2027年高考数学一轮复习资料 专题20 计数原理与二项式定理

专题 计数原理与二项式定1m种不同的方法，2nN＝m＋n种不同的方法。N＝m·n种不同的方法。（2025·河北沧州·一模）如图，为了🎧黑板报，某班级为黑板A､B､C､D四个区域进行涂色装饰，3（A．24 B．48 C．72 D．84【分析】根据组合的定义，结合分类计数原理进行求解即可23ADB和C颜色相同，则涂色方法共有C1A3224482nmmnnm个元素的一个nmmnnm个元素的

nm!排列数的性质：①AmnAm1；②Am Am；③AmmAm1Am

nm

n

nmmnnm个元素的组合数，用符号Cmnm个元素的组合数Cm； 因此Cmn

nn1n2nm nm

n

Cm

C0Cn 按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式Cmn(n1)(n2)nm1Cm

m!(nm)!

CmCnmCmCm1Cm

【真题实战】（2026·河北保定·一模）A，B，C，D，E，F6AI智能库建立创新大赛，决出你没有得到第一名．”从这两个回答分析，6人的名次排列可能情况的种数为（） A不是第六名，BA是否为第一名，结合排列数、组合数运算求【详解】从这两个回答知：A不是第六名，B不是第一名；A是第一名时，共有A5120种排列情况；44A不是第一名时，共有C1C1A4446人的名次排列可能情况有120384504种． rTr1Cranbr1二项式系数：系数Cr（r=0，1，2，…，n） ①(ab)nC0anC1an1b(1)rCranrbr(1)nCnbn（n ②(1x)n1C1xC2x2Crxr ①每一行两端都是1，即C0Cn；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即

②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即CmCnm

的二项式系数C2n是奇数，则中间两项Tn1

的二项式系数Cn

，Cn

r1项系数最大，应有Ar1

r

n

r r ab1，则二项式系数的和为C0C1C2CrC 变形式C1C2CrCn a1，b1，则C0C1C2C31)nCn1 C0C2C4C2rC1C3C2r112n2n1 若f(x)axnaxn1 xn2axa， x0a0f(0)x1f(1a0a1a2an1an 【答案】 【详解】设(23x)7aaxax2 x1，可得aaa

(23

所以二项式(23x)7的展开式的各项系数的和为 1】（2025·湖北武汉·三模）AB、CD四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）43A．12 B．24 C．48 D．144 ADB与C同色，3种颜色的涂法有C3A3A3 2】（2025·广东茂名·模拟预测）54个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（） 【详解】先排Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ共有A360种，再排Ⅳ有C13 故不同的着色方法数有603180种.02【典例1】（2025·广东江门·模拟预测）把6名技术员分到3个车间工作，分到3个车间的人数各不相同，每个车间至少1人，则不同的分配方案共有（ A．270 B．540 C．720 D．360653故共有C1C2C3A653乙、丙三个球队.这批设备分别为6个相同的跳箱和3箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（）A．35 B．70 C．140 D．210先分跳箱：6个相同的跳箱分给三个球队，三个球队分得的跳箱数量分别为1、2、3或2、2、2或41、 所以，跳箱的分法种数为1A3C1 接下来分药球：将3个药球分给三个球队，三个球队分得的药球数量分别为1、1、1或2、1、0，所以，药球的分法种数为1A27种.由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为10770种.位学生只能去一个地方学习，则不同的分配方式有（）A．12 B．18 C．24 D．3642人组成一组，有C2种方法，3A、B、C三地学习，有A3种方法，4由分步计数原理知共有C2A336475（ 3，1，1，1，12，2，1，1，1两种方式，再结合排列组合数计3，1，1，1，1，则有73，1，1，1，1，则有74321

