专题20 一次函数与三角形综合问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（解析版）

1/10专题20一次函数与三角形综合问题的五类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、一次函数与三角形的面积问题类型二、一次函数与三角形全等问题类型三、一次函数与三角形存在问题类型四、一次函数中的折叠综合问题类型五、一次函数中的旋转综合问题压轴专练类型一、一次函数与三角形的面积问题1.求交点坐标：先求出一次函数图像与坐标轴的交点，或几条直线之间的交点。这些交点就是三角形的顶点。2.确定底和高：观察顶点坐标，选择在坐标轴上或平行于坐标轴的边作为"底"。这样长度计算最简单。另一条垂直于它的边就是"高"。3.套用面积公式：计算出底和高的长度后，代入公式S=½×底×高即可求出面积。例1．（25-26八年级上·浙江·月考）如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点．(1)求点坐标；(2)求的面积；(3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)12(3)的坐标为或．【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标；（2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积．（3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标．【详解】（1）解：由直线可知：令，则，∴；（2）解：，∴点与轴的距离是4，∵，的面积；（3）解：存在；∵直线，∴，，，，，当点在延长线上时设，，

，，的横坐标为或10(舍去），代入直线得，，的坐标为，当点在线段延长线上时，设，，，，的横坐标为（舍去）或2，代入直线得，，的坐标为．综上所述：的坐标为或．【变式1-1】（2025·河北·一模）如图，直线交x轴于点A，直线l交x轴于点，且与直线交于点．(1)求直线l对应的函数解析式；(2)求的面积；(3)若P是直线上的点，当的面积与的面积的比为时，求点P的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本题主要考查了一次函数的综合，求一次函数解析式，直线围成的三角形面积，解题的关键是熟练掌握待定系数法．（1）先求出点C的坐标，再用待定系数法求出函数解析式即可；（2）先求出点，得出，再根据三角形面积公式进行求解即可；（3）先根据，，求出，从而得出或，代入中，求出点P的坐标．【详解】（1）解：将点代入中，得，∴点，设直线l对应的函数解析式为，将点，代入，得，解得，∴直线l对应的函数解析式为；（2）解：在中，令，解得，∴点，∴，∴；（3）解：∵，，∴，∴，∴，∴或，将或代入中，解得或，∴点P的坐标为或．【变式1-2】（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E．(1)求点A、B的坐标；(2)求直线的解析式；(3)求的面积；(4)在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标．【答案】(1)，(2)(3)5(4)和【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、三角形面积等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．（1）分别求解即可；（2）先求出点D的坐标，再用待定系数法求直线解析式即可；（3）先求出的长，再根据求解即可；（4）先求得，即；再分两种情况：当点P在点D下方时，当点P在点D上方时，根据三角形的面积公式、列方程求解即可．【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴当时，，即；当时，，即．（2）解：∵直线经过点，，，设直线的解析式为，∴，即，∴直线的解析式为．（3）解：∵，，∴，∴．（4）解：∵直线的解析式为．∴，∴，∴，∴；①如图，当点P在点D的上方，设点P的坐标为，∵，∴，解得：，∴；②如图，当点P在点D的下方，设点P的坐标为，∵，∴，解得：，∴．综上，点P的坐标为和．【变式1-3】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，点，，且，满足，将直线沿轴向右平移个单位长度交轴于点，交轴于点．(1)求三角形的面积；(2)如图1，若，求的值；(3)如图2，当时，过点作轴的平行线交直线于点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿射线运动，设运动时间为秒，连接交轴于点，若三角形的面积不大于三角形的面积的一半，求的取值范围．【答案】(1)6(2)(3)【分析】（1）由可得，，故，用三角形面积公式得三角形的面积为6；（2）用待定系数法求出直线AB解析式为，则平移后的解析式为，把代入计算即可；（3）先证明，得到，则，，，再根据三角形的面积不大于三角形的面积的一半，得到，解得，最后根据当在左侧或右侧分情况讨论，结合求出和直线解析式，再得点坐标，求出，根据计算即可．【详解】（1）解：∵，满足，∴，∴，，∴，，∴，，∴，∴；∴三角形的面积为6；（2）解：设直线解析式为，把，代入得：，解得，∴直线解析式为，∴将直线沿轴向右平移个单位长度后解析式为，当时，，把代入得，解得；（3）解：∵，∴，，∵，∴，∴，∴，，，∵三角形的面积不大于三角形的面积的一半，∴，解得，当在左侧，且时，∵，∴，由，得直线解析式为，令得，∴；此时，∴（秒）；当在右侧，且时，∵，∴，由，得直线解析式为，令得，∴；此时，∴（秒）；∴三角形的面积不大于三角形的面积的一半，t的取值范围是．类型二、一次函数与三角形全等问题1.求坐标是前提：利用一次函数解析式求出关键点的坐标。比如直线与坐标轴的交点，或两条直线的交点。这些坐标是后续计算的基础。2.计算边长或斜率：根据坐标计算三角形的边长。用"两点间距离公式"可算出边长。也可计算直线斜率来判断角度关系。3.运用全等判定：把计算得到的边长或角度关系，与全等三角形判定定理相对照。通过SSS、SAS、ASA等定理判断两个三角形是否全等。例2．如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（

