2026年天津市中考数学试卷（含答案及解析）

数学试卷第1页(共8页)2026年天津市初中学业水平考试数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页。试卷满分120分。考试时间100分钟。答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效。考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回。祝你考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。2.本卷共12题,共36分。一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）计算5＋（－2）的结果等于1（A）－7 （B）7（C）－3 （D）3（2）右图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是数学试卷第2页(共8页)（3）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（A） （B） （C） （D）（4）2026年5月28日，2026世界智能产业博览会在天津开幕，展览面积达130000平方米，创历年之最.将数据130000用科学记数法表示应为A0.13×1C13×1（5）估计1＋（A）2和3之间 （B）3和4之间（C）4和5之间 （D）5和6之间（6）若点A（x₁,－2）,B（x₂,4）,C（x₃,8）都在反比例函数y＝16x的图象上,则x₁,x₂,（A）x1＜x2（C）x1＜x372（A）1-2 （B）（C）1-22 （D（8）《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何?”意思是：现有几个人共同买羊，每人出5钱，少45钱；每人出7钱，少3钱.那么人数、羊价各是多少?若设人数为x，则可以列出的方程为（A）5x＋45＝7x＋3 （B）5x＋3＝7x＋45（C）5x＋45＝7x－3 （D）5x－45＝7x＋3数学试卷第3页（共8页）（9）计算4b（A）2a＋2b （B）2（C）2b－a （10）如图,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝100°,BD是△ABC的角平分线.按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD相交于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线DG，与边BC相交于点H.则∠CDH的大小为（A）25° （B）30°（C）35° （D）40°（11）如图,在△ABC中,AB＝8,AC＝6,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，使点C的对应点E落在边AB上，点B的对应点为D，连接CE并延长，与BD相交于点F，若BF＝3,则△ABF的面积为（A）255 （B）（C）82 （D）（12）矩形ABCD中,AB＝5cm,AD＝7cm.动点P从点A出发,以1cm/s的速度沿边AD、边DC向终点C运动；动点Q从点A同时出发，以1cm/s的速度沿边AB、边BC向终点C运动.设运动的时间为ts.当t＝3s时，点P，Q的位置如图所示.给出下面三个结论：①当t＝6s时，四边形APCQ是平行四边形；②△APQ的最大面积为35③当△APQ的面积为10cm²时,t＝25s或t（A）①② （B）①③（C）②③ （D）①②③数学试卷第4页（共8页）2026年天津市初中学业水平考试数学第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）。2.本卷共13题,共84分。二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）（13）不透明袋子中装有15个球，其中有2个红球、6个黄球、7个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为.（14）计算.x2y⋅3（15）计算10＋310（16）将直线y＝－x＋b（b为常数）向上平移2个单位长度，若平移后的直线经过第二、第一、第四象限，则b的值可以是（写出一个即可）.（17）如图,在菱形ABCD中,BC＝5,∠B＝60°,连接AC.（Ⅰ）线段AC的长为;（Ⅱ）点E在边AB上,点F在BC的延长线上,EF与AC相交于点G,H为CD的中点.若AE＝CF＝1,则线段GH的长为.（18）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上，点C在网格线上，以AC为直径的半圆经过点B.（Ⅰ）线段AB的长为;（Ⅱ）点M在线段BC上,点N在线段AM上,满足∠BNM＝∠CNM＝∠ACB.请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）.