福建省厦泉五校2025-2026学年高二数学下学期期中联考

福建省厦泉五校2025-2026学年高二下学期期中联考

数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

2

1.已知数列为等差数列，3,11是方程6+8=0的两个实数根，则7=()

A.3��B.�3��−C.�4D.4�

2.已知曲线()=4+2+1±在点(1,(1))处切线的斜率为8，±则(1)=()

A.7�����B.4−�−C.7D.4�−

3.已知随机变量服从正态分布−,2，若(<−1)=(7)=0.2，则(1<<4)=()

A.0.1�B.0.�2���C�.0.3��≥D.0.4��

4.用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且能被2整除的三位数的个数是()

A.50B.52C.54D.56

5.甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问

成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”.从以上回答分

析，5人的名次排列有(    )种不同情况．

A.9B.18C.54D.108

6.已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下

列结论正确的是()�

A.(21)=4B.()=1C.()=1D.(21)=8

355

��−2+,��<0����−

7.已知函数=，在上单调递增，则的取值范围是()

,0

−����

�����

A.1,+�−��B.�0≥,1C.1,1D.,1

8.甲､乙､∞丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传−出，每次传球时，传−球∞者都等可能地将球传给另外两个

人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为()

A.11B.31C.5D.17

32961648

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中

随机取出一球放入乙口袋，分别以1，2和3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件;再从乙口

袋中随机取出一球，以表示由乙口�袋取�出的�球是红球的事件，则下列结论中正确的是()

�

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A.1，2，3是两两互斥的事件B.事件1与事件相互独立

C.�(|�)=�3D.()�=2�

2115

�����

10.已知数列{}，1=1，+1=2+1()，数列{}满足=22(1+)1.若在数列{}中去

∗

掉{}的项，余��下的�项组成�数�列{�}�，则(�∈�)����𝑙���−��

��

A.�1+2+3+4=26�B.5=10

C.�4<�15<�5�D.�1+2++10=170

11.�已知函�数�()是定义在上的奇函数，且当>�0时�，…()�=(2+1)2+2，则()

A.方程()�=�0有三个不等�实根�������−�

B.=1是��()的一个极值点

2

C.不�等式�(�)>0的解集为(1,0)(1,+)

D.当>0�时�，()>21−2恒成立∪∞

三、填�空题：本�题�共3小−题�，−每�小题5分，共15分。

12.已知1+1+5的展开式中2的系数为5，则=．

13.已知函数��=�+2sin，�0,，当函数�取最大值时，则=．

14.一种游戏规��则如�下：投掷�一枚�∈质地均�匀的骰子(�骰�子的六个面分别标�注的点数为1，2，3，4，5，6)，若

掷出的点数为6，则游戏终止，否则一直进行投掷，直到掷出的点数为6，规定最多投掷次游戏强制终止.

记为投掷骰子的总次数，则的数学期望()=(用含的式子表示)．�

四、�解答题：本题共5小题，�共77分。解�答�应写出文字说明，证明过程或�演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数=++,的图象经过点1,1，且=0是的极值点．

�

(1)求函数��的�解析�式⋅；����∈����

(2)求函数��的单调区间和最值．

16.(本小题�1�5分)

某同学在上学的路上要经过3个十字路口，在每个路口是否遇到红灯相互独立，设该同学在三个路口遇到

红灯的概率分别为1，1，1．

234

(1)求该同学在上学路上恰好遇到一个红灯的概率；

(2)若该同学在上学路上每遇到1个红灯，到校打卡时间就会比规定打卡时间晚48秒，记该同学某天到校

打卡时间比规定时间晚秒，求的分布列和数学期望．

��

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17.(本小题15分)

已知等差数列满足：3=0，7=24+2．

(1)求的通项��公式．���

�

(2)设�=2，求数列的前项和．

+3+5

�����

18.(本�小题�17�分)���

在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注．这种

起搏器体积只有传统起搏器的1，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发

10

症．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包

括智能检测与人工抽检．智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标，

人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的

产品才能视为合格品．已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为99，98，97，设人工抽检的综合

1009998

指标不．达标率为(0<<1)．

(1)求每个芯片智�能检测�不达标的概率；

(2)人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为()，求()的极大值点0；

(3)若芯片的合格率不超过96%，则需对生产工序进行�改�良．以�(2)�中确定的0作�为的值，判断该企业是否

需对生产工序进行改良．��

19.(本小题17分)

洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数,，当0=0,0=0

'

时，lim()=lim().已知函数=13+sin，=3sin��cos��2．����

()'()6

0��0��

(1)证�→明�：��在�→区��间�0,2上单调�递�减；���−�ℎ��−��−�

(2)对于ℎ�0,2,�0恒成立，求实数的取值范围；

�∈���≥�

第3页，共7页

参考答案

1.