）

A．3或 B．4或 C．3或 D．4或【答案】D【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形的性质、用勾股定理解三角形【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．根据题意解方程得到，则，令，则，求得，，根据勾股定理得到，①当时，如图1，②当时，如图2，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：，，，，在中，令，则，令，则，，，由勾股定理得，①当时，如图1，

，，；②当时，如图2，

，，，综上所述：的长为或4．故选：D．【变式2-1】如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为．【答案】或【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形的性质【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，先求出两点的坐标，进而求出的长，分或两种情况进行讨论求解即可．利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．【详解】解：当时，，∴点B的坐标为0,2，∴，当时，，解得：，∴点A的坐标为，∴，∴，∵，∴，如图所示，∵，，∴，当以C、D、A为顶点的三角形与全等时，共有或两种情况，当时，，∴点D的坐标为，即；当时，，∴点D的坐标为．综上所述，点D的坐标为或．故答案为：或．【变式2-2】如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，于点C，点P在直线上运动，点Q在y轴的正半轴上运动．

(1)求点A，B的坐标；(2)求的长；(3)若以O，P，Q为顶点的三角形与全等，求点Q的坐标．【答案】(1)，；(2)(3)Q的坐标为或或【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形【分析】（1）将和分别代入求解即可；（2）首先根据点A和点B的坐标得到，然后利用勾股定理求出，然后利用代入求解即可；（3）首先根据题意得到是的斜边，Q为直角顶点，然后设，则，然后分3种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可．【详解】（1）在中，令得，令得，∴，；（2）由（1）知，，∴，∴，∵，∴；（3）∵以O，P，Q为顶点的三角形与全等，∴是的斜边，Q为直角顶点，设，则，当，P在C下方时，如图：

则，∴，∴，∴，∴；当，P在C上方时，如图：

∵，∴．∴，∴，∴；当时，如图：

则，∴；综上所述，Q的坐标为或或．【变式2-3】（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点．(1)求，两点的坐标；(2)求点的坐标，并求出直线的函数关系式；(3)若点是图中直线上的一点，连接，得到图，当点的纵坐标为时，求的面积；(4)若点是图1中坐标平面内不同于点、点的一点．当以点，，为顶点的三角形与全等时，直接写出点的坐标．【答案】(1)点的坐标是，点的坐标是(2)点的坐标是，直线的解析式是(3)(4)或或．【分析】本题主要考查了一次函数综合题、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形解决问题．(1)根据一次函数的解析式求出直线与轴、轴交点的坐标即可；(2)过点作，可证，根据全等三角形的性质求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式；(3)根据点的纵坐标是且在直线上，求出点的坐标，把看作三角形的底边，则三角形的高是点横坐标的绝对值，根据三角形的面积公式求出结果；(4)因为与有一条公共边，根据全等三角形的性质，分情况求出点的坐标．【详解】（1）解：当时，可得：，点的坐标是，当时，可得：，解得：，点的坐标是；（2）解：如下图所示，过点作，由(1)可知点的坐标是，点的坐标是，，，，，，，，，在和中，，，，，，点的坐标是，设直线的解析式是，则有，解得：，直线的解析式是；（3）解：点的纵坐标是且在直线上，可得：，解得：，点的坐标是，的面积是；（4）解：如下图所示，当点与点关于轴对称时，，点的坐标是，点的坐标是；如下图所示，当，时，过点作，则有，，当时，可得：，解得：，，，点的坐标是；如下图所示，当与关于轴对称时，，点的坐标是；综上所述，点的坐标是或或．已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)．(1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标；(2)△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；(3)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．【答案】(1)E（，）(2)△AOB≌△FOD，理由见详解；(3)P（0，-3）或（4，1）或（，）.【分析】（1）连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，首先求出点A，点B，点C，点D的坐标，然后根据点E到两坐标轴的距离相等，得到OE平分∠BOC，进而求出点E的坐标即可；(2)首先求出直线DE的解析式，得到点F的坐标，即可证明△AOB≌△FOD；(3)首先求出直线GC的解析式，求出AB的长，设P（m，m-3），分类讨论①当AB=AP时，②当AB=BP时，③当AP=BP时，分别求出m的值即可解答.(1)解:连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，∴A（1，0），当x=0时，y=3，∴OB=3，B（0，3），∵点D与点C关于y轴对称，C（3，0），OC=3，∴D（-3，0），∵点E到两坐标轴的距离相等，∴EG=EH，∵EH⊥OC，EG⊥OC，∴OE平分∠BOC，∵OB=OC=3，∴CE=BE，∴E为BC的中点，∴E（，）；(2)解:△AOB≌△FOD，设直线DE表达式为y=kx+b，则，解得：，∴y=x+1，∵F是直线DE与y轴的交点，∴F（0，1），