A542002，2，1，1，1，则有72，2，1，1，1，则有75321A2A2

A512600所以共有42001260016800种.5】（2025·江西·二模）某校组织校运会活动，由甲､乙､ABCD四个任务，每人A（） 3【详解】若甲负责两个任务，剩余两个任务排给乙､丙两人，此时有C2A2633个任务分为两组，分配给乙､丙两人，33有C1C2A233由分类加法计数原理可知，不同的分配方法种数为61824种.选择.64个大人，2个小孩，计划去霍山漂流.3只不同的船只可供他们选择3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有（）种. 634个大人分成2,1,1三组有C263只船有A3 3只船有3318种方法，所以共有668288种方法626×A26028860348种方法 03求解形如(a＋b)n(c＋d)m【典例1】（2026·福建·一模）在(x22)5(2x1)2的展开式中x6的系数为

【分析】求出(x22)5x6的项即可

2)5

24x2(x22)54x

5

2)5 二项式(x22)5展开式的通项为Crx25r2r2rCrx102rrNr5 因此(x22)52x1)2x6的项为4x22)3C3x4(2)2C2x6320x640x6280x6，所以所求系数为280 2】（2025·浙江宁波·一模）在(xy)(xy5x3y3的系数为（ 【详解】由题意得xy5展开式的通项公式为 Ckx5kyk,k0,1,2,3,4,5令k2TC2x52y210x3y2

k 令k3TC3x53y310x2y3 1【典例1】（2025·四川成都·二模）x的展开式中系数最大的项为（ A．第3 B．第4 C．第5 D．第6【详解】易知x

1x

的展开式的各项系数分别为C0C1C2C3C4C5C6 2】（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知13xn的展开式中前三项的二项式系数和为79，则展开式中系数最大的项为第（）A．7 D．10【分析】根据展开式中前三项的二项式系数和为79求出n的值，然后利用不等式法可求出展开式中系数最【详解】13xn的展开式中前三项的二项式系数和为C0C1C21nnn179 整理可得n2n1560n2且nN，解得n12 Cr3rCr13r设展开式中第r1项的系数最大，则 Cr3rCr13r

3r

3r

35r39 3r 因为rN，故r9，因此，展开式中系数最大的项为第10项.辨析：仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关.nn类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成nn个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方【典例1】（2025·四川自贡·一模）abA，B，C，现该设备n为（） Aab的电路工作不正常，共有22ABCab1种，所以n145.2】（2024·全国·模拟预测）0的三位数abc，若两位数ab和bc则称abc具有T性质”，则具有“T性质”的三位数的个数为（ 方的形式），所以具有T性质”的三位数有164,364649,8164个．数字排列中“0”辨析：对于数字排列问题，0是特殊的数字，在解题过程中往往会忽视0不在首位的特殊要求。【典例1】（2025·云南·模拟预测）0，1，2，3中任取三个数字组成无重复数字的三位数，则下列结论错误的是（） C．十位数字为1的三位数共有6 3种选择.总数为A1A233218A3选项1023（3种选择2（2种选择A232B2（0）中选（2种选择），共A1A1224C2D0，则百位和十位可以在123中任取两个排列，共A2326个.D正确.（A．52 B．64 C．66 D．7022020，结合排列数2时有2A348种；20时有3A21820时有2A14种；综上，总共有4818470种.辨析：在二项式定理(a-b)nb的系数为-1【典例1】（2023·北京·三模）在23x4x2的项的二项式系数为（ x2的项的二项式系数为C26 1【典例2】（24-25高三上·贵州·月考）在1

3项的二项式系数是（ 3项的二项式系数为C28728 2要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别.(a＋b)nr+1项的系数是Cr，其【典例1】（2026·陕西咸阳·一模）2x15x2的系数为（

【详解】设2x15 Cr2x5r1rCr25r1rx5rr 令5r2，则r3，所以C3221340，x2的系数为40. 1 【典例2】（2024·辽宁鞍山·模拟预测）已知x2x2336 式中的常数项为（

