的距离为2D.球O的表面积为8πAP=(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(1,2),点B(1+t,2-2),|AB|=√10,AB·OA<0(其中0为坐标原点),点B绕点A沿逆时针方向旋转A.B(1-√2,2+2√2)B.AB=(√2,-2√2)C.P(4.1)D.AB-AP=10说法正确的是()A.若g(x)有2个不同的零点，则2<a<5D.若g(x)有4个不同的零点x,x₂,x,中λ,μ∈[0,1],且2+μ=1,则下列选项正确的是()C.M的轨迹长度为√2D.AM+BM取最小值√6双曲正切函数则下列说法正确的有()A.(coshx)²-(sinhx)²=1B.cosh(x+y)=coshx-coshy-sinhx·sinhyC.y=sinhx·coshx是奇函数D.对任意的a∈(-1,1),存在唯一的x₀,使tanhx₀=a.4三、填空题在正方体的表面上运动，且满足B₁P⊥DE,则点P的运动轨迹的周长是20.(24-25高一下·湖南长沙-阶段检测)某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6.一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为_则tanA+tanB+tanC的最小值为22.(25-26高一下·湖南长沙阶段检测)如图，半圆O的直径AB=4,P,Q为半圆弧上的两个三等分点，则向量AQ在向量PA上的投影的数量为;AB·(AP+AQ)=__(2)若△ABC为锐角三角形，其外接圆圆心为0.(i)证明：BO·AC=2-c.6(2)求CC₁与平面APC₁所成角的余弦值.28.(24-25高一下·湖南长沙·阶段且(2)若AC⊥BD,求四边形ABCD的面积.上一点，且BC/平面PQR,记平面PBCn平面PQR8等于()又平面FDE∩平面FDC=FD,平面BMG∩平面FDC=MG,所以MGMFD,GMCsin(a+β)的值为()又因为f(α)=f(β),且α≠β,所以α+φ+β+φ=π,所以α+β=π-2φ,又因为f(α)=f(β),且α≠β,所以α+φ+β+φ=π,所以α+β=π-2φ,此时f(x)=sinx+2cosx=√5sin(x+φ)在(0,值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0.3)Eo所以【点睛】思路点睛：由三角形为等腰三角形，及垂心的性质，结合平面向量基本定理、三点共线的线性关系确定一腰上垂足的位置解三角形即可.由BC=BE+CE,利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出BC的最大值，即可求出三角形面积最大值.FEC所以BC=2√7,θ+φ)(其中b²-2b²-2csinB+c²=a²,且a=2,则的最大值为()【详解】因为b²-2csinB+c²=a²,且a=2,则b²-acsinB+c²=a²,或(舍),或则的最大值则PA=4,AB=2,BC=2√3.,PB=PC=2√5,则PA与平面PBC所成角的余弦值为()由余弦定理AC²=AB²+BC²-2AB·BC·cos∠ABC=由AB=AC,PB=PC,有AD⊥BC,PD⊥BC,ADnPD=D,AD,PDC平面PABCcBCc平面PBC,所以平面PBC1平面PAD,平面PBCn平面PAD=PD,作AE⊥PD,垂足为E,PD=√PB²-BD²=√17,AD=√AB²-BD²利用已知条件证得平面PBC1平面PAD,结合面面垂直的性质由AE⊥PD得AE⊥平面PBC,则PA与平面且AE=2,BF=1,将此正方形沿DE、DF折起，使点A、C重合于点P.记三棱锥P-DEF的体积为V₁,【分析】依题意可得PD⊥PE、PD⊥PF,确定三棱锥的高，三角形面积公式求出△PEF的面积，结合三棱锥体积公式计算V₁;根据PD⊥平面PEF,可先求△PEF的外接圆半体积公式计算V₂,进而求比值.【详解】正方形折叠后，A,C重合于P,可得：PD=AD=4,PE=AE=2,PF=CF=3,PD⊥平面PEF,且△PEF为直角三角形，斜边为PF=3,因此：△PEF外接圆半径,球心到平面PEF的距离9.