∴OF=OA=1，∵OB=OD=3，∠AOB=∠FOD=90°，∴△AOB≌△FOD；(3)解:∵点G与点B关于x轴对称，B（0，3），∴点G（0，-3），∵C（3，0），设直线GC的解析式为：y=ax+c，，解得：，∴y=x-3，AB==

，设P（m，m-3），①当AB=AP时，=整理得：m2-4m=0，

解得：m1=0，m2=4，∴P（0，-3）或（4，1），②当AB=BP时，=m2-6m+13=0,△＜0故不存在，③当AP=BP时，=，解得：m=，∴P（，），综上所述P（0，-3）或（4，1）或（，），【点睛】此题主要考查待定系数法求一次函数，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定，勾股定理.类型三、一次函数与三角形存在问题1.

明确已知与未知：先确定题目中已给出的点和直线。明确要构造的三角形需要满足的条件。例如，"以AB为边"或"面积为5"等。2.

分情况讨论：根据条件的不确定性进行分类。-若未指定底边，分别以不同线段为底进行讨论-若涉及等腰或直角三角形，要考虑不同顶点的可能性3.

代数化求解：设出未知点坐标，利用函数关系表示其坐标。根据几何条件（如边长相等、面积公式、斜率关系）列出方程。解出坐标后代回验证，确保符合题意。例3．如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点．(1)求直线l的解析式及点A，B的坐标．(2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标．【答案】(1)，，(2)或或【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、几何问题(一次函数的实际应用)、等腰三角形的定义【分析】（1）根据平移的规律得出直线l的解析式，由函数解析式令求A点坐标，求B点坐标；（2）分，两种情况讨论即可．【详解】（1）解：将直线向下平移2个单位长度得到直线l，∴直线l的解析式为，当时，，解得，当时，，∴，；（2）解：∵，，∴，，∵，∴，设，当时，，解得或，∴M的坐标为或；当时，∵，∴，∴M的坐标为；综上，M的坐标为或或．【变式3-1】如图，过点的直线与坐标轴相交于、两点，已知点是第二象限的点，设的面积为．

(1)写出与之间的函数关系，并写出的取值范围；(2)当的面积为时，求出点的坐标；(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使得与、、中任意两点形成的三角形面积也为，若存在，请直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)(3)存在，，，，，，．【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)【分析】（1）先求出点A坐标，由可求函数关系式，（2）将代入函数解析式可求得点；（3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点M．【详解】（1）解：点在第二象限，则因为当时，x，则（)（2）由（1）可知当则此时：所以（3）存在点M满足条件，I．当M点在y轴时，若，即，∴，∴，∴当点M在原点上方时，点M坐标为，∴当点M在原点下方时，点M坐标为，II．当M点在y轴时，若，即，∴，∴，∴当点M在原点上方时，点M坐标为，∴当点M在原点下方时，点M坐标为；III．当M点在y轴时，若，即，