【分析】由题意得C236求出nx的次数为零，求出r 1 【详解】因为x2x23 所以C236，得n(n1)72，因为nN*，所以n9， 1

1

1

1所以x

x

展开式的通项公式为

Crx9r

Cr

x93r 2x2

2x2

r

2x2

92 令93r0，得r31 所以该展开式中的常数项为C3

9 1．（2025·广西柳州·一模）52人，且甲不在两端，则不同排法共有（）A．8 B．12 C．16 D．202人，且甲不在两端，有两种情况：乙站第一个位置，甲站第四个位置，有A36种，甲站第二个位置，乙站第五个位置，有A36种，共有6612种，2．（2025·广东·模拟预测）33个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（）种． 3个男同学，排头必须是男同学，所以排头的选择有A13种，2个男同学选取，有A12种，44个位置，有A4424种，所以一共有3224144天，每天只安排一人值班，且甲不安排在第一天值班的安排方法共有（）A．20 B．36 C．24 D．18【详解】若甲值一天班且甲不安排在第一天值班，则甲有C13种安排方式，2人值班，则其中有一人需安排值两天班，32人有C2A2633人共有3618种安排方式；2人中选择一人安排在第一天值班，则有C12种安排方式，2人中剩下的一人与甲值剩下三天班且甲值两天班，有C23种安排方式，此时共有236综上，共有18624种安排方式.4．（2025·四川成都·一模）52道工序必须相邻，那么加工顺序共有（）A．96 B．72 C．48 D．36223道工序作全排，所以加工顺序有A2A42244825．（2025·河南·模拟预测）某校无人机兴趣小组在市无人机大赛后合影留念，24名组员排2位老师相邻，则不同的排法共有（）A．120 B．360 C．240 D．72024名学生全排有A51202位老师自身有A222位老师相邻，不同的排法共有1202240，7位同学购买了某一排的座位，其中小明想和小刚坐在一起，小强想坐在右侧，则共有（）种不同的排法． 1－71－45－7，若小明和小刚坐在左侧，则安排情况为(12),(23),(34)3种排法，34人有A4因此小明和小刚坐在左侧时共有C1A2C1A4432323若小明和小刚坐在右侧，则安排情况为(566724人有A424种排法，因此小明和小刚坐在右侧时共有C1A2A496 22所以不同的排法共有43296528种情况7．（2025·湖南岳阳·模拟预测）现有8把相同的椅子排成一排，甲、乙、丙三人每人选取其中的一把椅子

则nA)C2A2A2n(B)A3A132 3 3 ，32 3C2A2A232 38．（2025·江西·三模）2A品牌的清明果，2B品牌的清明果，1C品牌的清明果.5款清明果并排摆在货架的同一层上，则同一种品牌的清明果均相邻的摆法有（）A．12 B．18 C．24 D．48222A品牌的清明果，2B品牌的清明果分别捆绑，则同一种品牌的清明果均相邻的摆法有A2A2A3229．（2025·湖南·三模）若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙不相邻的概率为（

【详解】5A55120种将甲乙看成一个整体（捆绑法）4A4，A2种排列顺序. A4·A224248 所以，甲乙不相邻的排列数为1204872种723 食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（）A．12 B．14 C．16 D．18再排山地文化展板，民族文化，有A2种放置方法； 故共有A2A212种放置方法， 在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为（）

D．【分析】先求出共有A6PAPAB，最后利6个不同的芯片全排列，共有A6720其它芯片全排列共有A424种情况，产生了5将甲，乙两个芯片任选两个空插入，共有A220由分步乘法计数原理得此时共有2420480在该条件下，我们将丙，丁进行全排列，共有A22将丙丁整体和除了甲乙以外的芯片全排列，共有A36种情况，产生了4个空，将甲，乙两个芯片任选两个空插入，共有A212种情况，由分步乘法计数原理得此时共有2612144PA4802PAB1441

