2027年高考数学一轮复习资料 专题15 直线与圆

专题 直线与理·盘·破·辨·点·

P(x，y)，P(x，y)(x≠x)

1

2

xxy－y1＝x－x1 x轴、y 【真题实战】（2025·陕西汉中·三模）若直线l过点1,1，且其一个方向向量为m1,1，则直线l的方程 xy2【解析】由题意可知，直线的斜率为k11而直线l过点1,1y11x1xy20直线l1l2

平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ 2＋y2－y1 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2．点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 Ax＋By＋C＝0Ax＋By＋C＝0

P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(kx＝x0)，也就是平（2025·山东·一模）若直线l1：m2x3y30与直线l2：2xm1y20平行，则m（

或

D1【解析】若直线l1m2x3y30与直线l22xm1y20则m2m1326，整理可得m23m40，解得m4或m1，若m4，直线l12x3y30与直线l22x3y20平行，符合题意；若m1，直线l1xy10与直线l2xy10平行，符合题意；m4或m1. 半径：r＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F0时D＝0，E≠0yD≠0，E＝0x【真题实战】（2025·四川·三模）若圆Cx轴相切，且圆心坐标为12，则圆C的方程为（x2y22x4y1C．x2y22x4y3

x2y22x4y1D．x2y22x4y3【解析】由已知得圆C2，故圆C的方程为(x1)2y2)24，x2y22x4y10A正确.故选：A.

得一元二次方程，Δ＝b M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜kkx＝x0．从圆x2y2DxEyF＝0(D2E24F>0外一点M(x0y0引圆的两条切线，切线长为 ar2Md①几何法：因为半弦长LdrL＝2则有|AB|＝ d与r1r2dr1dr1r1r2dr1dr10dr14321【真题实战】（2025·全国一卷·高考真题）x2y2)2r2r0)y2r的取值范围是（

3x21 x2y22r2r0E02，半径为r

y3x2的距离为1的点有且仅有2320321∵圆心E320321当r1时，x2y22r2r0上有且仅有一个点（A点）y当r3

3x2的距离等于x2y22r2r0上有且仅有三个点（BCD点）y当则r的取值范围为13

3x2的距离等于x2y22r2r0y

3x2的距离等于x2x22xx22x1】（25-26高三上·黑龙江·月考）f(x【答案】

x22x(x1)2(03)x22x(x1)2(03)2(x1)2(01)PAPBABPAB(11)2(3(11)2(3

的最小值为（x2y22xx2y22x2y(x2)2x22x22x22x2x2y22x2y

Pxy与1,1P(xy与20

PMMNx2x22

(21)2(0(21)2(0

PMPNM

x22x22x2x2y22x2y

1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线l2tx1ty128t0Q是圆Ox2y24的一动点，则点Q到直线l的距离d的取值范围为（A．0,

B．0,

C．0,

【解析】直线l2tx1ty128t0，可化为xy8t2xy1202xy12由xy8

x4y4，所以lP4又因为点Q在圆OOP

，圆O的圆心为O00，半径r2所以当OPl，且QOP三点共线时，点Q到直线l的距离d最大，最大为

2此时

401，所以直线l1，即2t1t4故直线l不存在，所以d422当直线l与圆O相交或相切时，点Q到直线l的距离d故点Q到直线l的距离d的取值范围为0

22】（24-25高三上·江西宜春·月考）MN分别为圆C1x6)2y5)24C:(x2)2(y1)21上的动点，P为直线xy50上的动点，则PMPN的最小值 【解析】圆Cx6)2y5)24的圆心C(65，半径r2 圆Cx2)2y1)21的圆心C2(2,1，半径r2设点C1xy50的对称点为C3(x0y0，连接C2C3y05x

x0则

，解得

，即C3x06y055

y0 |PM||PC1|r1,|PN||PC2|r2，则|PM||PN||PC1|r1|PC2||PC3||PC2|3|C2C3|39P是C2C3xy50的交点，M,NPC1,PC2与圆C1C2的交点时取等号，PMPN(轨迹是C(21a0)

1】（24-25高三上·河南漯河·期末）A40B90，若圆xa12y3a224 在点P满足PA PB，则a的取值范围是（A．3,

2,【解析】根据题意，设点P(x,y)，A4,0,B9,0，点P满足PA PB 则有(x4)2y216[(x9)2y2x2y29Px2y29 若圆xa12y3a224P，则圆xa12y3a224x2y29有公共点，(a1)2(3a又圆xa12y3a224的圆心为(a13a22，x2(a1)2(3a则有1

5，解得1a2，即a的取值范围是12【典例2】（2025·上海杨浦·三模）已知三角形ABC的AB2,AC2BC，则三角形ABC的面积的取值范 【答案】0 x2ACx2