，∴，∴当点M在点B上方时，点M坐标为，∴当点M在点B下方时，点M点M与点O重合，不合题意舍去；；IV．当M点在x轴时，若，即，∴，∴，∴当点M在原点右侧时，点M坐标为，∴当点M在原点左侧时，点M坐标为，与点A重合，不合题意舍去；V．当M点在x轴时，若，即，∴，∴，∵点A坐标为，∴当点M在点A左侧时，点M坐标为，∴当点M在点A右侧时，点M与点O重合，不合题意舍去；综上所述：点M坐标为，，，，，．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程，解题的关键是分类讨论的数学思想．【变式3-2】如图，已知点是正方形的一个顶点，E是AB的中点，点P是直线CE上一点．(1)求点E的坐标和直线的解析式；(2)若的面积为21，求此时P点坐标；(3)若点P是直线在第一象限的一个动点，连接，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由．【答案】(1)点E的坐标为，直线的解析式为(2)或(3)或或【知识点】坐标与图形、几何问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形【分析】本题考查题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、以及勾股定理，掌握待定系数法是解题的关键．（1）先根据正方形的性质求出点E和C的坐标，利用待定系数法求函数解析式即可；（2）设点P的坐标为，利用列方程解题；（3）设点P的坐标为，分为，和三种情况，利用勾股定理计算即可解题．【详解】（1）解：∵点是正方形的一个顶点，∴，∵E是AB的中点，∴，∴点E的坐标为，设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析式为，（2）解：设点P的坐标为，∴，解得：，当时，；当时，；∴点P的坐标为或；（3）解：设点P的坐标为，当时，，解得：，，∴点P的坐标为或（舍去）；当时，，即，解得，∴点P的坐标为；当时，解得：（舍去）或，∴点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或或．类型四、一次函数中的折叠综合问题1.利用折叠性质：折叠前后，对应线段长度相等，对应角相等。折叠后，对应点的连线被折痕垂直平分。这是解题的关键。2.坐标与函数结合：根据一次函数解析式，确定关键点坐标。例如直线与坐标轴的交点，或折叠前后的对应点。利用"两点间距离公式"计算线段长度，或利用中点坐标公式找到对称点。3.方程思想求解：设出未知点的坐标，根据折叠的性质列出方程。解方程求出坐标后，再代入函数解析式，得到最终答案。例4．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图．一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，将沿直线对折，点恰好与点重合，直线与轴交于点，与交于点．(1)求点的坐标；(2)求四边形的面积．【答案】(1)(2)44【分析】本题考查求一次函数图象与坐标轴的交点坐标，折叠的性质，勾股定理，解方程，三角形的面积公式；（1）连接，求出点和点的坐标，由折叠的性质得，设，根据勾股定理列方程求解即可；（2）求出和，根据折叠的性质得，由即可解答．【详解】（1）解：连接，当时，；当时，，解得；∴点的坐标为，点的坐标为，即，，由折叠的性质可知：垂直平分，∴，设，则，在中，根据勾股定理得：，即，解得，∴点的坐标为；（2）解：∵，，，∴，∴，∴，，由折叠的性质可知：，∴，∴，即四边形的面积是44．【变式4-1】（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．(1)点的坐标是______，点的坐标是______，的长为______；(2)求点的坐标；(3)在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；；5(2)(3)存在，点的坐标为或或．【分析】（1）直接利用直线求得点和点的坐标，则可得到、的长，然后依据勾股定理可求得的长；（2）由折叠的性质可得到，，利用可得的坐标，然后依据勾股定理即可求解；（3）分三种情况：①若；②若；③若；分别利用全等三角形的判定及性质求解即可.【详解】（1）解：令得∴；，令得解得∴，，在中，，故答案为：，，5；（2）解：由折叠的性质可知，，，设，则，在中，，则，解得：，，；（3）解：存在，理由如下：①若，如图，过点作轴交轴于点，，，，，，∴，，，∴此时点的坐标为；②若，如图，过点作轴交轴点，同理可得，此时点的坐标为；③若，如图，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，，，，，，，设点的坐标为，，解得：，∴此时点的坐标为；综上所述，点的坐标为或或．【变式4-2】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知长方形的顶点在轴上，顶点在轴上，，，、分别为，上的两点，将长方形沿直线折叠后，点刚好与点重合，点落在点处，再将其打开、展平．(1)点的坐标是__________；(2)求直线的函数表达式；(3)设动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿折线向终点运动，运动时间为秒，当的面积是30时，求的值．【答案】(1)(2)(3)的值为或或．【分析】（1）根据，，知．（2）设，则，可得，解得，故，，证明，知，再用待定系数法可得直线的函数表达式为；（3）分当时，P在线段上，当时，P在线段上，当时．P在线段上三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算可得答案．【详解】（1）解：，，，故答案为：．（2）解：设，则，根据翻折的性质可得，，，，解得：，，，，，，，，设直线的函数表达式为，把，代入得：，解得：，直线的函数表达式为；（3）解：，，，当时，P在线段上，，，解得；当时，P在线段上，如图：此时，，，，，解得：；当时．P在线段上，如图：，由题意得，解得：，（不符合题意舍去）；综上所述，的值为或或．【变式4-3】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与直线交于点，两直线与轴分别交于点和．(1)填空：_____，_____，点的坐标为_____；(2)点是直线上一点，当最小时，求三角形的面积；(3)如图2，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点，若为直角三角形，求点坐标．【答案】(1)，，(2)(3)点或【分析】（1）把点的坐标代入，求得的值，进而将以及代入求解即可．（2）设与轴交于点，根据直线解析式分别求得的坐标，勾股定理得出，进而可得是等腰三角形，进而根据点是的中点，根据三线合一可得垂直平分，得出点的位置，进而根据三角形的面积公式，即可求解．（3），，分两种情况求解即可．【详解】（1）解：将代入得，解得，故直线的解析式为．把，代入，得，解得，∵直线的解析式为；当时，，解得：∴点的坐标为故答案为：，，．（2）解：如图，设与轴交于点，∵直线的解析式为．当时，；当时，，∴，∴，，的中点为又∵点的坐标为，∴，∴，∴∴，又∵∴是的中点，∴∴又∵点是直线上一点，∴当点为直线与轴的交点时最小∵直线的解析式为；当时，∴∵∴（3）解：设点，如图，

