2026年上海市中考数学试卷（含答案及解析）

2026年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷考生注意：1.本试卷共24题.2.试卷满分150分，考试时间100分钟.3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.4.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一.选择题:（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上1.下列选项中是无理数的是（）A.57 B.4 C.2 D.92.下列选项中，与2ab²c是同类项的是（）A.a²bc B.ab²c C.abc D.2ab²c3.下列方程无实数根的是（）A.x2-2x＝0 B.x2-4.⊙A半径为3,⊙B半径为7,AB＝2,则两圆的位置关系是（）A.内含 B.相交 C.相切 D.相离5.周一至周五某同学的运动时间为34、28、40、36、32，为了一周7天活动时间的平均数达到40分钟，下列选项中可以的是（）A.50,50 B.45,60 C.50,60 D.55,606.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点（不与A、B重合）,过点E作EM∥BD,交AD于点M,作E、M关于BD的对称点F、G,联结EF、MG交BD于点P、H.下列说法正确的是（）①四边形EFGM周长是定值； ②四边形EPHM周长是定值；A.①、②均正确 B.①正确②错误C.②正确①错误 D.①、②均错误二、填空题（共44分，每题4分）7.计算:m8.在1，-2，-3，4，5这5个数中选一个数，选出一个正数的概率是.9.10.在△ABC中,∠C＝90°,AB＝10,AC＝6,则tanB＝.11.等腰三角形ABC中,∠A≠∠B,∠A＝80°,∠B＝.12.点A（m,n）与点B（3,4）在同一条反比例函数y＝kx上，若0＜m＜3,则n的取值范围是13.如图,正六边形ABCDEF中,AF＝a,14.某市2024年进出口集装箱5.15×10⁷个,2025年进出口集装箱5.5×10⁷个,则2025年较2024年集装箱的进出口数量增加了.（用科学记数法表示）15.某区抽查300名学生每周做家务的次数，如下表所示，据此推测全区9000名学生每周做家务大于5次的有人.16.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,EF是梯形的中位线，如果BC＝2AD,SPMN＝1,则梯形ABCD的面积为.17.如图,△ABC为等边三角形,AD⊥BC交BC于点D，将△ABC绕点D旋转a∘（0∘＜a＜90∘）,使得AB的对应边A′B′垂直于AC.三、解答题（共82分）18.（本题10分）计算：19.（本题10分）解方程组：y2-2x＝7，x-y＝420.（本题共10分）如图，小明正在确认大楼是否安全，规定hd（1）当d＝100米时,h至少小于多少米?（2）若测AB长为a,BC长为b,仰角为θ,求hd（用含有a、b、h的代数式表示）21.（本题12分）景区有一个观景台，可以通过扶梯前往，8：10：00第一位游客站上扶梯，8：10：51第一位游客到达观景台；之后的游客有序排队入场，此后每位游客到达时间的间隔为0.8秒。（1）设登上观景台上的游客数为x（第x位游客），时间为y（从8：10：00开始计算单位为秒），请填写表格，并列出y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；x16y（2）8:10:00到8:12:00有多少名游客登上观景台?8:12:00到8:14:00有多少名游客登上观景台?22.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图,在四边形ACBD中,AB⊥CD且AB平分CD,∠BCD＝∠DAE。