，化简得xxx22

8

y2168,

则点C的轨迹为以 为圆心，半径为3的圆（除去两点3,0,4,0 则点CAB4ABCS1AB44 又点CAB的距离可趋近于0ABC的面积的取值范围为04 3 01辨析：截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是【典例1】（2025·湖南长沙·三模）A(14xy轴上的截距的绝对值相等的直线共有ykxxy1xy ykxA(14，则4ky4xxy1A(14141a5xy5 xy1A(14141a3xy30 3条；【典例2】（25-26高三上·天津·月考）直线l过点B4,3，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍， 【答案】3或 【解析】若直线l过坐标原点，则k30,满足题意 若直线l不过坐标原点，设直线lxy 因为直线lB(43)，所以431，解得b1 所以直线lx2y20，此时k1故直线l的斜率为3或1 02,【典例1】（2025·四川成都·模拟预测）已知直线2xy2m0与直线4xmy30平行，则它们之间的距离是（）11

11

3

9【解析】直线2xy2m0即直线4x2y4m0，与直线4xmy30平行，则m2，故所求即为平行直线4x2y80与4x2y30之间的距离，

115.16168【典例2】（24-25高三上·云南·月考）若两平行直线l1ax8y0与l23x4yb0之间的距离是1ab（A．4或 B．4或 C．1或 D．1或【解析】因为直线l1ax8y0与l23x4yb0所以4a38，解得a6，则直线l16x8y0，即为3x4y032又l与l之间的距离是1，所以d 1，解得b5或b32 所以ab11或ab1.03辨析：(1)l1∥l2⇔k1＝k2k1，k2不存在的情况，就会导【典例1（25-26高三上·云南曲靖·月考若直线l1：axy30与l2：x2ay10a（

【解析】直线l1的斜率k1a.当a2时，直线l2的斜率不存在，不满足l1l2当a2时，直线l2的斜率k22a由ll，得kk=-1，即 1，解得a1.故选

2【典例2】（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知直线l12xy10与l2xky30垂直，则实数的值为（

D．【解析】当k0时，得l2x3，此时l1与l2当k0时，若ll，则211，解得k2. k 04辨析：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其【典例1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）a0是“x2y22axb20表示圆”的（ x2y22axb20，可得(xa)2y2a2若a0a2b20，此时方程(xa)2y2a2b2表示圆，即充分性成立；反之：方程(xa)2y2a2b2表示圆时，例如：当a0b0x2y2b2所以a0”是“x2y22axb20表示圆”的充分不必要条件.【典例2】（2025·浙江嘉兴·三模）m0”是“圆Cx2y24x6ym0不经过第三象限”的（ 【解析】圆Cx2y24x6ym0整理可得Cx22y3213m可知圆心为C23

，且m13若圆Cx2y24x6ym0等价于原点O00不在圆C内，则m0，可得0m13，且m|0m13是m|m0的真子集，所以m0”是“圆Cx2y24x6ym0不经过第三象限”的必要不充分条件.（A．0,π3π,π

B．π,π

C．π,ππ,3π

D．π,3π 4

24

44 【解析】当m0π当m0时，直线l的斜率k1m1，所以k1或k1πππ3π 综上：π3π. 段总有交点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．1,

B．1,122 D．,11, 2

【解析】由题得

312，

1 1待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)【典例1】（25-26高三上·浙江·月考）已知直线l的一个方向向量为e1,2，且过M1,2，则直线l的 y【解析】由直线l的方向向量为e12，可得直线l的斜率k2因为直线lM12，所以直线ly2)2[x1)]y2x（A．xy3C4xy0xy5

B．xy5D4xy0xy31y4x，即4xy0x

1

1，解得a3xy30故所求直线方程为4xy0xy30.D项正确. l1l2l1l2 B2C2l1l2A2B2l1l2 ＝＝ 1】（2025·辽宁·模拟预测）若直线l1:a2xy10与直线l22xa1y20互相平行，则实数a的值为（） C．0或 D．0或-【解析】因为直线l1a2xy10与直线l22xa1y20互相平行，所以有a2a112且a2212，解得a0，故选：A【典例2（2025·山西·三模已知直线l1:axya0与l2:a4x5y40则“a5”是“l1l2”（） B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条【解析】由l1l2aa450，解得a5或a1，所以a5”是l1l2”的充分不必要条件.故选：A.【典例1（24-25高三上·广东深圳·月考）过原点的直线l1的倾斜角是直线l2:x2y50的倾斜角的2倍，则直线l1与l2的交点坐标为 【解析】设直线l的倾斜角为，则tan1 2则直线l的斜率ktan22tan 4， 1

12 1 又直线l过原点，所以ly4xx2y5

x ，解得 ，即直线l与l的交点坐标为3,4y

y 2】（25-26高三上·上海嘉定·月考）xOy内有一直角ABC，CπA为2,1，BC所在直线方程为2xy10，则顶点C的坐标为 【答案】21 5 【解析】因为CπACBCBC所在直线方程为2xy10ACx2yc0A2,1可得22c0，解得c0，ACx2y0，x2xy1联立方程组x2y