数学试卷第5页(共8页)三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）（19）（本小题8分）解不等式组2x≥x-3，①3x-4≤x②请结合题意填空，完成本题的解答.（Ⅰ）解不等式①,得;（Ⅱ）解不等式②,得;（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为.（20）（本小题8分）某校为强化学生低碳生活的环保理念，随机调查了该校a名学生周末绿色出行的次数，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填空：a的值为，图①中m的值为，统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的众数和中位数分别为和；（Ⅱ）求统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的平均数；（Ⅲ）根据样本数据，若该校共有1200名学生，估计该校学生周末绿色出行的次数是6的人数约为多少?数学试卷第6页(共8页)（21）（本小题10分）已知点A,B在⊙O上,∠AOB＝120°,点C在AB上，点D在以A，B为端点的优弧上.（Ⅰ）如图①,当C为AB的中点时,若DB＝DC,求∠OBC和∠OBD的大小;（Ⅱ）如图②,当∠AOC＝90°时,过点D作⊙O的切线EF,且EF∥OB,CD与OB相交于点G，若⊙O的半径为3，求BD和DG的长.（22）（本小题10分）综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑AB的高度（如图①）.某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，BC∥DE，AB的延长线与水平线DE相交于点O.从地面C处沿步道CD（看作斜坡）前行，至平台DE,CD＝22m;在平台D处测得纪念碑顶部A的仰角（∠ODA）为42°,斜坡CD的倾斜角（∠ODC）为12°;在平台E处测得纪念碑顶部A的仰角（∠OEA）为35°,DE＝9m.根据该学习小组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑AB的高度（结果取整数）.参考数据：tan数学试卷第7页（共8页）（23）（本小题10分）已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家1km，体育公园离家2km.小杰从家出发，先匀速骑行了10min到体育公园，在体育公园停留了40min，之后匀速骑行了5min到民俗文化馆，在民俗文化馆停留20min后，再匀速骑行了5min回到家.下面图中x表示时间，y表示离家的距离.图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系.请根据相关信息，回答下列问题：（Ⅰ）填表:小杰离开家的时间/min6205065小杰离家的距离/km2（Ⅱ）当50≤x≤80时，请直接写出小杰离家的距离y关于时间x的函数解析式；（Ⅲ）当小杰离开家40min时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了50min直接回到家.在50≤x≤80的时段内，对于同一个x的值，小杰离家的距离为y₁，小杰的爷爷离家的距离为y₂，当y1＝y2时，求x的值数学试卷第8页(共8页)（24）（本小题10分）将一个四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴的正半轴上,点A,C分别在第一、第四象限,且关于x轴对称,OA＝6,∠A＝90°,∠AOC＝120°.（Ⅰ）填空：如图①，点B的坐标为，点C的坐标为；（Ⅱ）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O′落在x轴的正半轴上.设OP＝t.①如图②，若直线l分别与边AB，CB相交于点D，E，当折叠后重叠部分为五边形时，点A,C的对应点分别为A′,C′,A′O′与DB相交于点F,C′O′与EB相交于点G.试用含有t的式子表示线段DF的长，并直接写出t的取值范围；②设折叠后重叠部分的面积为S，当2≤t≤8时，求S的取值范围（直接写出结果即可）.（25）（本小题10分）已知抛物线.y＝ax2＋bx＋c（a,b,c为常数,a＜0（Ⅰ）当a＝－1,b＝－2,c＝3时,求点P的坐标;（Ⅱ）点A（－c，0）和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点.①当a＝-12时,若∠PCA②若点B（m,0）,∠ACB＝75°,D为线段BC的中点,点M在线段AC上（不与点A,C重合），点N在线段AB上，且CM＝2BN,当MN＋ND取得最小值为5数学参考答案第1页（共5页）2026年天津市初中学业水平考试数学参考答案及逐题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）（1）D （2）B （3）A （4）B （5）C （6）C（7）B （8）A （9）D （10）B （11）C （12）D答案解析1.D【解析】【详解】解:5+(－2)＝5－2＝3.2.B【解析】【详解】解：它的主视图是，3.A【解析】【分析】如果一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，根据轴对称图形的定义求解即可.