在CD上取一点F,使CF＝2AF.（1）求证:E是BD的中点.（2）若∠CAF的平分线AG交BC于点G,交CB于点H,求证:BD·AH＝AG·AF.23.（本题13分）有抛物线y＝ax2+bx+c,其对称轴交x轴于A。将A向右平移1个单位得点B。点C与点B的横坐标相同，且点C的纵坐标为2a（1）若抛物线的解析式为y＝2x2-c（2）已知抛物线的派生点为点C，抛物线与其派生直线.y＝2x-6的公共点为P（1,m）,点Q（7,n）为其派生直线上一点，求CPCQ的值，并判断点Q24.（本题15分）如图,在⊙O中,AE为直径,弦AB＝CD,点D在弧AB上,AB、CD交于点P。（1）连接OP,①求证：∠APO②连接OB交PC于H。若.PB＝1,AE＝4,OP＝OH,求PH的长。（2）连接AC、PE交于Q,满足PQ＝EQ。点F再线段AP上,且.PF＝4AF2026年上海市初中毕业统一学业考试数学答案及解析一.选择题:（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列选项中是无理数的是（）A.57 B.4 C.2 D.【答案】C【分析】本题考查无理数的概念，根据无理数和有理数的定义逐一判断选项即可，用到的知识点为：无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称.【详解】解：选项A，57是分数，属于有理数，选项B，4选项C，2是无限不循环小数，是无理数，选项D，9＝32.下列选项中，与2ab²c是同类项的是（）A.a²bc B.ab²c C.abc D.2ab²c【答案】B【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项即可.【详解】解：A、2a²bc与ab²c中字母a，b的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意；B、符合同类项的定义，故选项符合题意；C、2a²bc与2abc中字母a的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意；D、2a²bc与2ab²c中字母a，b的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意.3.下列方程无实数根的是（）A.x2-2x＝0 B.x2-2【答案】D【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0【详解】解：对于一元二次方程ax2+bx+c选项A：方程为x∴△＝选项B：方程为x∴△＝选项C：方程为x∴△＝选项D：方程为x∴△＝4.已知⊙A的半径为3,⊙B的半径为7,且AB＝2,则⊙A与⊙B位置关系是()A.内含 B.相交 C.相切 D.相离【答案】A【分析】本题根据两圆位置关系的判定方法，比较圆心距与两圆半径差的大小，即可得出结论，若两圆半径分别为R，r(R＞r)，圆心距为d，当d＜R－r时，两圆内含.【详解】解:设⊙A的半径r＝3,⊙B的半径R＝7,两圆圆心距d＝AB＝2,∴R－r＝7－3＝4,∵d＝2＜4＝R－r,∴⊙A与⊙B的位置关系是内含.5.已知一周的周一至周五，某同学的运动时间为34、28、40、36、32分钟，为了让一周7天内的平均活动时间恰好达到40分钟，该同学周六、周日应分别运动()分钟.A.50,50 B.45,60 C.50,60 D.55,60【答案】C【分析】根据平均数的定义，先求出7天需要的总运动时间，再减去前5天的总运动时间，得到周六周日的总运动时间，对比选项得到结果.【详解】解：∵7天平均运动时间为40分钟，∴7天总运动时间为40×7＝280分钟,∵周一到周五的总运动时间为34+28+40+36+32＝170分钟,∴周六和周日的总运动时间为280－170＝110分钟，对比各选项，只有C选项中50+60＝110，符合题意.6.