2027届高考数学一轮复习1.1集合（课件）

第一章集合、常用逻辑用语与不等式第一讲集合知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一元素与集合1．集合中元素的三个特征：_________、_________、_________.2．元素与集合的关系：(1)属于，记为______；(2)不属于，记为∉.3．集合的表示方法：__________、__________、Venn图法．4．常见数集的记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号_______________________________________确定性互异性无序性∈列举法描述法NN*(或N＋)ZQR知识点二集合之间的基本关系关系定义表示相等集合A与集合B中的所有元素都________A______B子集A中的任意一个元素都是______________A______B真子集A是B的子集，且B中至少有一个元素___________A______B注意：空集用___表示，空集是任何集合的子集，是任何_________的真子集．相同＝B中的元素⊆不属于A∅非空集合知识点三集合的基本运算符号语言交集A∩B并集A∪B补集∁UA图形语言意义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∪B＝{x|x∈A或x∈B}∁UA＝{x|x∈U且x∉A}归

纳

拓

展1．若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.3．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若1∈{x2，x}，则x＝－1或1.(

)(2)集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{1，－1，0}．(

)(3){x|y＝x2－1}＝{y|y＝x2－1}＝{(x，y)|y＝x2－1}．(

)(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C．(

)(5)设U＝R，A＝{x|lgx<1}，则∁UA＝{x|lgx≥1}＝{x|x≥10}．(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)×[解析]

(5)中A＝{x|0<x<10}，∁UA＝{x|x≤0或x≥10}，故(5)错．题组二走进教材2．(多选题)(必修1习题T1改编)已知集合P＝{x∈N|x2＝4}，则(

)A．2∈P B．P＝{－2，2}[答案]

AD3．(必修1复习参考题1T9改编)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∩B＝B，则实数a＝__________.[答案]

2[解析]

因为A∩B＝B，所以B⊆A，所以a＋2∈A．当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意．当a＋2＝a2时，即a＝2或a＝－1，当a＝－1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意，故a＝2.4．(必修1P14T1改编)若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，则A∪B＝________，∁U(A∩B)＝____________.[答案]

R

{x|x≤－1或1<x<4或x≥5}[解析]

借助数轴如图1，所以A∪B＝R，如图2，所以A∩B＝{x|－1<x≤1或4≤x<5}．∁U(A∩B)＝{x|x≤－1或1<x<4或x≥5}．题组三走向考场5．(2025·全国高考一卷)设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1，3，5}，则∁UA中元素个数为(

)A．0 B．3C．5 D．8[答案]

C[解析]

U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，∁UA＝{2，4，6，7，8}，故选C．6．(2025·全国高考二卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(

)A．{0，1，2} B．{1，2，8}C．{2，8} D．{0，1}[答案]

D[解析]

B＝{x|x(x－1)(x＋1)＝0}＝{0，－1，1}，A∩B＝{0，1}，故选D．7．(2024·北京卷)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，则M∪N＝(

)A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3}C．{x|－3<x<4} D．{x|x<4}[答案]

C[解析]

直接根据并集含义即可得到答案．由题意得M∪N＝{x|－3<x<4}．故选C．考点突破·互动探究集合的基本概念——自主练透1．(2026·南通质检)已知集合A＝{x|2x－a>0}，且1∉A，2∈A，则(

)A．a>4

B．a≤2C．2<a≤4 D．2≤a<4[答案]

D[解析]

因为1∉A，所以2×1－a≤0，解得a≥2，又因为2∈A，所以2×2－a>0，解得a<4，所以2≤a<4.故选D．2．(2026·乐山模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤10，x∈N*，y∈N*}，则集合A的元素个数为(

)A．9

B．8C．6 D．5[答案]

C[解析]

A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)}，共6个元素．3．(2026·莆田模拟)设集合A＝{x|x≥－1}，则下列四个关系中正确的是(

)A．1∈A

B．1∉AC．{1}∈A D．1⊆A[答案]

A[解析]

由题意知，集合A＝{x|x≥－1}表示所有不小于－1的实数组成的集合，所以1是集合中的元素，故1∈A．[答案]