2.�

3.�

4.�

5.�

6.�

7.�

8.�

9.�

10�.�

11.���

12.��1�

13.−2

3

�

14.65(5)1

6

�−

15.解−：(×1)由函数=++，

�

可得'=+�+1��，�⋅��

�

因为函�数��过点�1,1⋅，�

且=0是��的极值点，

(1)=(1+)+=1

可得���,

'(0)=1+=0

��⋅��

解得�=1,=1�，

所以函�数−�的解析式为

=��1+1．

�

�(2�)由(1�)知−'⋅�=，

�

令'>0，�解�>�0；⋅�

令�'�<0，解�<0，

所以�函�数在(�0,+)上单调递增，

在(,�0)�上单调递减∞，

−∞

第4页，共7页

所以当=0时，

函数�取得最小值，

最小值��为0=0，无最大值，

即函数�的增区间为(0,+)，减区间为(,0)，

最小值为��0，无最大值．∞−∞

16.解：(1)记={该同学在上学路上恰好遇到一个红灯}，

()=12�3+113+121=11．

23423423424

(�2)�的可×能取×值为×0,4×8,96,1×44，×

(�=0)=123=6=1，

234244

��××

(=48)=123+113+121=11，

23423423424

��1×1×31×2×1×1×1161

(=96)=++==

234234234244

��1×1×11××××

(=144)==，

23424

�的�分布列为：××

�04896144

�11111

424424

�

()=01+4811+961+1441=52．

424424

��××××

17.解：(1)设等差数列的公差为，

�

则3=1+2=0，可得�1=2，�

由�7=2�4+2�可得1+6�=2−1�+3+2，

即�4=2�+2，解得�=�1，1�=2，�

故�=1�+1=�2+�1−=3．

�

(2)�=�2�−=�2−=1�1−，�−

+3+5(+2)+2

���������−�

因此，=11+11+11++11=1+111

32435+22+1+2

��−−−⋯�−�−�−�

第5页，共7页

=32+3．

2+1+2

�

−��

18.解：(1)每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为1，2，3，

并记芯片智能检测不达标为事件．���

指标的达标率为任取一件新产品，�该项指标达标的概率，

则有=99，=98，=97，

1100299398

根据对�立事件的�性质及�事件独立性的定义得，

()=1=1999897=3，

1231009998100

��−���−××

所以，每个芯片智能检测不达标的概率为3．

100

129

(2)人工抽检30个芯片恰有1个不合格品的概率为()=30(1)，

12928128

因此'()=30[(1)29(1)]=30(1��)�(1�30−)�，

令'�()�=0，�得=−1．�−�−��−�−�

30

���

当(0,1)时，'()>0;当(1,1)时，'()<0．

3030

�∈���∈��

所以()有唯一的极大值点=1．

030

���

(3)由(2)知==1，

030

��

人工抽检的综合指标达标的概率为11=29，

3030

∴芯片合格的概率−

99989729

∴=

合格100999830

�2813×××

=93.8%

3000

93.8%≈<96%，

∵需要对生产工序进行改良．

∴19.解：(1)由函数=3sincos2，可得'=2cos+sin2，

令='=2ℎco�s+sin�−�2，则�−'�=siℎn�+cos，���−

令��=ℎ'�=sin�+�cos�，−则'�=�s−in，���

若��0,�，�则−'�0�，�单调�递减�，−可�得�0=0，单调递减，

则�∈�0=�0，�所≤以�在�0,上单调递减�，�≤���

��≤�ℎ��第6页，共7页

若,2，则'0，单调递增，

所以�∈�<��2�≥，即��<2，

所以存��在唯一��0≤�,2�，使−得��0�=≤0，�且在,0上，<0,单调递减，在0,2上，>

0,单调递�增∈，且��=4<�0�,2=0，所�以��0�，������

所以��在区间,2�上�单调−递减，且��在0,2上�连�续，≤

综上可ℎ�得，函数�在�区间0,2上单调ℎ递�减．�

(2)当=0时，ℎ0�=0，所以�0恒成立；

当0<�2时，�由0，�可�得≥13+sin0，即1sin，

6