如图，已知边长为1的正方形ABCD，点E是边AB上的一点(不与点A、B重合)，过点E作EM∥BD,交边AD与点M,作点E、M关于BD的对称点F、G,联结EF、MG交BD于点P、H，现有以下两个命题：①四边形EFGM的周长是一个定值；②四边形EPHM的周长是一个定值；下列说法中，正确的是()A.①、②均正确 B.①正确,②错误C.①错误,②正确 D.①、②均错误【答案】B【分析】设AM＝a，则MD＝1－a，根据题意以及正方形的性质分别求得EF＝MG＝21-a【详解】解:依题意,AM＝AE,MD＝DG,BF＝BE,CF＝CG,设AM＝a,则MD＝1－a,△AME是等腰直角三角形，则EM＝2a,△MDG是等腰直角三角形，MG同理可得EF∴四边形EFGM的周长:＝四边形EPHM的周长：＝故①正确，②错误二、填空题7.计算m24的结果为【答案】m⁸【分析】根据幂的乘方运算法则计算即可.【详解】解：m8.在1，－2，－3，4，5这5个数中选一个数，选出的数是正数的概率为.【答案】【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出选出的数为正数的结果数，再根据概率公式计算即可.【详解】解：根据题意，总共有5个数，所有等可能的结果总数n＝5，其中正数为1，4，5，满足条件的结果数m＝3.根据概率公式P＝mn9.方程13x-1＝5的解为【答案】x＝2【详解】解：13∴13x－1＝25解得：x＝2，经检验x＝2是原方程的解.10.在△ABC中,∠C＝90°,AB＝10,AC＝6,则tanB的值为.【答案】【分析】先利用勾股定理求出直角边BC的长度，再根据锐角三角函数中正切的定义计算即可.【详解】解:在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝10,AC＝6,由勾股定理得BC根据正切的定义，11.在等腰三角形ABC(∠A≠∠B)中,∠A＝80°,则∠B的度数为.【答案】20°或50°【分析】本题分∠A是顶角，∠A是底角两种情况，结合等腰三角形性质，三角形内角和定理和已知条件∠A≠∠B，排除不符合条件的情况后求解.【详解】已知等腰△ABC中,∠A＝80°,且∠A≠∠B.若若∠A是底角,当∠B是顶角时,∠C＝∠A＝80°,所以.∠B＝∠A≠∠B;当∠C是顶角时,∠B＝∠A＝80°,与∠A≠∠B矛盾,故舍去.综上,∠B的度数为20°或50°.12.已知点A(m,n)与点B(3,4)在同一条反比例函数y＝kx的图象上，若0＜m＜3，则n【答案】n＞4【分析】先根据点B的坐标求出反比例函数的k值，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数的增减性，结合m的取值范围，得到n的取值范围.【详解】解：∵点B(3，4)在反比例函数y＝∴k＝3×4＝12,∴反比例函数解析式为y∵k＝12＞0,∴反比例函数y＝12x在第一象限内，y∵点A(m,n)在该反比例函数图象上,且0＜m＜3,当x＝3时,y＝4,∴n＞4.13.如图,在正六边形ABCDEF中,AF＝a,AB＝b,用ā、【答案】2【分析】根据正六边形的性质得到AD＝2AO,再结合平行四边形法则得到AO＝AB+AF【详解】解：如图，设正六边形的中点为O，连接FO在正六边形中,AB∥FO、AF∥BO,且AB＝FO、AF＝BO,∴四边形ABOF是平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线向量等于两邻边向量之和：A∴14.某市2024年进出口集装箱5.15×10⁷个,2025年进出口集装箱5.5×10⁷个,则2025年较2024年集装箱的进出口数量增加了.(用科学记数法表示)【答案】3.5×1【分析】用2025年进出口集装箱数量减去2024年的数量，将结果整理为符合要求的科学记数法的形式即可解答.【详解】解：根据题意列算式计算得：5.5×115.某区抽查300名学生每周做家务的次数，如图所示，据此可以推测全区9000名学生每周做家务次数大于5次的有人.