【详解】解：A选项：汉字“奋”沿竖直中线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，是轴对称图形，故A选项符合题意；B选项：汉字“楫”左右结构不同，不是轴对称图形，故B选项不符合题意；C选项：汉字“争”笔画不对称，不是轴对称图形，故C选项不符合题意；D选项：汉字“先”笔画不对称，不是轴对称图形，故D选项不符合题意.4.B【解析】【详解】解：1300005.C【解析】【分析】先估算出11的取值范围，再对不等式两边加1，即可得到1+【详解】解:∵9＜11＜16∴9＜11不等式两边同时加1，得3+1＜因此1+11的值在4和6.C【解析】【分析】先根据k的正负判断函数图象所在象限，再结合同一象限内y随x的变化规律，即可比较横坐标的大小.【详解】∵反比例函数y＝16x中,k＝16∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点A的纵坐标－2＜0,∴点A在第三象限，可得x∵点B、C的纵坐标4,8都大于0,∴点B、C都在第一象限，又∵4＜8,∴综上可得x7.【答案】B【解析】【详解】解：2＝＝＝0.8.A【解析】【分析】解题核心是抓住羊价不变的等量关系，根据两种出钱方案分别表示出羊价，即可列出正确方程.【详解】解：设人数为x，∵每人出5钱，还差45钱，∴羊价可表示为(5x+45)钱,∵每人出7钱，还差3钱，∴羊价可表示为(7x+3)钱,∵羊价固定不变，∴可列方程为5x+45＝7x+3.9.D【解析】【详解】解：原式＝＝＝＝＝10.B【解析】【分析】利用等边对等角求得∠ABC＝40∘,利用角平分线的定义求得∠ABD＝2【详解】解：∵AB∴∠∵BD是△ABC的角平分线,∴∴∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝120°,由作图知DG⊥BD,∴∠BDH＝90°,∴∠11.C【解析】【分析】由旋转的性质可知：AC＝AE＝6,AB＝AD＝8,∠CAE＝∠BAD,则有△ACE△ABD,然后可得△BEF∽△BDA,则有【详解】解:由旋转的性质可知:AC＝AE＝6,AB＝AD＝8,∠CAE＝∠BAD,∴∴△∴∠∵∠∴∠∵∠∴△∴∴BF过点F作FH⊥∴∴∴12.【答案】D【解析】【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断.【详解】解:①当t＝6s时,如图2,BQ＝6－5＝1,AP＝6,∴CQ＝7－1＝6,∴CQ＝AP＝6,∵矩形ABCD,∴AD∥BC,即AP∥QC,∴四边形APCQ是平行四边形，①正确；②当点P在AD上,点Q在AB上,此时0＜t≤5时,如图1,AP∴当t＝5时,△APQ的最大面积为25当点P在AD上,点Q在BC上,此时5＜t≤7时,如图3,AP∴当t＝7时,△APQ的最大面积为35当点P在CD上，点Q在BC上，此时7＜t≤12DP＝t－7,BQ＝t－5,CP＝12－t,CQ＝12－t,∴＝＝∵-∴不存在最大值，综上，③当点P在AD上,点Q在AB上,此时0＜t≤5时,又∴t＝当点P在AD上,点Q在BC上,此时5＜t≤7时,由∴t＝4(不符合题意,舍去);当点P在CD上,点Q在BC上,此时7＜t≤12时,S由题意得∴t＝2(不符合题意,舍去)或t＝10;综上,当△APQ的面积为10cm²时,t＝25s或t二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)13【解析】【分析】根据概率计算公式，求出事件所有可能的结果数，取出红球的可能结果数，即可求解.【详解】解：所有可能的结果数为15，取出红球的可能结果数为2，则取出红球的概率为214.答案】3x⁴y【解析】【详解】解：x＝＝＝15.【答案】7【解析】【分析】本题考查了二次根式的运算，正确计算、掌握平方差公式是解题关键.根据平方差公式计算即可.【详解】10＝10－3＝7.故答案为：7.16.【答案】1(答案不唯一，满足b＞－2即可)【解析】【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后直线的解析式，再根据一次函数的图象性质得到b的取值范围，写出一个符合要求的值即可.【详解】解：根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，将直线y＝－x+b向上平移2个单位长度后，得到新直线的解析式为y＝－x+b+2，∵平移后的直线经过第一、二、四象限，∴k＝－1＜0,b+2＞0,解得b＞－2,∴b的值可以取1，符合题意(答案不唯一).17【解析】【分析】(I)因为菱形四边相等，所以AB＝BC，又因为∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形，由此可直接得到AC的长度.