(24-25高一下·湖南长沙·阶段检测)已z,z₂∈C,则下列等式正确的是()A.|z+z|=|2|+|22|B.3+Z₂=Z₂+ZC.|zz|=|||:₂|D.Z₂=3·2₂【分析】设z₁=a+bi,z₂=c+di,由复数的乘法运算，共轭概念及模长公式逐个判断即可.【详解】设z=a+bi,z₂=c+di,(其中a,b,c,d∈R),对于B,显然成立，对于C,|z|=√a²+b²,|2|=√Zz₂=(a+bi)(c+ci)=ac-bd+(2是实数，故,该选项正确.PA=2AB=2AC=2,,则下列说法正确的是()A.BC=√3C.球心O到底面ABC的距离为2D.球O的表面积为8π中点Q,连接0Q,说明0Q⊥PA,则四边形00AQ为矩形，球心O到底面ABC形，即球心O到底面ABC的距离为1,故C不正确；AP=(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P,已知平面内点A(1,2),点B(1+t,2-2r),|AB=√10,AB·OA<0(其中0为坐标原点),点B绕点A沿逆时针方向旋转A.B(1-√2,2+2√2)B.AB=(√【答案】【答案】BC【详解】先由点A(1,2),B(1+t,2-21),得AB=(1,-2r),因此点P的坐标为(1+3,2-1)=(4,1),故C正确.法正确的是()C.若P为ABC的垂心，则.若P为ABC的内心，则【答案】【答案】ABD【分析】利用向量数量积的运算律计算判断A:利用正弦定理、余弦定理及等面积思想计算判断BCD.对于B,由余弦定理得A.若g(x)有2个不同的零点，则2<a<5B.当a=2时，g(f(x))有5个不同的零点C.若g(x)有4个不同的零点x,x₂,x₃,x₄(x<x₂<x₃<x₂),则xYx的取值范围是(12,13)D.若g(x)有4个不同的零点x₁,x₂,x,x(x<x₂<x<x),则的取值范围是(6,9)结合二次函数的对称性得到xXYx₄=x(8-x),进而判定C正确；由,1<a<2,结【详解】由函对于A中，由g(x)=f(x)-a=0,可得f(x)=a,若g(x)有2个不同的零点，结合图像知，1=f(x)有3个不等实根，I₂=f(x)有2个不等实根，1=f(x)没有实根，对于C中，若g(x)有4个不同的零点x,x₂,x₃,x₂(x<x₂<x₃内到外”,此法成为双图象法(换元+数形结合).15.(25-26高一下·湖南长沙阶段检测)已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1,BM=λB₁A+μBC₁,其中λ,μ∈[0,1],且2+μ=1,则下列选项正确的是()A.BM//平面AD₁CB.异面直线AD₁与A₁C₁所成的角为45°C.M的轨迹长度为√2D.AM+BM取最小值√6【答案】AC【分析】由题意可得M在线段A₁C₁上，通过面面平行的判断定理可得平面A₁BC₁//平面ACD₁,再由性质等边三角形，即可判断B;由A可知M的轨迹为线段A₁C₁,即可判断C;将矩形ACCA与正三角形AC₁B展开在同一平面内，利用余弦定理求解后，即可判断D.CMB又因为A₁C₁α平面ACD₁,ACc平面ACD₁,所以AC₁//平面ACD₁,ACMB双曲正切函数则下列说法正确的有()A.(coshx)²-(sinhx)²=1B.cosh(x+y)=coshx-coshy-sinhx·sinhy对于B,对于D,设B₁F∩BC=G,连接AG,设AG∩所以B₁F⊥C₁E,又DC₁⊥BF(D₁C₁⊥平面B且且CEc平面D₁CE,DC∈平面D₁CE,DC₁OC₁E=C,所以B₁F⊥平面DCE,故BF⊥DE,又AB₁⊥平面AD₁CB,进而有AB₁⊥DE,CFGCEBAD为2⁷+2²⁻¹=m,即函数y=2+2²¹方法一：令t=2',则2'+2²×-m=0,即得2'+2²×-m=0,即2'+2²⁻ˣ=m,,那么设u=2,则,(u>0),根据函数图象可知，函数f(x)有两个零点，则m的取值范围是(4,+∞).O上单调递增.则θ=+【答案】,并代入结合单调性检验即分析可知f(x)在x=0处取到极小值，可得,进而可得结果.