【答案】3000【详解】解：由题意知，300名学生每周做家务次数大于5次的有40+30+30＝100(人),在300名学生中，每周做家务次数大于据此可以推测全区9000名学生每周做家务次数大于16.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,EF是梯形的中位线,点P是边BC上一点,联结AP、DP分别交EF于点M、N,若BC＝2AD,S△PMN【答案】12【分析】设梯形的高为h，用AD表示出MN的长度，利用三角形面积公式求出AD与h的乘积，最后代入梯形面积公式计算即可求解.【详解】解：设梯形ABCD的高为h∵EF是梯形ABCD的中位线∴E∵BC＝2AD∴在△ABP中,E为AB中点,EM∥BP∴EM＝12∴∵∴∴AD·h＝8∴17.如图,在等边△ABC中,点D是边BC的中点,连接AD,将△ABC绕点D旋转α°(0＜α＜90),得到△A'B'C',边A'B'交AD于点P,当A'B'⊥AC时,APPD的值为【答案】3【分析】根据等边三角形的性质得出，AD⟂BC,∠DAC＝30∘,，结合A'B'⟂AC求出∠B'PD＝60【详解】解：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴∵A'B'⊥AC,∴在Rt△APE(设A'B'交AC于点E)中,∠由旋转的性质可知△∴在△B'PD中,∠B'PD＝60°,∠PB'D＝60°,∴△B'PD是等边三角形,∴PD＝DB',∴PD＝DB,在Rt△ABD中,∠ADB＝90°,∠B＝60°,∴∴∴三、解答题18.计算:－【答案】2-【分析】本题考查零指数幂、绝对值的性质、二次根式化简以及分母有理化的知识.先分别化简每一项，再合并同类二次根式即可得到结果.【详解】解：原式：＝＝＝19.解方程组：{【答案】{【分析】本题使用代入消元法求解，先将一次方程变形，用含y的代数式表示x，再代入二次方程得到一元二次方程，求解后再回代求x的值.【详解】解：{由②得x＝y+4③把③代入①得y整理得y因式分解得(y－5)(y+3)＝0解得y把y＝5代入③得x＝5+4＝9把y＝－3代入③得x＝－3+4＝1∴原方程组的解是{20.如图，小明正在确认某一建筑物与栏杆是否安全，栏杆AB与建筑物的底端处在同一水平面上，规定建筑物高度h与栏杆到建筑物的距离d满足hd(1)当d＝100米时，h至少需要小于多少米?(2)若在观测场测得AB的长是a，BC的长为b，在B处观测C的仰角为θ，求h/A.(用含a、b、θ的代数式表示)【答案】(1)h至少需要小于12.5米2【分析】(2)过点B作建筑物的垂线,垂足为点D,则BD＝d,CD＝h－a,在Rt△BCD中,si【详解】(2)解:如图所示,过点B作建筑物的垂线,垂足为点D,则BD＝d,CD＝h－a,在∴h＝a+bsinθ,d＝bcosθ,∴21.某景区通过自动扶梯将游客送往观景台，8：10：00时第一位游客站上扶梯，8：10：51时第一位游客到达观景台，此后的游客有序排队入场，每位游客到达时间的间隔为0.8秒.(1)设登上观景台的游客数为x，时间为y(从8：10：00开始计时，单位为秒)，请完成表格，并写出y关于x的函数解析式；(不用写定义域)x16y表1(2)①请你求出从8点10分0秒整到8点12分0秒整，一共有几位游客到达观景台；②请你求出从8点12分0秒整到8点14分0秒整，一共有几位游客到达观景台.【答案】(1)表格依次填入51,55;y关于x的函数解析式为y＝0.8x+50.2(2)①87位;②150位【分析】本题为一次函数实际应用问题，解题思路为：首先根据题意得到第一位游客到达的时间，结合游客到达间隔推出表格数据，再推导得到y关于x的一次函数解析式，最后根据不同时间段的总计时y的范围，结合x为正整数的性质，计算得到对应游客数量.用到的性质为一次函数的定义与一元一次不等式的求解.【详解】(1)解：由题意可知，第一位游客到达时间为从计时开始51秒.所以当x＝1时,y＝51.每位游客到达间隔为0.8秒，当x＝6时,y＝51+0.8×(6－1)＝55.