(Ⅱ)过点E作EM∥BC，交AC于点M，过H作HN⊥AC于点N，根据等边三角形的性质和判定先证得△AEM是等边三角形,进而可证得△EMG≌△FCG,可求得CG的长度,在Rt△CHN中,∠HCN＝60°,可求出HN,GN的长,最后可利用勾股定理求出GH的长.【详解】解:(I)∵菱形ABCD,∴AB＝BC＝5.又∵∠B＝60°,∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝5.(Ⅱ)过点E作EM∥BC,交AC于点M,过H作HN⊥AC于点N,如图:∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°,∵EM∥BC,∴∠AEM＝∠B＝60°,∠EMG＝∠FCG,∴△AEM是等边三角形,∴AE＝EM＝AM＝1.∵CF＝1,∴EM＝CF,又∠EGM＝∠FGC,∴△EMG≌△FCG(AAS),∴MG＝CG.∴CM＝AC－AM＝5－1＝4,∴已知H是CD中点,CD＝BC＝5,∴C由菱形性质得∠ACD＝∠ACB＝60°,即∠GCH＝60°.在Rt△CHN中,∠HCN＝60°,∴CN∴在∴（18）（Ⅰ）13（Ⅱ）如图，取格点D，连接DC，与网格线相交于点E；连接AE，与BC相交于点M，与半圆相交于点F；连接BF，与网格线相交于点G；取BC与网格线的交点H，连接GH并延长，与网格线相交于点I；连接CI并延长，与AM相交于点N，则点M，N即为所求.【解析】【分析】(I)利用勾股定理求解即可；(Ⅱ)可证明点O为AC的中点，点D为BC的中点，点D为OE的中点，点G为AB的中点，点G为FH的中点,则可证明四边形OCEB是菱形,得到∠CBE＝∠BCE＝∠ACB;证明四边形AHBF是平行四边形，进而可证明四边形AKBN是平行四边形，得到∠AKB＝∠ANB；由圆内接四边形对角互补可得∠AKB+∠ACB＝180°,则可证明∠BNM＝∠ACB,得到∠BNM＝∠BCE,据此可证明B、N、C、E四点共圆,得到∠CNM＝∠BCE＝∠ACB,则∠BNM＝∠CNM＝∠ACB.【详解】解：(I)由网格的特点和勾股定理可得AB(Ⅱ)如图所示,连接BE,CE,BN,CN,AK,取格点P、Q,可证明△AOP△ACQ,得到OAAC＝APAQ＝12，则点O为AC的中点，即点O为半圆的圆心，同理可得点D为BC的中点，点D为OE的中点，点G为又∵OB＝OC,∴四边形OCEB是菱形，∴∠ACB＝∠BCE,BE＝CE,∴∠CBE＝∠BCE＝∠ACB;同理可证明四边形AHBF是平行四边形，∴BH∥AF,∴∠GKB＝∠GNA,∠GBK＝∠GAN,又∵AG＝BG,∴△GBK≌△GAN(AAS),∴BK＝AN,∴四边形AKBN是平行四边形，∴∠AKB＝∠ANB;∵四边形ACBK是圆内接四边形，∴∠AKB+∠ACB＝180°,又∵∠ANB+∠BNM＝180°,∴∠BNI∴∠B∴B、N、C、E四点共圆,∴∠CNM＝∠CBE＝∠ACB,∴∠BNM＝∠CNM＝∠ACB三、解答题（本大题共7小题，共66分）（19）（本小题8分）解:（Ⅰ）x≥－3;（Ⅱ）x≤2;（Ⅳ）－3≤x≤2.（20）（本小题8分）解:（Ⅰ）50,30,5,5.（Ⅱ）观察条形统计图，∵∴这组数据的平均数是5.数学参考答案第2页（共5页）（Ⅲ）∵在所抽取的样本中，周末绿色出行的次数是6的学生占20%，∴根据样本数据，估计该校1200名学生中，周末绿色出行的次数是6的学生约占20%,有1200×20%＝240.∴估计该校学生周末绿色出行的次数是6的人数约为240.（21）（本小题10分）解:（Ⅰ）如图,连接OC.∵C为AB的中点，∴BC＝AC.又∠∴∠BOC＝∠AOC＝60°.又OB＝OC,∴△BOC为等边三角形.得∠OBC＝60°.由∠BDC＝12∠BOC,得∠∵DB＝DC,∴∠DCB＝∠DBC.得∠DBC∴∠OBD＝∠DBC－∠OBC＝15°.（Ⅱ）如图,连接OD.∵EF与⊙O相切于点D,∴OD⊥EF.即∠EDO＝90°.∵EF∥OB,∴∠BOD＝∠EDO＝90°.又OB＝OD＝3,∴∠ODB＝∠OBD＝45°.在Rt△OBD中,由BD2＝∵∠AOC＝90°,∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝30°.得∠BDC∴∠ODG＝∠ODB－∠BDC＝30°.在Rt△ODG中,由cos∠ODG＝ODDG∴DG数学参考答案第3页（共5页）（22）（本小题10分）解:根据题意,有∠AOE＝90°.在Rt△AOD中,tan∠ODA＝AODO在Rt△AOE中,tan∠OEA＝AOEO∵EO－DO＝DE,DE＝9,∴∴AO如图,过点C作CH⊥DE,垂足为H.在Rt△CDH中,sin∠CDH∴CH＝CD·sin∠CDH＝22×sin12°≈22×0.2＝4.4.∵∠CBO＝∠BOH＝∠OHC＝90°,∴四边形BCHO是矩形.得BO＝CH.∴AB＝AO－BO≈28.35－4.4≈24.答：引滦入津工程纪念碑AB的高度约为24m.（23）（本小题10分）解:（Ⅰ）1.2,2,1.（Ⅱ）当50≤x≤55时,y＝－0.2x＋12;当55＜x≤75时,y＝1;当75＜x≤80时,y＝－0.2x＋16.（Ⅲ）