福建省泉州市部分学校2025-2026学年高二数学下学期5月第二次教学质量监测试题含解析

一、单选题

1．对两个变量x和y进行回归分析，得到一组样本数据x1,y1,x2,y2,,xn,yn，下列统计量的数值能够

刻画其经验回归方程的拟合效果的是（）

A．平均数B．相关系数rC．决定系数R2D．方差

2．函数yfx的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A．3是fx的极小值

B．fx的极值点有3个

C．fx在区间,3上单调递减

D．曲线yfx在x1处的切线斜率小于零

3

21

3．x2的展开式中的常数项为（）

x2

A．20B．20C．15D．15

1

4．已知函数fxalnxx22x，若fx在0,上单调递增，则实数a的取值范围为（）

2

A．0,1B．1,C．0,1D．1,

5．连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，每次正面向上得2分，反面向上得1分，记总得分为X，则（）

A．EX1B．EX4

C．DX6D．DX9

6．已知x2026是函数fxx2025x2026xm的一个极值点，则f2027（）

A．0B．1C．2D．3

7．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”.后人称其为“赵爽弦图”.如图，现提供

5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同.记事件A：“区域

2和区域4颜色不同”，事件B：“所有区域颜色均不相同”，则PB|A（）

223

A．B．C．1D．

7324

a

8．设函数fxxaexba,bR，若fx0恒成立，则的最大值为（）

b

1

A．-1B．C．1D．e

e

二、多选题

9．下列结论正确的有（）

A．5名工人各自在3天中选择一天休息，不同方法种数是35

1231111

B．C11C11C11C112

C．一批零件共有10个，有4个不合格，从中随机抽取3个零件进行检测，恰好有1个不合格的概率是

1

2

1

D．若随机变量XB64,，则X32时，概率最大

2

10．市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售

量y（件）之间的一组数据如表所示：

价格x99.51010.511

销售量y1110865

按公式计算，y与x的回归直线方程是：yˆ3.2xaˆ，相关系数r0.986，则下列说法正确的是（）

A．aˆ24B．变量x，y线性负相关且相关性较强

C．相应于点9.5,10的残差约为0.4D．当x8时，y的估计值为14.4

2

11．若函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则（）

x

2

A．f(x)的图象是中心对称图形B．f(x)在(0,)上单调递减

2

C．f(x)的极小值点为2D．f(x)有两个零点

2

三、填空题

f1

12．已知函数fxx，则曲线yfx在x1处的切线斜率为_________.

x

13．将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则

志愿者甲恰好被安排在A家庭的不同安排方法数有__________种.

1

14．fxa21ex1x2，若不等式flnxfx1在1,上恒成立，则正数a的取值范围是

2

__________.

四、解答题

15．某机构为了解科技工作者对deepseek的使用情况与年龄是否有关，从甲市科技工作者中抽取了200人

进行调查，得到下表.

使用deepseek不使用deepseek总计

年轻人（40周岁及40周岁以

100

下）

中老年人（40周岁以上）3080

总计200

(1)补全表中数据，根据小概率值0.01的独立性检验，是否可以认为科技工作者对deepseek的使用情况

与年龄有关联？

(2)将样本中使用deepseek的频率作为甲市科技工作者中使用该软件的概率，从甲市科技工作者中随机抽

取3人，记X为这3人中使用deepseek的人数，求X的分布列和数学期望.

n(adbc)2

附：2，其中nabcd.

(ab)(cd)(ac)(bd)

0.0100.0050.001

x6.6357.87910.828

16．已知函数fxax2x1ex，其中a0．

(1)当a1时，求函数fx的极小值；

(2)当x0时，fx≥e恒成立，求a的取值范围．

17．随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技

升级的研发费用，需了解该产品年研发费用X（单位：千万元）对年销售量Y（单位：千万件）的影响.根

据市场调研与模拟，对收集的数据xi,yii1,2,3,,10进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如

i1i1i1i1

2

uiviuiviui

10101010

30.5151546.5

表中ullnxl，vllnyl.

