湖南省长沙市雨花区2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（解析版）

湖南省长沙市雨花区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案ABCABCBDBDACD题号11答案ACD1．A【详解】因为，所以．2．B【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以，由正态分布的对称性得，故B正确.3．C【分析】根据函数相等的定义逐项判断即可.【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，A选项中的两个函数定义域不相同，故A选项中的两个函数不是同一个函数；对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为，B选项中的两个函数的定义域不相同，故B选项中的两个函数不是同一个函数；对于C选项，函数、的定义域为，且对应关系相同，故C选项中的两个函数是同一函数；对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为，D选项中两个函数的定义域不相同，故D选项中的两个函数不是同一函数.故选：C.4．A【分析】根据奇函数定义结合函数定义域计算求解.【详解】函数是奇函数，且，都在定义域内，所以且，所以且，所以，所以.故选：A.5．B【分析】先取2人作为一组，把3组分配取参加3项工作，再由分步乘法计数原理即可求解.【详解】先取2人为一组有种取法，取出的2人与剩余2人看作三组安排不同工作有种，根据分步乘法计数原理不同的安排方式共有故选：B6．C【分析】求得样本中心点，得到，即可求解.【详解】由，可得数据可得样本中心点为：代入回归方程，解得：，所以当时，．故选：C7．B【分析】利用二项式定理得到，所求余数即为801除以64的余数，得到答案.【详解】因为，且显然能被64整除，所以所求余数即为801除以64的余数.因为，所以除以64的余数为33.故选：B8．D【分析】设圆锥的底面半径为，圆锥的体积，求导判断单调性求出的值，再根据圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径求解内切球半径.【详解】设圆锥的底面半径为，在中可得到，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积，令，则，所以.因为，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为4，母线长为.因为圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径，所以圆锥内切球的半径.故选：D9．BD【分析】根据给定条件，利用三角函数图象变形逐项求出对应的解析式即可判断得解.【详解】由图象变换可得，则的最小正周期，A错误，B正确．，，C错误，D正确．故选：BD10．ACD【分析】对于A和B，通过赋值法，即可求解；对于C，利用二项展开式的通项公式，即可求解；对于D，对展开式两边求导，再赋值，即可求解.【详解】对于A，令，得，所以A正确；对于B，令，得，所以B错误，对于C，因为，所以，所以C正确，对于D，对两边同时求导，得，令，得，所以D正确．故选：ACD.11．ACD【分析】根据条件概率公式计算判断A，B，应用全概率计算判断C，应用贝叶斯公式计算判断D.【详解】由题意可知，A正确，B错误；，C正确；，D正确；故选：ACD.12．【分析】根据复数的乘方与除法运算可求得，进而可求得.【详解】由，可得，所以，所以，.故答案为：.13．【分析】根据定义解方程可得“二阶不动点”，然后求和即可.【详解】时，，，则，满足题意；时，，，则，满足题意；时，，，则，满足题意；时，，，则，满足题意，所以的“二阶不动点”有：，和为，故答案为：.14．12【分析】整理等式构造函数，利用导数求得函数的单调性，从而化简等式，根据所得等量关系，整理代数式的函数解析式，利用导数求得最值.【详解】由，则，令，求导可得，令，求导可得，由得，由得，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，故函数在上单调递增，由，则，即，令，求导可得，由得，由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故.故答案为：.15．(1)(2)【分析】（1）利用抛物线焦半径，即可求解.（2）求出直线的方程为，然后与椭圆联立后消去后得，则，求得，再结合点在椭圆T上即可求解.【详解】（1）根据题意可知，解得．故的值为.（2）由（1）可得，则直线的斜率，则直线的方程为，与椭圆联立，得．因为直线与椭圆相切，所以，化简得．①因为点在椭圆T上，所以．②由①②解得，，所以椭圆T的标准方程为.16．(1)表格见解析，可以认为女性和男性在对该AI工具提问的经常性方面无差异.(2)【分析】（1）完善列联表，求出的观测值，并与临界值比对即得.（2）求出恰好答对3个问题的概率，再作商探讨最大值即可.【详解】（1）列联表如下：性别提问情况合计经常提问不经常提问女性5050100男性6535100合计11585200零假设：女性和男性在对该AI工具提问的经常性方面无差异，根据表中数据计算得到，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为女性和男性在对该AI工具提问的经常性方面无差异.（2）从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为，设，由，且得，所以，显然，，令，当时，有，，即，此时；当时，有，，即，此时，即，所以所求.17．(1)相关系数约为，回归方程为.(2)第、年的利润约为亿元、亿元.【分析】（1）求出、的值，将参考数据代入相关系数公式，可求出相关系数的值，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归直线方程；（2）将、分别代入回归直线方程，可得结果.【详解】（1）由题中数据可得，，，因此，，，故回归直线方程为.（2）在回归直线方程中令，得.令，得，因此预测第、年的利润约为亿元、亿元.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题，根据直角梯形的结构特征，结合勾股定理逆定理可得，再根据面面垂直的性质可得平面，进而得到（2）先证明平面，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合三棱锥的体积为得到相关点的坐标，进而得到相关向量的坐标，再根据向量的夹角公式可得二面角的余弦值【详解】（1）∵，，∴四边形为直角梯形，又，，易得，．∴，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴．（2）∵，平面平面，平面平面，∴平面，故可以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，∵三棱锥的体积为，∴，即，解得．∴，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，得，令，得，∴，易知平面的一个法向量为，∴，故二面角的余弦值为．19．(1)(2)【分析】（1）由条件求，再由导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程并化简；（2）条件可转化为在上恒成立，利用导数求的最小值，由此可得结论.【详解】（1）