当时，过点作于点，∵，，沿直线翻折得到，∴，，，，∴，∴，，解得，故点；如图，

当时，过点作于点，∵，，沿直线翻折得到，∴，，，，，∴，∴，∴，，，解得，故点；综上所述，点或．类型五、一次函数中的旋转综合问题方法总结1.抓旋转中心：绕某点旋转时，该点坐标不变，利用此点建立前后直线方程的联系。2.斜率关系：旋转90°时，新k与原k互为负倒数(k≠0)；旋转特殊角度时，结合三角公式求新斜率。解题技巧1.先求中心点坐标：通过已知条件求出旋转中心的准确坐标。2.点斜式建方程：已知中心点和旋转后的斜率，用点斜式直接写出新直线方程。例5．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）【模型建立】（1）如图①，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：．【模型应用】（2）如图②，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转至直线的位置，求直线的函数表达式．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先证明，进而用即可证明；（2）作交直线于点，作轴于点，由旋转得，则，由（1）可得，求解两点坐标，得到长度，确定坐标，设直线的函数表达式，把代入，求解即可．【详解】（1）证明：于点于点，，，，又，；（2）解：如图，作交直线于点，作轴于点，由旋转得：，，，∴由（1）同理可得，，直线，当时，则，解得；当时，，，，，，设直线的函数表达式为，把代入，得，解得，直线的函数表达式为．【变式5-1】（25-26七年级上·山东泰安·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．【模型呈现】如图1，等腰直角三角形中，，．过A作于点D，过B作于点E．试说明：；【模型应用】如图2，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰，求点C的坐标及直线的表达式；【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求的面积．【答案】模型呈现：说明见解析；模型应用：；；深入探究：【分析】模型呈现：先根据直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的判定即可证明结论；深入探究：过点C作轴于点H，先证明，可得，，则点，再用待定系数法求直线的解析式即可；深入探究：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，同样先证明，可求得，再用待定系数法求直线的解析式，进一步求出，的长，即可求得答案．【详解】模型呈现：证明：在中，，，，于点，于点，，，，在和中，，；模型应用：解：令，则，令，则，则点A，B的坐标分别为：、，过点C作轴于点H，如图所示：，，，，又，，，，，，则点，设直线的解析式为，将点A、C的坐标代入一次函数表达式得：，解得，故直线的表达式为；深入探究：解：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，如图：把代入得，解得，把代入得，，，，，直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，设直线的解析式为，把代入得，解得，直线的解析式为，在中，令得，，，，的面积为．【变式5-2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）【模型建立】（1）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：≌；【初步应用】（2）将点绕坐标原点逆时针旋转，得到点，则点坐标为______；将点绕坐标原点逆时针旋转，得到点，则点坐标为______．【解决问题】（3）已知一次函数的图象为直线，将直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，则直线相应的一次函数表达式为______．【综合运用】（4）将函数的图象先向上平移个单位，再向左平移个单位，最后再绕着坐标原点逆时针旋转，所得图象相应的函数表达式为______．【答案】（1）见解析；（2），；（3）；（4）【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，点的坐标的确定方法，旋转的性质，借助（1）的结论是解本题的关键．（1）利用同角的余角相等判断出，即可得出结论；（2）利用（1）的结论判断出，，即可得出点的坐标，点的坐标同求点的方法；（3）先求出点，的坐标，借助（1）的结论求出点的坐标即可得出结论；（4）先求出平移后的直线的解析式，再借助（2）的方法得到答案．【详解】（1）证明：，，，，，，，在和中，，；（2）解：如图，过点作轴于，过点作轴于，，，，同（1）的方法知，，，，，同求点的方法得，，故答案为，；（3）解：如图，令，则，，，令，则，，，，将直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，过点作轴于，同（2）的方法得，，，，，点绕点逆时针旋转的对应点，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，故答案为：；（4）解：如图，直线先向上平移个单位的解析式为，再向左平移个单位的解析式为，得到直线的解析式为，取直线的一点，绕着坐标原点逆时针旋转，同的方法得，直线上的点绕原点逆时针旋转的对应点，设旋转后的直线的解析式为，，，旋转后的直线的解析式为，故答案为：．【变式5-3】（25-26八年级上·江苏苏州·周测）【提出问题】（1）将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________；【初步思考】（2）将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为___________，___________，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为___________．【解决问题】（3）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．将一次函数的图象关于轴对称，所得图象对应的函数表达式为___________；【深度思考】（4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题：①如图1，将直线绕点逆时针旋转90°，则所得图象对应的函数表达式为___________．②如图2，将直线绕点逆时针旋转45°．则所得图象对应的函数表达式为___________．【拓展应用】（5）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为___________．【答案】（1）；（2），，；（3）；（4）①；②；（5）或【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．（1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可；（2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（3）找出与坐标轴的交点坐标，进而求出关于x轴对称点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（4）①设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D，结合全等三角形的性质可求解A，C的坐标，再利用待定系数法可求对应的函数表达式；②过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A，D的坐标，再利用待定系数法可求得解析式；（5）分A为直角顶点和B为直角顶点讨论，根据全等三角形的判定与性质求解即可．【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为．故答案为：；（2）∵，，∴将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、，设直线的一次函数解析式为，∴．∴．∴过点、的直线对应的函数表达式为．故答案为：，，；（3）设一次函数的图象与y轴的交点为点A，与x轴的交点为点B，∵，当时，，∴点，当时，，解得，∴点．如图，∵一次函数的图象关于x轴对称，，∴，设所得到的图象对应的函数表达式为，∴，解得．∴所得到的图象对应的函数表达式为；（4）①如图，设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D，∴，，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，，∴，∴，设所得到的图象对应的函数表达式为，∴，解得．∴所得到的图象对应的函数表达式为；②如图，过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E，∵将直线绕点A逆时针旋转，∴，∴，，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，，∴，∴，设所得到的图象对应的函数表达式为，∴，解得．∴所得到的图象对应的函数表达式为；（5）当A为直角顶点时，过C作轴于M，过B作轴于N，如图，则，又，∴，又，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∴；当B为直角顶点时，过B作轴于N，过C作于M，如图，同理可证，∴，，∴，∴，综上，C的坐标为或．一、单选题1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点E为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在x轴正半轴上存在点F，使得以O、E、F为顶点的三角形与全等，这样的点F有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查了一次函数的应用、全等三角形的性质、勾股定理等知识，正确分类讨论是解题关键．先分别求出，，，，再分两种情况：①和②，根据全等三角形的性质和一次函数的性质求解即可得．【详解】解：将代入得：，解得，∴，将代入得：，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵是的斜边，∴也是以为顶点的三角形的斜边，则分以下两种情况：①如图1，当时，∴，∴此时点的坐标为；②如图2和图3，当时，∴，∴点的纵坐标为或，将代入得：，解得，∴此时点的坐标为；将代入得：，解得，∴此时点的坐标为；综上，这样的点有3个．故选：C．2．（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（