(1)根据散点图判断，yabx与ycxd哪一个更适合作为年销售量y关于年研发费用x的回归方程模型（给

出判断即可，不必说明理由）；

(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售

量的值；

(3)科技升级后，该产品的效率X大幅提高，经试验统计得X大致服从正态分布N0.52,0.012.企业对科技

升级团队的奖励方案如下：若X不超过50%，不予奖励；若X超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；

若X超过53%，每件产品奖励4元.记Y为每件产品获得的奖励，求EY（精确到0.01）.

附：①对于一组数据ui,vii1,2,3,,n，其回归直线vˆˆuˆ的斜率和截距的最小二乘估计分别为

nn

uiuivuiinuv

ˆi1i1ˆ

nn，ˆvu.

222

uiuuinu

i1i1

②若随机变量XN,20，则PX0.6827，P2X20.9545.

③e2.7.

18．已知f(x)2xlnxax2b在点(1,f(1))处与x轴相切.

(1)求a,b的值；

(2)求f(x)的单调区间；

mn

(3)若mn0，求证mn.

lnmlnn

19．在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时

送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司

每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：

3

方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为；

4

4

方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为；

5

2

方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为.

3

(1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率；

(2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：

①第1次，随机选择一种方案；

②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择

一种.

记第n次选择方案A，B，C的概率分别为an，bn，cn.

42

（i）求a，b，并证明：数列ab为等比数列；

22n5n3

（ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率.

参考答案

1．C

【详解】平均数与方差是用来反馈数据集中趋势与波动程度大小的统计量；

变量y和x之间的相关系数r的绝对值越大，则变量y和x之间线性相关关系越强；

用决定系数R2来刻画回归效果，R2越大说明拟合效果越好.

故选：C

2．D

【详解】A选项：由导函数图象可知3是函数fx的极小值点，

fx的极小值为f3，A选项错误；

B选项：fx的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误；

C选项：由导函数图象可知，当x,3时，fx0，函数单调递增，

当x3,3时，fx0，函数单调递减，C选项错误；

D选项：由图象可知f10，即函数fx在x1处切线斜率小于零，D选项正确.

故选：D.

3．A

3236

111

【详解】因为2，

x22xx

xxx

r

其展开式的通项公式为r6r1rr62r，

Tr1C6x1C6x(0r6,rN)

x

3

令62r0，得到r3，所以展开式中的常数项为T4C620.

4．D

1ax22xa

【详解】fxalnxx22x,fxx2,x0,，

2xx

若fx在0,上单调递增，则fx0在0,恒成立，

即x22xa0,ax22x,x0,，

令gxx22x,x0,，其对称轴为x1，所以gx的最大值为g11，

故只需a1．即a1,．

故选：D．

5．D

1

【详解】设Y为正面向上的次数，则Y~B4,，

2

总得分X2Y14Y3Y4,

111

由于EY42，DY411，

222

所以EXE3Y43EY42.

DXD3Y49DY919，所以D正确.

6．C

【详解】由题意得：fxx2026xmx2025xmx2025x2026，

又x2026是fx的一个极值点，所以f2026202620252026m2026m0，所以m2026，

22

所以fxx2025x2026，所以f202720272025202720262.

7．C

【详解】事件A：“区域2和区域4颜色不同”即从5种颜色选出两种放入区域2和区域4，

再从剩余的3种颜色选出一种放入区域5，剩余的区域1和区域3分别都有两种选择，

2111

即有A5C3C2C2240种，

5

AB事件有A5120种，

PAB1201

所以PB|A，

PA2402

故选：C.

8．B

xa0xa0

xfx0

【详解】fxxaeb，，x或x，

eb0eb0

xaxa

x或x，

ebeb

xaxa

fx0

当b0时，x的解为xa，x无解，故的解为xa，

ebeb

不满足fx0恒成立，故b0不符合题意；

xaxaxaxa

当b0时，x的解为，x的解为，

ebxlnbebxlnb

xaxa

当alnb时，的解为xa，解为xlnb，

xlnbxlnb

则fx0的解为xa或xlnb，不满足fx0恒成立，故alnb不符合题意；

xaxa

当alnb时，的解为xlnb，解为xa，

xlnbxlnb

则fx0的解为xlnb或xa，不满足fx0恒成立，故alnb不符合题意；

xaxa

当alnb时，的解为xa，解为xa，

xlnbxlnb

则fx0的解为xa或xa，即fx0的解为R，

满足fx0恒成立，故alnb符合题意；

alnb

，

bb

lnb1lnb

设gb，gb，

bb2

1lnb

gb0的解为0be，则gb在0,e上是单调递增函数；

b2

1lnb

gb0的解为be，则gb在e,上是单调递减函数；

b2

lne1

则gb在be处取得最大值，且最大值为ge.

ee

故选：B.