－1名师点拨：1．用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．2．集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.集合之间的基本关系——师生共研[答案]

A[解析]

解法一(列举法)：M＝{…，－7，－3，1，5，9，…}，N＝{…,－7,－5，－3，－1，1，3，5，7，9，…}，显然M⊆N，故选A．解法二(描述法)：x＝4k－3＝2(2k－1)－1，k∈Z，2k－1能取遍所有奇数．x＝2k－1，k∈Z，k能取遍所有整数．因此M⊆N，故选A．2．(2025·南宁适应性测试)已知集合A＝{x|ax＝1,a∈R}，B＝{－1，1}，且A⊆B，则a的取值集合为(

)A．{－1} B．{－1，1}C．{0，1} D．{－1，0，1}[答案]

D名师点拨：判断集合间关系的3种方法列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．描述法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系.【变式训练】1．设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(

)A．2 B．1[答案]

B[解析]

依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0,－1}，B＝{－1,0,1}，满足A⊆B.所以a＝1，故选B．2．(2026·北京人大附中检测)设集合A＝{x|－1≤x<3}，集合B＝{x|x>a}，若A⊆B，则a的取值范围为(

)A．{a|a≤－1} B．{a|－1≤a<3}C．{a|a≥3} D．{a|a<－1}[答案]

D[解析]

如图∵A⊆B，∴a<－1，故选D．集合的基本运算——多维探究角度1集合的运算1．(2025·天津卷)已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则∁U(A∪B)＝(

)A．{1，2，3，4} B．{2，3，4}C．{2，4} D．{4}[答案]

D[解析]

A∪B＝{1，2，3，5}，∁U(A∪B)＝{4}．故选D．[答案]

B角度2利用集合的运算求参数1．(多选题)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为(

)[答案]

BCD2．(2025·本溪模拟)设集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为(

)A．[0，1] B．[0，1)C．(0，1) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)[答案]

A[解析]

因为B＝{x|x>a}，所以∁RB＝{x|x≤a}，又A∩(∁RB)＝A，所以A⊆∁RB，又A＝{x|x<a2}，所以a2≤a，解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0，1]．名师点拨：集合的基本运算的关注点1．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．2．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．3．注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．4．根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解．【变式训练】1．(角度1)(2024·全国甲卷文)若集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝(

)A．{1，3，4} B．{2，3，4}C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4，9}[答案]

C[解析]

依题意得，对于集合B中的元素x，满足x＋1＝1，2，3，4，5，9，则x可能的取值为0，1，2，3，4，8，即B＝{0，1，2，3，4，8}，于是A∩B＝{1，2，3，4}．故选C．2．(角度1)(多选题)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1<x<3}，则(

)A．(∁RA)∪B＝{x|0≤x<3}B．(∁RA)∩B＝{x|1<x<2}C．A∩B＝{x|2<x<3}D．A∩B是{x|2<x<5}的真子集[答案]

ACD[解析]

由x2－2x>0，得x<0或x>2，所以A＝{x|x<0或x>2}，所以∁RA＝{x|0≤x≤2}，对于A，因为B＝{x|1<x<3}，所以(∁RA)∪B＝{x|0≤x<3}，所以A正确；对于B，因为B＝{x|1<x<3}，所以(∁RA)∩B＝{x|1<x≤2}，所以B错误；对于C，因为A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∩B＝{x|2<x<3}，所以C正确；对于D，因为A∩B＝{x|2<x<3}，所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集，所以D正确．3．(角度2)若集合A＝{x|x2＋ax＋b＝0}，B＝{x|x2＋cx＋6＝0}，A∩B＝{2}，A∪B＝B，则abc＝________.[答案]

80[解析]

由A∩B＝{2}，得2∈B，即22＋2c＋6＝0，解得c＝－5，所以B＝{2，3}，由A∪B＝B，得A⊆B，而A∩B＝{2}，则A＝{2}，因此2是方程x2＋ax＋b＝0的两个相等实数根，则－a＝4，b＝4，即a＝－4，b＝4，所以abc＝－4×4×(－5)＝80.4．(角度2)(2025·南昌模拟)已知集合A＝{x|2a<x<a＋1}，B＝{x|－2≤x<3}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是(