）A． B．或 C．或 D．【答案】C【分析】先求一次函数与坐标轴的交点，分别令和得到y轴和x轴的交点坐标，再利用三角形面积得到方程，解方程即可．【详解】解：当时，，函数与y轴的交点为，当时，，解得，函数与x轴的交点为，函数图像与坐标轴围成的三角形面积为6，三角形的两条直角边长分别为和，，整理得，或，解得或，均满足，即函数图象与坐标轴围成三角形的条件，的值为或．3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，直线（是常数）与三角形的边有交点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，将B、C两点坐标代入解析式确定k的边界点是解题关键．把B点和C点坐标分别代入中求出对应的值，即可确定k的取值范围．【详解】解：当直线经过点时，，解得；当直线经过点时，，解得，当时，直线是常数）与三角形的边有交点，故选：A．二、填空题4．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）函数的图象不经过第____________象限，它与轴的交点坐标是____________，它与轴的交点坐标是____________，与两坐标轴围成的三角形面积是____________．【答案】二9【分析】本题主要考查了一次函数的性质，直线经过的象限，直线与坐标轴的交点坐标以及围成三角形的面积等，解题的关键是掌握一次函数的性质．通过一次函数的比例系数和与轴的交点坐标判断图象所经象限；令求与x轴交点；令求与y轴交点；利用交点坐标计算直角三角形面积．【详解】解：函数是一次函数，比例系数，随的增大而增大，且与轴的交点坐标为，∴直线经过第一、第三和第四象限，不经过第二象限，故答案为：二；当时，，解得，∴与轴的交点坐标是，故答案为：；当时，，∴与轴的交点坐标是，故答案为：；直线与两坐标轴围成的三角形是直角三角形，两直角边长度分别为6和3，∴三角形面积为，故答案为：9；5．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，已知一次函数的图象为，当，，不能围成三角形，则_____．【答案】或或【分析】本题考查了两直线的交点问题以及平行问题，数形结合、分类讨论是解题的关键．先求出直线的交点，然后分三种情况求解即可．【详解】解：由题意得，，解得，∴直线交于点，当直线经过点时，符合题意，此时，解得；当直线时，符合题意，则；当直线时，符合题意，则；综上：当，，不能围成三角形，则或或，故答案为：或或．6．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）一次函数与x轴，y轴分别交于A点和B点，点P为x轴上的一个动点，若以P、A、B三点形成的三角形为等腰三角形，则点P坐标为____．【答案】或或或【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的定义，勾股定理，先根据一次函数解析式求出点A和点B的坐标，进而利用勾股定理求出的长，再分，和三种情况，讨论求解即可．【详解】解：在中，当时，，当时，，∴，∴，∵，∴；当时，则点P的坐标为或，即点P的坐标为或，当时，为等腰三角形，∵点B在y轴上，点A、P在x轴上，∴为中边上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知也是边上的中线，∴为的中点，∴，且点P在x轴负半轴，∴点P的坐标为；当时，则，设点P的坐标为∴，解得，∴点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或或或，故答案为：或或或．三、解答题7．（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点．(1)求一次函数的表达式．(2)点在一次函数的图象上．若是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标．【答案】(1)(2)或【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，根据直角三角形确定点的坐标，解题的关键是掌握以上性质．（1）利用待定系数法求直线的解析式即可；（2）分两种情况进行讨论，根据直角三角形的定义进行求解即可．【详解】（1）解：将，代入得，解得一次函数的表达式为；（2）解：①当时，点在一次函数图象上．解得，，且是轴上的动点，；②当时，过点作，垂足为，由（1）得则，，设，则，由勾股定理得，，，，由勾股定理得，，解得，，；综上，点的坐标为或．8．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合．(1)求直线对应的函数表达式；(2)求的长；(3)P为直线上一点，，求点P的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本题考查了一次函数表达式的求解，勾股定理的应用及三角形面积公式的运用．