9．ACD

【详解】选项A：每名工人都有3种休息日期可选，共5名工人，根据分步乘法计数原理，总方法数为

3333335，A正确；

1111

ii011

选项B：由二项式定理，C11C11C1121，B错误；

i1i0

C1C24151

46

选项C：10个零件中有4个不合格、6个合格，抽取3个恰好1个不合格的概率为3，C正

C101202

确；

k64k64

1111k

选项D：随机变量XB64,，对应概率kk，二项式系数在

PXkC641C64C64

2222

k32时取得最大值，故X32时概率最大，D正确.

10．BD

99.51010.5111110865

【详解】A选项，x10，y8，

55

将10,8代入回归直线方程得，3.210aˆ8，解得aˆ40，A错误；

B选项，从表可以看出，y随着x的增大而减小，又r0.986，接近于1，

所以变量x，y线性负相关且相关性较强，B正确；

C选项，回归直线方程为yˆ3.2x40，当x9.5时，yˆ3.29.5409.6，

109.60.4，故相应于点9.5,10的残差约为0.4，C错误；

D选项，当x8时，y的估计值为yˆ3.284014.4，D正确.

故选：BD

11．ABC

1x0

2

【详解】函数f(x)ln(1x)ln(1x)中，1x0，解得1x0或0x1，

x

x0

即函数的定义域为(1,0)(0,1)，

22

对于A，f(x)ln(1x)ln(1x)[ln(1x)ln(1x)]f(x)，

xx

因此函数f(x)为奇函数，函数图象关于(0,0)对称，A正确；

11224x2

2

对于B，又f(x)222，当x(0,)时，f(x)0；

1x1xx(x1)x2

222

当x(,1)时，f(x)0，即f(x)在(0,)上单调递减，在(,1)上单调递增，B正确；

222

22

对于C，由奇函数的对称性知，f(x)在(1,)上单调递增，在(,0)上单调递减，

22

22

因此f(x)的极小值点为，极大值点为，C正确；

22

2

对于D，由选项B知，函数f(x)在(0,1)有最小值f()ln(322)220，

2

因此函数f(x)在(0,1)上无零点，由称性知函数f(x)在(1,0)上无零点，D错误.

故选：ABC

1

12．/0.5

2

f1f1

【详解】因为fxx，则fx1，所以f11f1，

xx2

11

解得f1，所以曲线yfx在x1处的切线斜率为.

22

13．60

【详解】由题可分以下两种情形：

①A家庭只有志愿者甲，另外4人分配到其他的3个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有

23

C4A336种；

②A家庭除了甲还有另一名志愿者，另外3人分配到其他的3个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，

13

此时有C4A324种.

故志愿者甲恰好被安排在A家庭共有362460种不同安排方法.

故答案为：60.

14．a2

1

【详解】设yx1lnxx1，则y10，

x

∴yx1lnx在1,上单调递增，∴x1lnx0，∴lnxx1，

x1,，∴0lnxx1，又flnxfx1在1,上恒成立，

∴需要fx在1,上为增函数，即对x1,，fxa21ex1x0恒成立，

x

即a21在x1,上恒成立；

ex1

x1x

令gx，x1,，则gx，

ex1ex1

当x1时，gx0，gx在1,上单调递减，故gxg11，

∴a211，解得正数a2．

15．(1)列联表见解析，可以认为两者相关联

9

(2)分布列见解析，

4

【详解】（1）依题意，补全22列联表如下：

使用deepseek不使用deepseek总计

年轻人（40周岁及40周岁以

10020120

下）

中老年人（40周岁以上）503080

总计15050200

零假设为H0：科技工作者对deepseek的使用情况与年龄无关联，

200(100305020)2

由列联表中的数据，得211.1116.635.

1505012080

根据小概率值0.01的独立性检验，可以推出H0不成立，即可以认为科技工作者对deepseek的使用情况

与年龄有关联.