PB∣APAB7201443D正确

P

12．（24-25高三上·四川南充·月考）君子六艺包括礼、乐、射、御、书、数，这些技能不仅是周朝贵族教天连排六节，每艺一节，则“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有（）A．432 B．486 C．504 D．540 【详解】当“礼”与“乐”相邻时，有A2A5240 4当“礼”与“乐”中间插一艺时，有A2C1A4 4所以“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有192240432种，站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（）A．16 B．32 C．48 D．64，2排法共有2A2A22 2所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不A2A42A2A2 214．（25-26高二上·陕西汉中·月考）72个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单：【答案】(12401447373个舞蹈【详解】（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有A25个节目，有A5 则唱歌节目排在两头，有A2A52120240 2个唱歌节目全排列，排法有A223个舞蹈节目全排列，排法有A33把这两个整体进行全排列，排法有A2323个空中，排法有A2 有A2A3A2A2262 7个节目进行全排列，排法有A7种，3 7654327 840种 32 11个节目全排列，有A116个舞蹈节目的全排列数有A6 故满足题意的插入方法有1155440（种【多选】（2026·江苏徐州·模拟预测）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名 A：这五人每人任选一门学科，则不同的选法有45A错误；B：根据若每人安排一门学科，每门学科至少一人，我们把这五人分成四组共有C210种方法，再将这四组人去负责四个学科相关工作共有A424 根据分步计数乘法原理可知：有1024240BC：若数学学科必须安排两人，则有C210种方法，其余学科各安排一人共有A36 根据分步计数乘法原理可知：有10660C“B负责数学”的情况，用容斥原理计算：1：A负责语文①语文为“2人组”（A1人）1人加入语文（C1）33科（A3） C1A346 ②语文为“1人组”（A）：B、C、D、E分为三组（2，1，1），有C2种方法，再将三组分到数学、英语、物理，有A3C2A336； 1243660．2：B负责数学①语文或数学为“2人组”32人分配到英语和物理有A21A1 A2A1=12 ②英语或物理为“2人组”：3人分成两组（2，1），有C1种分法，两组分配到英语和物理，有A2 故方案数为C1A26 3总方案数：12618240102138D错误.（A．110 B．100 C．90 D．80 51123人，派遣方案有C1C1C2C370种；22人，派遣方案有 5所以满足条件的不同的派遣方案有7030100种．53个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（ 不同的选择方法种数为C3C25410 【分析】（1）M30，1,2AB,CA中任BC中各取一个数可得答案；设所取的三个数为a,bc，则由ac2ba与ca与c的奇偶性相同．根据a与c设所取的三个数为mrn，则有mnr2．按平方数分类，对其余的数进行质因数分解可得答案0A369,12,15,18，A中任取两个数，则有C27BC中各取一个数，则有C1C17 7可得C2C1C164 7设所取的三个数为a,bc，则由ac2ba与c的和为偶数，故a与c的奇偶性相同．根据a与c①当a与cA中任取两个数，有C2②当a与cB中任取两个数，有C2考虑到abc为递增或递减两种情况，故共有2C2

180（种 设所取的三个数为mrn，则有mnr2．N149,16．对其余的数进行质因数分解：2，3，523，722225223，13，27，35，17，233，19，225满足题意的有：312；520；82；218；818．故有2C252222种.20．（2025高二·全国·专题练习）0，1，2，3，4，56个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的【详解】（1）1．3．531个放在个位，有C1种；041个放在千位上，有C1种；42个放在百位和土位，有A234由分步乘法计数原理可得，共有C1C1A23442个放在十位和个位，有A2种，故共有C1A236 345，有C153个放在百位、十位和个位上，有A3 2有C1A31202由分类加法计数原理可得，满足条件的四位数有636120162 【分析】先求出总取法，再分正方体的6368个斜切面四种情况讨论，求【详解】从144个点，共有C41001①正方体的6个面：每个面包含4个顶点和1个中心点，此时共有6C4303个中间平面：每个平面包含4个点，此时共有3C436个对角面：每个对角面包含4个顶点和2个中心点，此时共有6C490④8个斜切面（三条面对角线形成的）33个中心点，此时共有8C4120所以四个点不共面共有100130390120758P