，解得 y 所以顶点C的坐标为21 5 1】（25-26高三上·广东湛江·月考）xOy中，点(20x2y30上动点的最小距离为（）

x2y30上的点(xy到点(20的距离的最小值为点(20x2y301d|203|12】（2025·四川绵阳·模拟预测）若直线l1x2y30与直线l2kx2y10kR平行，则这两条直线间的距离为（）A．

2

4【解析】因为直线l1x2y30与直线l2kx2y10kRk2

1，所以k1所以直线l2x2y10x2y101112

22

AB

x轴反射后将圆Cx42y321平分，则实数t（） MB、圆心C43则kBM

0t30，解得t1.1 4【典例2】已知直线x2y30与直线ax4yb0关于点A(1,0)对称，则实数b的值 x2y30与直线ax4yb0A(10)对称，所以两直线平行，故2a4，则a2，由于点(30)x2y30(30)A(10)的对称点为(10，故(10)在ax4yb0上，代入可得ab0，ba2.（2）D，E，F的D，E，F的值．1】（2025·北京海淀·二模）圆心为12x轴相切的圆的方程是（(x1)2(y2)2C．(x1)2(y2)2

(x1)2(y2)2D．(x1)2(y2)2【解析】因为圆心为12x轴相切，所以半径r2，则圆的方程为(x1)2y2)24.故选：D【典例2】（24-25高三上·宁夏银川·月考）已知圆C经过三个点分别是0,0，6,0，0,8，则圆C的方 【答案】x32y42【解析】设圆C的方程为(xa)2yb)2r2所以a2b2r2(a6)2b2r2a2b8)2r2③，a30④，由②③得到3a4b70⑤，a3b4，代入①，得r225所以圆C的方程为x32y42251】（2025·浙江·三模）Olmxym10mRA的轨迹为（ OBAB2所以点A到点B的距离 【典例2】（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知长为2的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程是 x2y2ABP(x,yAB不与原点重合时，则ABO是直角三角形，且O则OP1AB1,P的轨迹是以原点为圆心，以1x2y2ABx2y21，ABx2y2【典例1（25-26高三上·四川成都·月考设直线lxsiny20Cx2y22x150lC的位置关系为（ Cx2y22x150，所以圆心为10半径为r411

3，所以drlC相交.2（25-26高三上·广东·月考）直线lm1x2m1y7m4Mx2y26x8y0（ Mx3)2y4)225，M的坐标为34，半径r=5，直线lm1x2m1y7m4，即mx2y7xy40联立x2y70，解得x1lP13xy4 y

5r(13)2(3(2)2(13)2(3(2)210【典例1】（25-26高三上·上海·月考）设mR,r0.若直线xmy2m0与圆(x4)2(y5)2r2始终有交点，则r的取值范围是 xmy2m0xmy20x0y2时，方程恒成立，所以直线过定点0,2，xmy2m0与圆(x4)2y5)2r2始终有交点，所以定点0,2在圆上或圆内，则(04)225)2r2，即r225，又r0所以解得r5，则r的取值范围是52（24-25高三上·重庆·模拟预测）若直线kxy则实数k的取值范围是（

x1A．(42 B．4

D．4,

3

x1x12y121x1当直线l当直线lA时，有k22

1，解得k411kk因为直线l4k211式：|AB|＝2则|AB|＝ 1＋1·|yA－yB|(其中【典例1（25-26高二上·福建厦门·月考若直线xym0被圆C：x12y124截得的弦长为2 则m（）

【解析】由题意可得圆的圆心为C(11R2则圆心到直线xym0的距离d 又因为截得的弦长为 所以

R2R2dm 2化简得4 2，解得m2.故选2（25-26高三上·湖北·开学考试已知直线l：m2xy4m50C：x2y26x4y40，直线l与圆CM，NMN的最小值为（）

x4令y2x5

得x4，所以直线l过定点(43y而C：x2y26x4y40即Cx32y2299所以43232229，即定点(4,3)在圆C内，且圆心为(3,2)，半径为3，所以定点(4,3)与圆心(3,2)的距离d9MN最小，即定点与圆心所在直线与lMN2

圆的切线方程问题ky－y0＝k(x－x0)kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；x的一元二次方程，由Δ＝0k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证．【典例1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）过点A1,3与圆O：x2y24相切的直线方程 x3y4A在圆O上，故所求切线与直线OA又kOA ，所以所求切线斜率k 1x1，即x3y402】（25-26高三上·山西长治·月考）Pm2m向圆Qx22y221的最小值为（

22【解析】圆Qx22y221的圆心为Q22，半径r1，Pm2m22则圆心Q2,2到直线xy20的距离d

xy20与圆Q相离，A，PQ2PQPQ2PQ2d2

17

131】（2025·山东临沂·一模）圆C