15033

（2）样本中使用deepseek的频率为，由题意可知X~B3,，

20044

X的可能取值为0,1,2,3，

32

31，1339，

P(X0)1P(X1)C31

4644464

23

23327，327.

P(X2)C31P(X3)

4464464

所以X的分布列为：

X0123

192727

P

64646464

192727939

E(X)0123或E(X)3.

64646464444

16．(1)e

(2)1,

【详解】（1）当a1时，函数fxx2x1ex，求导得：

f'x2x1exx2x1exx2x1ex，

令f'(x)=0，解得x2或x1，

当x2时，f'x0，fx单调递增；

当2<x<1时，f'x0，fx单调递减；

当x1时，f'x0，fx单调递增；

x1是极小值点，代入函数得f11211e1e．

（2）ax2x1exe,x0恒成立，

ex0，不等式化为ax2x1e1x，

x1e1x

整理得ax2x1e1x，x>0，问题转化为ax0，

x2

x1e1x

令hx，则ahx，

x2max

1e1xx2x1e1x2x

h'x，令分子为0，化简得

x4

1e1xx2x1e1x，整理得e1xx2x2，

x>0，x20，故e1x1，解得x1，

当0x1时，h'x0，hx单调递增；

当x1时，h'x0，hx单调递减；

11e0

hx在x1处取得最大值：h11，

12

21

当a1时，fxx2x1ex，x1时f1111ee，

且对所有x0，fx≥e成立；

当a1时，x1处f1a2e<e，不满足条件，

a的取值范围为1,．

17．(1)ycxd更适合

1

(2)yex3，8.1千万件

(3)2.27

【详解】（1）根据散点图可判断，ycxd更适合作为y关于x的回归方程模型.

（2）由ycxd得：lnylncdlnx，即vlncdu，

由表中数据得：vu1.5，

10

uivinuv

i130.5101.51.51

所以d10，

2246.5101.51.53

uinu

i1

1

所以lncvdu1.51.51，所以ce，

3

1

y

所以关于x的回归方程为yex3.

当x27时，y3e8.1，即年研发费用为27千万元时年销售量为8.1千万件.

（3）因为20.5，0.53，

所以P0.50X0.53P2X

0.95450.6827

P2XPX0.68270.8186，

2

10.6827

所以PX0.53PX0.1587，

2

所以EY020.818640.15872.2722.27（元）.

18．(1)a1,b1

(2)单调递减区间为0,，无单调递增区间

mmn

(3)因为mn0，则1，要证mn，

nlnmlnn

mn

即证lnmlnn，

mn

mnm

即证ln，

nmn

m

设t，则t1，

n

1t1

即证tlnt22lnt，即证lnt0t1，

t22t

2

t1111t1

令Ftlnt，Ft0，

22t2t2t22t2

11t1t1

又F1ln10，所以Ftlnt在1,上单调递增，FtlntF10，

2222t22t

t1

即lnt0t1，故不等式成立.

22t

【详解】（1）因为f(x)2xlnxax2b在点(1,f(1))处与x轴相切，f(x)2lnx2ax2，

所以f(1)2ln12a20，f(1)2ln1ab0，解得a1,b1.

（2）由（1）得，f(x)2xlnxx21，定义域为0,，f(x)2lnx2x2，

2

令gxfx，则g(x)2，

x

令g(x)0，则x1，

当x0,1时，g(x)0，fx单调递增，所以f(x)f10，所以fx单调递减，

当x1,时，g(x)0，fx单调递减，f(x)f10，所以f(x)单调递减，

所以f(x)的单调递减区间为0,，无单调递增区间.

（3）略

133

19．(1)

180

91191

(2)（i），，证明见解析；（ii）能

270540

【详解】（1）设选择方案A，B，C分别为事件A，B，C，物流提前送达为事件Z，

1

则PAPBPC，

3

342

PZA，PZB，PZC，

453

PZPAPZAP(B)PZBP(C)PZC

314121133

.

435333180

1

（2）（i）由①知道abc.

1113

由②根据全概率公式

311111191

a21a1b1c1，

4435333270

1141111191

b2a11b1c1.

4355333540

设第n次物流选择方案A，B，C为事件An，Bn，Cn，第n次物流提前送达为事件Zn，

则anPAn，bnPBn，cnPCn，因为anbncn1，所以cn1anbn，

342342122

所以PZabcab1abab.