758758n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特求通项，利用(a＋b)nTr1＝Cran－rbr(r＝0，1，2，…，n)22．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在23x4x2的项的二项式系数为（ x2的项的二项式系数为C26 223．（25-26高三上·北京·月考）在x

x2的系数为（x

【详解】x2的展开式的通项公式为 Ckx4k2Ck2kx42kk0,1,2,3,4 x

k

x 令42k2，解得kTC121x242x2 x2的系数为8A正确．24．（24-25高二下·江苏镇江·月考）(2x1)5的展开式的第二项的二项式式系数为（ 【详解】2x15的展开式的第二项的二项式式系数为C1525．（24-25高二下·重庆·期中）已知(1x)n91011项的二项式系数成等差数列，则n（） D．14或C8C9C10成等差数列，则2C9C8C10即2

9!n 8!n8!10!n 即9n n8n 109，即n237n3220解得n14或23 1

的展开式中的常数项为（ 1 1 【详解】x

的展开式的通项公式为

Cr

Cr

x4rx3rCr

x44r x3

r

x3 令44r0，解得r1TC111x04 04求三项展开式中的指定项27．（25-26高二上·河南驻马店·月考）x2y35xy3的系数为（ 【详解】因为x2y35xy35个因式x2y3中，1x，3个因式出2y1 xy3的项为C1xC32y3C13480 28．（24-25高三上·贵州·月考）x2y

x1y2的系数为（

【分析】求出展开式通项，再求出x2

1

x2

1yxx

展开式的通项为Crx266

1x

yr y2的项为C2x21

y2，其中x21

的展开式的通项为Ckx24k11kCkx83k6 x

x

x 令k3，得13C3x1，所以

x21y

x1y2的系数为

C3C260 29．（2026高三·全国·专题练习

x2 y

的系数为（

1

1

x2

x2

的通项公式 Crx2

yr

x

r 4 x 1

2 令r2，则TC2x2

y2

x 2xy，所 的系数为C2 4

4 x 30．（25-26高三上·四川成都·月考）在x

x3的系数为（ 【详解】x12)5C0(x1)520C1(x1)421C2(x1)322C3(x1)223C4(x1)124C5(x1)025 00441 223

1 x项为2C5C5xx

2C5C3x(x)5x40x45x31．（25-26高三上·北京·月考）展开式x22x15x5的系数为（ 【详解】x22x155个x22x1相乘，每个x22x1在相乘时均有三种选择，x2或2x或1．x2a个，选2x的有b个，那么选1的有5aba则有2ab5，解得b

a或

a b 5个2x1x2、3个2x、1个12x2、1个2x、2个1；x5项的系数为C525C1C3231C2C121 32．（25-26高三上·广东·月考）在(x2xy)10x17yA；在(x2x)9B.A（

【分析】10个因式(x2xy8x21个选x1个选yx17yA个因式(x2x8x21个选xx17BA【详解】(x2xy)1010个因式(x2xy的乘积，108x21个选x1个选y，102x17yx17y的系数为C8C1C11290A102在(x2x)99个因式(x2x998x21个选xx17的项，x17的系数为C8C119B9A9010 33．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在3x15的展开式中，各项系数之和为（ x1，即得3x15的展开式中的各项系数之和为253234．（25-26高二上·广西桂林·月考）(x2)11展开式的各项系数之和为（ x1，得(12)111，即展开式的各项系数之和为