)A．(－3，1) B．[－3，1)C．(－1，0) D．(－1，1)[答案]

A[解析]

由题得2a<a＋1，解得a<1，所以a＋1<2，又A∩B≠∅，所以只需a＋1>－2，解得a>－3，所以－3<a<1.名师讲坛·素养提升集合中的新定义问题(多选题)(2026·江苏常州模拟)对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫做集合M与N的“差集”，记作M－N，即M－N＝{x|x∈M，且x∉N}；把集合M与N中所有不属于M∩N的元素组成的集合叫做集合M与N的“对称差集”，记作M△N，即M△N＝{x|x∈M∪N，且x∉M∩N}．下列四个选项中，正确的有(

)A．若M－N＝M，则M∩N＝∅

B．若M－N＝∅，则M＝NC．M△N＝(M∪N)－(M∩N) D．M△N＝(M－N)∪(N－M)[答案]

ACD[解析]

若M－N＝M，则M∩N＝∅，A正确；当M⊆N时，M－N＝∅，B错误；M△N＝{x|x∈M∪N，且x∉M∩N}＝(M∪N)－(M∩N)，C正确；M△N和(M－N)∪(N－M)均表示集合中阴影部分，D正确．故选ACD．名师点拨：集合新定义问题的“3定”1．定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．2．定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．3．定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素．【变式训练】(多选题)(2025·湖北黄冈模拟)对于集合A、B，定义运算：A/B＝{x|x∈A且x∉B}，A⊕B＝(A/B)∪(B/A)．若A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，则(

)A．B/A＝{5，6} B．A⊕B＝{1，2，5，6}C．A⊕B＝A∪B D．A⊕B≠A∩B[答案]

ABD[解析]

根据题中信息可得B/A＝{5，6}，A正确；根据题意可得A/B＝{1，2}，故A⊕B＝(A/B)∪(B/A)＝{1，2，5，6}，B正确；A∪B＝{1，2，3，4，5，6}≠A⊕B，C错误；A∩B＝{3，4}≠A⊕B，D正确．故选ABD．提能训练练案[1]A组基础巩固

一、单选题1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则(

)A．2∈M B．3∈MC．4∉M D．5∉M[答案]

A[解析]

由题意知M＝{2，4，5}．2．(2025·广东茂名二模)已知集合M＝{x∈N||x|≤2}，N＝{－3,－2,－1，0，1，2，3}，则M∩N＝(

)A．{0，1，2} B．{－2，－1，0，1，2}C．[－2，2] D．{1，2}[答案]

A[解析]

由|x|≤2可得－2≤x≤2，则M＝{x∈N||x|≤2}＝{0，1，2}，因为N＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，则M∩N＝{0，1，2}．故选A.3．(2026·湖北模拟)已知集合A＝{0，a，a2}，B＝{a－1，3a－2}，a∈R，则A∪B中的元素个数至少为(

)A．2 B．3C．4 D．5[答案]

C4．(2026·南京模拟)集合A＝{x∈N|1<x<4}的子集个数为(

)A．2 B．4C．8 D．16[答案]

B[解析]

A＝{x∈N|1<x<4}＝{2，3}，故子集个数为22＝4.5．(2025·北京卷)已知全集U＝{x|－3<x<3}，集合A＝{x|－2<x≤1}，则∁UA＝(

)A．(－2，1] B．(－3，－2)∪[1，3)C．[－2，1) D．(－3，－2]∪(1，3)[答案]

D[解析]

由数轴得∁UA＝(－3，－2]∪(1，3)．故选D．A．A＝B B．A⊆BC．A⊇B D．A∩B＝∅[答案]

B7.(2025·山东聊城质量检测)已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x－3)>0}，B＝{x|log2(x－1)<2}，则图中阴影部分所表示的集合为(

)A．{x|3≤x<5} B．{x|0≤x≤3}C．{x|1<x<3} D．{x|1<x≤3}[答案]

D[解析]