【详解】设函数f(x)的最小正周期为T,由题意可知a≠0,且a∈Z,a≠0,则d=1,2.则,k₁∈Z,且0≤θ<2π,即f(x)=2cosx或f(x)若即f(x)=-2cosx或f(x)=-2cos2x,符合题意；且0≤θ<2π,则可知f(x)在x=0处取到极小值，则,k₂∈Z,且0≤θ<2π,则k₂=1,,则即f(x)=-2cosx或f(x)=-2cos2x,符合题意；或或【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解.【详解】由轴截面为等边三角形的高为6,易得圆锥的母线长与底面圆的直径均为4√3.小球的半径为1,在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环，可知扇环的半径为3√3,√3,扇环所在扇形的圆心角为所以扇环其面积则tanA+tanB+tanC的最小值为.【答案】8【答案】8【分析】由正弦定理可得tanB+tanC=2tanBtanC,再由三角恒等变换计算可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,利用换元法以及基本不等式计算可得当tanA=4时tanA+tanB+tanC取得最小值为8.【详解】根据正弦定理由a=2bsinC,可得sinA=2sinBsinC,所以sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=即可得tanB+tanC=2tanBtanC,又因,可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,所以所以tanA+tanB+tanC的最小值为8.tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,并求得,由锐角三可. 所以向量AQ在向量PA上的投影0B故答案为：-3;16.因为,所以所以4cos²B-3∈(-1,1.24.(24-25高一下·湖南长沙阶段检测)已知a,b,c分别为。ABC三个内角A,B,C的对边，且(b+c+a)(b+c-a)=3bc,b=2.【分析】(1)对(b+c+a)b+c-a)=3bc用平方差公式展开，再整理得到b²+c²-a²=be,把它代入公式(余弦定理形式)求cosA,结合A的范围得出A的值.(2)(i)将AC写成BC-BA,展开BO-AC.利用外心性质得到BO·BC和BO·BA的值.再根据已类似公式(余弦定理)求出a²关于c的式子，进而得出BO·AC.(ii)由正弦定理相关式子得出外接圆半径R.根据角度关系和面积公式求出Sauc和SoBe,得到S₁-S₂表达【详解】(1)由题意得(b+c+a)(b+c-a)=3bc,即b²+c²-a²=bc,因为0为△ABC外接圆圆心，即外心，所以(3)根据二面角的平面角的定义可得∠DHG即为所求二面角的平面角，然后在直角三角形内求解即可【详解】(1)设B₁C交BC₁于点0,连接DO,所以四边形BB₁C₁C是平行四边形，则0为B₁C的中点，所以AC,/DE,又因为AC₁⊥A₁C,所以DE⊥A₁C,在正三棱柱中CC₁⊥平面ABC,BDc平面ABC,因为CC,IAC=C,CC₁,ACc平面ACC₁A,所以BD1平面ACCA,因为ACc平面ACCA,所以AC1BD,因为DE⊥A₁C,BD∩DE=D,BD,DE所以AC⊥平面BDE,因为A₁Cc平面A₁B₁C,所(3)设正三棱柱底边边长为2a,取BC的中点F,连接AF,取CF中点G,连接DG,过G作GH垂直BE于点H,连接DH,且平面ABCn平面BCC₁B₁=BC,所以AF⊥平面BCC₁B₁,因为D为AC中点，G为FC中点，所以DG//AF,所以DG⊥平面BCC₁B₁,又HG⊥BE,HG∩DG=G,HGc平面HGD,DGc平面HGD,所以BE⊥平面DHG,又DHc平面DHG,所以DH⊥BE,又因为DG⊥平面BCC₁B₁,且HGc平面BCC₁B₁,所以DG⊥H②②,即可得解；(2)通过中线长性质中点.【答案】(1)连接【答案】(1)连接AC交AC₁于点0,连接PO,因为PO