35．（2025·湖南益阳·模拟预测）若x1(x2)6

axax2ax a0a7a0a1a2a7a1a3a5a7a2a4x0计算可判断Ax26x1计算可判断Cx Ax0，得126a，即a64A Crx6r2r,r0,1,2,3,4,5,r 所以axTxC0x6201B Cx1，得216aaaa 即a0a1a2a72CDx1，得036aaaa 即a0a1a2a70a0a1a2a7a0a1a2a7因为a0a2a4a6 所以a2a4a663

1a0a1a2a7a0a1a2a7因为a1a3a5a7

1所以a1a3a5a7a2a4a6D错误.【多选】（2026·陕西宝鸡·一模）在12x5的展开式中，下列说法正确的有（x2项的系数为

34 D．所有项的系数之和为【分析】先求出12x5AD，所有项的二项式系数之和为2nC【详解】12x5的展开式的通项为 Cr15r2xr2rCrxrr 令r2x2项的系数为22C240A3项T的二项式系数为C24项T的二项式系数为C3B 所有项的二项式系数之和为2n2532Cx1，可得所有项的系数之和为12151D正确.【多选】（2025·湖南永州·模拟预测）设(2x1)10aaxax2ax10，则（ a0a9a2a4a10

310a12a210a10D.Ax0，则a1)101ABx9的系数为C1291)15120BCx1，则aaax1，则aaa310 310 310 310①+a2a4a10

a0

CD，对原方程两边求导，有20(2x1)9a2ax10ax9 x1，得a12a210a1020D正确 1【多选】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知ax

0，则（a x1可判断AC13142k 1【详解】对于ax

x1，得a113140，解得a1A x 二项式系数的和为21314Bk 展开式的通项为 k 令13142k0，得k657D错误. 【多选】（2024·河北·模拟预测）若2x18ax8ax7ax6ax2a a0a3a1a2a3a7a8a1a2a3a4a7a8 Cx1ADx1A即可求解Ax0，则018a1AB，由二项式定理ax3C32x315448x3a448B Cx1，则218aaaaaa1 则a1a2a3a7a80CDx1，则218aaaaaa6561，又a1 所以a8a7a6a2a16560，得a1a2a3a4a7a86560D正确【多选】（2025·山西·模拟预测）若x210aaxax2ax10，则（ a

aa 2a

20

21a210a x0Ax1，结合aC101Bx1B Ax0，则x 故a210210A

axax2ax10aBx1，则aaaa12101 又aC101，故aaa0B Cx1，则aaaa1210310 又aaa1，故2aaa3101C Dx2，则20a21a210a22100D正确 （2025·全国·模拟预测）若(2x3)5aax1ax1)2ax1)3ax1)4a 则（a0

a0a1a2a3a4a5a1a3a5 D．a4Ax1，则(213)5a1ABx2，则a0a1a2a3a4a51B1对于C，令x0，则aaaaaa35，所以aaa 122，故C错误

D，因为a25C1243aaC1141 所以aC1243aC1141151632580D 【多选】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知1x2025aaxax2 x2025，则（ 22025a22024a22023a aaa

a12a23a32025a2025111

两边求导，再令x1，可判断C；根据二项式的展开式可得a C2024 ，即110

1

1

1

1【详解】对于A，令x2，得a02a12a22a32 a20252 两边同乘以22025，得22025

22024a22023

1A Bx1，得a0a1a2a3a20250x1，得aaaa

22025 两式相减，得2aaa 即aaa

对于C，1x2025aaxax2 得20251x2024a2ax3ax22025a x2024，再令x1，得a12a23a32025a2025 对于D，a C2024 ，所以110

1

011111D正确

【多选】（2025·江西赣州·二模）设(x1)9aaxax2a a0

a1a2a9a4a5 D．a1a3a5a7a9x0、x1、x1A、B、Da4a5【详解】Ax0，则a(01)91Bx1，则a0a1a2a90①，又a01，则a1a2a91C：由二项式展开式 Crx9r(1)r(1)rCrx9r，r0,1,,9 所以r4时T1)4C4x5，则aC4r5时T1)5C5x4，则aC5 所以a4a50Dx1，则aaa