（1）利用待定系数法，将直线所过的两个点的坐标代入一次函数表达式，求解出函数表达式；（2）先根据勾股定理求出的长度，再利用折叠的性质得到相关线段的长度关系，通过设未知数，根据勾股定理列出方程求解的长；（3）设出点P的坐标，根据三角形面积公式列出方程，求解得到点P的坐标．【详解】（1）解：设直线对应的函数表达式为：，∵直线交坐标轴于点，，∴，解得：，∴直线对应的函数表达式为：．（2）解：由题意可知：，，，∴，∵将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合，，，∴，设，则，在中，由勾股定理得，解得，即．（3）解：∵P在直线上，∴设，∵，∴，解得或，①当时，，②当时，，∴或．9．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．(1)求两点的坐标；(2)若轴正半轴上有一点，当时，求点的坐标；(3)若轴上有一点，将沿直线折叠，当点恰好落在直线上时，请求出点的坐标．【答案】(1)(2)点的坐标为(3)点的坐标为或【分析】（1）当时，，当时，，即可求得两点的坐标；（2）设，则，根据题意，得，解答即可；（3）分点D在x轴的正半轴和负半轴两种情况，根据勾股定理，折叠的性质求解即可．本题考查了直线与坐标轴的交点计算，坐标轴上的两点之间的距离，三角形的面积，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，；（2）解：设，则，，，解得或（舍去），点的坐标为；（3）解：当点D在x轴的正半轴上时，如图①，将沿直线折叠，点恰好落在直线上的点处，，，，由翻折得，，，在中，即，解得，；当点在轴的负半轴上时，如图②，将沿直线折叠，当点恰好落在直线上的点处，由翻折得，，，，在中，即，解得，；综上所述，点的坐标为或.10．（24-25八年级下·河北唐山·月考）如图1，直线经过两点，且与直线交于点．(1)求直线的表达式和点的坐标；(2)如图2，已知点，过点作直线的平行线交直线于点．①求直线的表达式；②判断是什么特殊的三角形？（直接写出结果，不必说明理由）【答案】(1)，(2)①；②等腰直角三角形【分析】此题考查一次函数的应用，（1）利用待定系数法求出函数解析式，解两直线解析式组成的方程组即可求出点的坐标；（2）①利用平行直线的性质设直线的解析式为，利用待定系数法求出函数解析式；②利用点P，C的坐标得到轴，，，由此得到是等腰直角三角形．【详解】（1）设直线l的解析式为，将和代入，得：，解得：，∴直线l解析式为；解方程组：，得：，∴；（2）解：①∵过点作直线的平行线交直线于点．∴设直线的解析式为，将点代入，得，解得，∴直线的解析式为；②∵，∴轴，，∴，∴是等腰直角三角形．11．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，直线与直线相交于点，直线与轴交于点．(1)填空：，；(2)求的面积；(3)点是轴上一个动点，①当值最小时，请直接写出点的坐标；②当以点为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标．【答案】(1)2，(2)24(3)①；②或【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，轴对称的性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是分类讨论直角．（1）将点C代入直线中可求解m的值，再将点C代入直线中即可求解n的值；（2）先求解出点A与点D的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可；（3）①先找到点B关于x轴的对称点点，即可得点的坐标，连接，待定系数法可求解直线的函数表达式，令即可求解点P的坐标；②分类讨论和两种情况求解点的坐标即可．【详解】（1）解：∵点在直线上，∴，解得，∴点，∵点在直线上，∴，解得，故答案为：2，；（2）解：∵直线与轴，轴分别交于两点，令，可得；令，可得，∴点，点，∵直线与轴交于点，令，可得，∴点，∴，∴；（3）解：①作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则，此时值最小，最小值为，∵点，∴点B关于x轴的对称点点，又点，设直线的表达式为，∴，解得，∴直线的表达式为，令，可得，∴点的坐标为；故答案为：；②∵，∴，当时，∴，即，∴点的坐标为；当时，又，∴，即，∴点的坐标为；综上，点的坐标为或．故答案为：或．12．（25-26八年级上·全国·单元测试）【探索发现】如图①，等腰直角三角形中，．直线经过点，过作于点，过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．【迁移应用】已知直线与轴、轴分别交于两点．(1)如图（2），当时，在第一象限构造等腰直角三角形．①________，________；②点的坐标为________．(2)如图③，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，且．连接的面积是否发生变化？请说明理由．【答案】(1)①8；6