题图中阴影部分表示在集合B中不在集合A中的元素构成的集合，即B∩(∁UA)．由x(x－3)>0，解得x<0或x>3，所以A＝(－∞，0)∪(3，＋∞)，∁UA＝{x|0≤x≤3}．由log2(x－1)<2＝log24，得0<x－1<4，解得1<x<5，所以B＝(1，5)，所以B∩(∁UA)＝{x|1<x≤3}．8．设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(

)A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z}D．∅[答案]

A[解析]

集合M中的元素是被3除余1的数，集合N中的元素是被3除余2的数，所以集合∁U(M∪N)中的元素是被3整除的数，即∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A．[答案]

ACD10．(2025·江西萍乡二模)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A⊆U，B⊆U，且满足A∩B＝{3，5}，(∁UA)∩(∁UB)＝{2，4}，则下列说法正确的为(

)A．4∈AB．6∈A∪BC．集合A可能是{1，3，5，6}D．(∁UA)∪(∁UB)＝{1，2，4，6}[答案]

BCD[解析]由题意知(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{2，4}，所以A∪B＝{1，3，5，6}．因为A∪B＝{1，3，5，6}，且4∉A∪B，所以4∉A，A选项错误；由于A∪B＝{1，3，5，6}，所以6∈A∪B，B选项正确；已知A∩B＝{3，5}，这意味着3，5既属于A又属于B，若A＝{1，3，5，6}，当B＝{3，5}时，∁U(A∪B)＝{2，4}，∁UA＝{2，4}，∁UB＝{1，2，4，6}，此时满足所有已知条件，C选项正确；因为(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)，又A∩B＝{3，5}，所以(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝{1，2，4，6}，D选项正确．故选BCD．11．(2026·吉林长春模拟)若集合A∩B＝B∪C，则一定有(

)A．C⊆B B．B⊆CC．B⊆A D．A⊆B[答案]

AC[解析]

因为A∩B⊆A，A∩B＝B∪C，所以B∪C⊆A，所以B⊆A，C⊆A，因为A∩B⊆B，A∩B＝B∪C，所以B∪C⊆B，所以C⊆B，所以C⊆B⊆A，故选项A、C正确，B、D错误．故选AC．三、填空题12．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为________.[答案]

4[解析]

根据题意，A∩B的元素是x＋y＝8上满足x，y∈N*且y≥x的点，即点(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)．13．(2026·河北衡水模拟预测)设集合A＝{a，b}，B＝{2a，2a2}，若A＝B，则ab＝________.14．已知集合A＝{x|(x－1)(x－3)<0}，B＝{x|2<x<4}，则A∩B＝___，A∪B＝____，(∁RA)∪B＝______.[答案]

(2，3)

(1，4)

(－∞，1]∪(2，＋∞)[解析]

由已知得A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2<x<4}，所以A∩B＝{x|2<x<3}，A∪B＝{x|1<x<4}，(∁RA)∪B＝{x|x≤1或x>2}．15．已知集合A＝{x|x<－1或x≥0}，B＝{x|a≤x<a＋2}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是________.[答案]

[－2，－1]B组能力提升

1．(2026·江西景德镇模拟预测)已知全集U＝A∪B＝{1，2，3，4}，(∁UA)∪(∁UB)＝{1，4}，则A∩B＝(

)A．∅

B．{2，3}C．{1，4} D．{1，2，3，4}[答案]

B[解析]

因为U＝A∪B＝{1，2，3，4}，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝{1，4}，所以A∩B＝{2，3}．故选B．2．(2025·天津和平三模)设全集U＝Z，集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，∁U(A∪B)＝(

)A．∅

B．{x|x＝3k＋1，k∈Z}C．{x|x＝3k＋2，k∈Z} D．{x|x＝3k＋3，k∈Z}[答案]

B[解析]

由A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝3k－1，k∈Z}可得，A∪B＝{x|x＝3k－1或x＝3k，k∈Z}，故∁U(A∪B)＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，故选B．3．(多选题)(2025·河南三模)已知全集U＝{x||x|<4，x∈Z}，集合M＝{－1，2，a2}，N＝{－1，1，2，a}，P＝{－