29 ②得2(aaa29，则aaaa

28256，对

的二项式系数C2n是奇数，则中间两项Tn1

的二项式系数Cn

，Cn

2【多选】（2025·四川成都·一模）已知在x

系数相等，则下列说法正确的有（n

x2的系数为 D．展开式各项系数之和为nAB；Cx1D. 【详解】由题意得C2C4，所以n246A 因为n6时，二项式系数最大的是C34Bx

2x

的展开式的通项公式为Cr

2x

2rCrx62r0r6,rN 令62r2，得r2x2的系数为22C2=60C正确；展开式各项系数之和为12636729D错误. 145．（2025·四川南充·模拟预测）已知2x

64，则其中错误的是（n

3 【详解】由题意可得2n64，解得n6，故A 1 1二项式2x的展开式的通项公式为 Cr(2x)6r (1)r26rCrx62r，r0，1，，6， x

r 62r0，解得r34项，故B因为n64项，最大值为C320，故Cx1，则展开式的所有项的系数和为(21)61，故D正确，x46．（2025·江苏南通·模拟预测）2x

二项式系数最大的项为（

1120

1792x

【详解】因为2n256，所以n8 1

Ck2x8k ,k0,1, k

故二项展开式中，二项式系数最大的项为TC42414x21120x2

147．（24-25高二下·天津滨海新·期中）在 2x的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展 x6的系数是（

1x

6项的二项式系数C5 它的展开式共计有11项，n1010r

1

1 5故二项展开式的通项公式为 Crx Cr 2r 2 102 令5r6，求得r2，可得在 1x的展开式中x6的系数为C2145 2

10 48．（2025高二·江苏·专题练习）在x

的是第（） 【详解】根据二项式定理可知x

1 n3 Crxnr 1rCrx2,r0,1,2,,r

n3r

n

，解得

r21Cr 4项.49．（2025·云南昭通·模拟预测）若(2x1)100aaxax2ax100，则2aaa5被8 除的余数为（ x1x1，两个式子相减，得到2a1a3a992a1a3a9958【详解】令x1，得aaa x1，得a0a1a2a1001两式相减得2aaaa31001 所以2aaa531006 310069506(81)506C0850C1849Cr850rC498C50 C0850C1849Cr850rC4985C0850C1849Cr850rC49883,r C0850C1849Cr850rC49888 C0850C1849Cr850rC498838 所以2a1a3a995850．（2025·河南许昌·模拟预测）若(2x1)100aaxax2ax100，则2(aaa48 除的余数为（ 【分析】令x1得aaa 3100，令x1得aaa 1，两式相减即可 2aaa431005，即31005950581)505利用二项式定理即可求解 【详解】令x1得aaa 3100，令x1得aaa 1 两式相减得2aaaa3100 所以2aaa431005，因为310059505(81)505C0850C1849 Cr850rC498C505C0850C1849Cr850rC4984C0850C1849 Cr850rC49884rN，因为C0850C1849Cr850rC49888 所以2a1a3a994851．（2025·江西新余·模拟预测）100除92025的余数为：（ 【分析】将92025化为1012025，利用二项式定理展开可得【详解】920251012025 10102025...C20241202410C202512025 10 因为10 2024910052．（2025·甘肃白银·三模）98除(1001)100的余数是（ 【分析】将(1001)100转化为(198)100，写出其二项展开式，即可求解 【详解】(1001)100198)100Cr98r1

98r98除(1001)100

r

r53．（2025·江西吉安·模拟预测）1.0110的小数点后第二位的数字是（ 【详解】1.011010.0110C00.010C10.011C20.012 10.10.0045为整数，若a和b同时除以m所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a

maC1C2C30，a

10b2021202220232025，则b（ 【分析】利用二项式定理化简a

C30为102101，展开可得到a103b【详解】因为aC1C2C302301810