②(2)的面积不发生变化．理由见解析【分析】（1）把代入即得解析式，分别令求出的长，过点作轴于点，利用三角形全等即可求出点的坐标；（2）过点作轴于点．同样利用三角形全等可以得出结论．【详解】（1）解：（1）①若，则直线．当时，，．当时，，，．②如图②，过点作轴于点，，．是以为直角顶点的等腰直角三角形，．，，，，，点的坐标为．故：①8

6

（2）（2）解：的面积不发生变化．理由如下：当变化时，点随之在轴负半轴上运动，．如图①，过点作轴于点．，．，，，．，，，．故当变化时，的面积不发生变化．【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，掌握几何模型“型全等”的特点是解题的关键．13．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：已知直线l：（k为常数）绕定点旋转，则称直线l为“旋转簇直线”，点为“旋转簇直线”的不动点，(1)求直线l：的不动点坐标；(2)已知直线：与x、y轴分别交于点A、B．①如图1，直线l：（k为常数）绕不动点P旋转时，与y轴正半轴相交于点Q，且点Q在点B上方，当时，求点Q坐标；②）如图2，直线与x正半轴交于点C，与直线相交于第一象限内的点D，且恒有，试问直线是否为“旋转簇直线”，若是，请求出不动点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)①；②直线是“旋转簇直线”，不动点的坐标【分析】（1）由直线l：，令，即可解答；（2）①先求出，过点A作，垂足为，分别过点，点E作x轴的垂线，垂足分别为，由题意得，易证是等腰直角三角形，得到，再证明，推出，由（1）知，则，进而求出，求出，得到，再利用待定系数法即可求出直线l，即可求出点Q的坐标；②设直线的解析式为，点，代入直线得到直线的解析式为，联立，求出，再根据，代入数据即可解答．【详解】（1）解：∵直线l：，令，则，∴直线l：的不动点坐标为；（2）①解：令，解得：；∴，如图1，过点A作，垂足为，分别过点，点E作x轴的垂线，垂足分别为，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，由（1）知，则，∴，∴，∴，∴，将点代入直线l：，则，解得：，∴直线l的解析式为：，将代入，则，∴；②直线是“旋转簇直线”，不动点的坐标，设直线的解析式为，点，将点代入直线得，解得：，∴直线的解析式为，联立，解得：，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴直线的解析式为，令，则，∴直线是“旋转簇直线”，不动点的坐标．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的判定与性质，两点距离公式，等腰直角形的性质，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键．14．（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型．【全等模型】如图1，已知在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点D，E．易证：．（1）①如图1，若，则__________；②如图2，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标．【拓展探究】（2）如图3，的图象分别交轴和轴于A、B两点，点坐标为，点在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请求出点的坐标．【答案】（1）①；②，；（2）或【分析】（1）①根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论；②如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形，同理可得，设，则，，进而表示出点的坐标，代入一次函数解析式，即可求解．【详解】（1）解：①∵直线l，直线l，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，故答案为：8；②如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，∴，∵，∴，∴，∵在与中，，∴，∴，，∵点B的坐标为，∴，，∴，，∴，设直线的解析式为，代入，得，，解得：∴直线的解析式为，当时，，∴；（2）解：如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形，设，则，，同理可得，∴，∴，∵在上，∴，解得：，∴，，∴，当在点的位置时，，综上所述，或．综合训练一、选择题1.下列各图象分别给出了x与y的对应关系,其中y是x的函数的是()2.下列函数:①y=x6;②y=-4x;③y=3-12x;④y=3x2-2;⑤y=x2-(x-3)(x+2);⑥y=6x.A.5个 B.4个 C.3个 D.2个3.某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时(最低工资)的收入是()A.3100元 B.3000元C.2900元 D.2800元4.下列关于一次函数y=kx+b(k<0,b>0)的说法,错误的是()A.该函数图象经过第二、第一、第四象限 B.y随x的增大而减小C.该函数图象与y轴交于点(0,b) D.当x>-bk时,y>5.一次函数y=kx+b(k≠0,b为常数)的部分对应值如下表:x…012…y…12a2a+3…则该一次函数的解析式为()A.y=x+1 B.y=2x+1 C.y=3x+1 D.y=4x+16.如图,已知点A的坐标为(2,2),点B的坐标为(0,-1),点C在直线y=-x上运动,当CA+CB最小时,点C的坐标为()A.25,-25 BC.-25,25 7.已知一次函数y=32x+m和y=-12x+n的图象都经过点A(-2,0),且与y轴分别交于B,C两点,则△ABC的面积等于(A.2 B.3 C.4 D.68.已知小强家、体育场、文具店在同一直线上,右面的图象反映的过程是:小强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家.图中x表示时间,y表示小强离家的距离,则下列结论不正确的是()A.小强从家到体育场用了15min B.体育场离文具店1.5kmC.小强在文具店停留了20min D.小强从文具店回家用了35min二、填空题9.已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9),则该函数的图象与y轴交点的坐标为.

10.设正比例函数y=mx的图象经过点A(m,4),且y的值随x值的增大而减小,则m=.

11.请写出符合以下两个条件的一个函数解析式.

①过点(-2,1),②在第二象限内,y随x的增大而增大.12.已知直线l1,l2的解析式分别为y1=ax+b,y2=mx+n(0<m<a),根据图中的图象填空:(1)方程组y=ax+(2)当-1≤x≤2时,y2的范围是;

(3)当-3≤y1≤3时,自变量x的取值范围是.

三、解答题13.我们知道,海拔高度每上