∵x位游客，第一位用时51秒，剩余(x－1)位每位间隔0.8秒，∴y＝51+0.8(x－1)＝0.8x+50.2(2)解:①从8点10分0秒整到8点12分0秒整,总计时y＝120秒.令0.8x+50.2≤120解得x≤87.25x为正整数,因此最大x＝87.答：一共有87位游客到达观景台.②从8点10分0秒整到8点14分0秒整,总计时y＝240秒.令0.8x+50.2≤240解得x≤237.25x为正整数,因此到8点14分0秒整最多有237位游客到达.该时间段游客数为237－87＝150.答：一共有150位游客到达观景台.22. 如图，菱形ABCD中，E是线段CD上的点，连接BE交对角线AC于点F，且∠FBC＝∠CAB.(1)如果AF＝2BF,求证:CE＝DE;(2)如果∠ABE的角平分线交AC、AD于点G、H,求证:C【答案】(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,∴∠∵∠FBC＝∠CAB,∴∠FBC∴FB∵AF∴AF∵AB∥DC,∴∠CEF＝∠ABF,∵∠EFC＝∠AFB,∴△AFB∽△CFE,∴∵AB＝DC,∴故CE＝DE.(2)证明:∵据(1)可知∠FBC＝∠BCA,∴∠BFA＝∠FBC+∠BCA＝2∠FBC,∵∠FBC＝∠CAB,∴∠BFA＝2∠CAB,∵∠DAC＝∠DCA＝∠CAB＝∠BCA,∠BAH＝∠DAC+∠CAB,∴∠BAH＝2∠CAB,∴∠BFA＝∠BAH,∵BH平分∠ABE,∴∠ABH＝∠GBF,∴△BFG∽△BAH,∴∵BA＝CD,∴∴CD·BG＝BH·BF.【分析】(1)利用菱形对角线平分内角，结合等角对等边得FB＝FC，由AF＝2BF得到AF＝2CF,再由AB∥CD证△AFB∽△CFE,推出AB＝2CE,结合菱形边长相等证出CE＝DE;(2)先通过∠BFA＝2∠FBC与∠FBC＝∠CAB推导∠BFA＝∠BAH,结合角平分线得∠ABH＝∠GBF,证得△BFG∽△BAH,写出相似比例式,用BA＝CD代换,变形得到乘积等式.【详解】(1)略(2)略23.对于函数y＝ax2+bx+ca≠0,对称轴与x轴交于点A，将点A向右平移一个单位得到点B，使点C与点B的横坐标相等，且点C的纵坐标为(1)已知函数y＝(2)已知点C为某抛物线的“派生点”,点P(1,m)和Q(7,n)在其“派生直线”y＝2x－6上,且点P是该抛物线与其“派生直线”的交点，求PCCQ的值，并判断点Q【答案】(1)y＝4x2PCCQ＝【分析】(1)用待定系数法求一次函数解析式；(2)先根据点在直线上的性质求出各点坐标，计算线段比，再求出抛物线解析式，代入点坐标验证点是否在抛物线上.【详解】(1)解：已知函数y＝2x2+3,可得a＝2，对称轴与x轴交点A坐标为(0，0)，将A向右平移1个单位得到B，B的横坐标为0+1＝1,根据定义,C横坐标为1,纵坐标为2a＝4.即C(1,4),设派生直线AC解析式为y＝kx，代入C(1,4)得k＝4.因此该函数的派生直线解析式为y＝4x.(2)解：由题意，A是派生直线y＝2x－6与x轴的交点，A纵坐标为0，将y＝0代入y＝2x－6得0＝2x－6,解得x＝3,因此A(3,0),根据定义，B横坐标为3+1＝4，因此C横坐标为4，将x＝4代入y＝2x－6得y＝2.因此C(4,2),将P(1,m)代入y＝2x－6得m＝－4,即P(1,－4),将Q(7,n)代入y＝2x－6得n＝8,即Q(7,8),∴∴由定义，抛物线对称轴为x＝3，C纵坐标为2a＝2,得a＝1,设抛物线解析式为y∵P(1,－4)在抛物线上,代入得.-4解得k＝－8,∵抛物线解析式为y∴将x＝7代入抛物线解析式得.y＝72-6×7+1＝24.在半圆AOQ中，点O为圆心，线段AQ为直径，B、C是半圆上两点，D是AB上一点，连接AB、CD交于点P,且AB＝CD.(1)如图1,连接OP;①求证:∠APO＝∠CPO;②如图2,连接OB交弦CD于点H,若AQ＝4,PB＝1,PO＝HO,求PH的长;(2)如图3,连接PQ、A