2026年宜宾市中考数学试卷（含答案及解析）

宜宾市2026年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学（考试时间:120分钟;全卷满分:150分）注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡指定的位置并将答题卡背面座位号对应标号涂黑.2.答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效.一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.－2026的绝对值是A.2026 B.0 C.－2026 D.±20262.下列计算正确的是A.a+a＝a2 B.2a－C.a⋅a2＝23.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A.等腰三角形 B.梯形C.正方形 D.正五边形4.某校8位同学参加志愿服务，服务时长（单位：小时）如下：1，1，2，3，3，4，4，4.则这组数据的众数是A.1 B.2C.3 D.45.如图,⊙O是△ABC的外接圆,连接OA、OC.若△AOC为等边三角形，则∠ABC的度数是A.20° B.30°C.50° D.60°6.已知方程x2A.4 B.5 C.6 D.77.我国古代算书《四书玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱.试问甜苦果几个，又问各该几个钱?”大致意思是：999文钱买甜果和苦果共1000个，甜果11文钱买9个，苦果4文钱买7个，问买甜果和苦果各多少个，买甜果和苦果各多少钱?设买甜果x个，买苦果y个.下列所列方程组中正确的是A.x＋y＝1000119x＋47y＝999C.x＋y＝9998.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,以点A为圆心,小于AC长为半径画弧分别交AC、AB于点P、Q，又分别以P、Q为圆心，大于12PQ为半径画弧交于点M,连接AM交BC于点D.已知AB＝5,CD＝2,则△ABD的面积是A.2 B.3C.4 D.59.如图，一条直线与反比例函数y＝kxx0）的图象交于A、B两点，分别与y轴、x轴交于C、D两点.若2AB＝3BD,S△A.3 B.20C.7 D.402110.如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边.现有1g，3g，9g的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有A.6种 B.7种C.13种 D.14种11.如图,AB⊥BC,CD⊥BC,点E、F分别是BC上的点,连接AE、DF交于点G.若BF＝EF＝2,CE＝1,AB＝4,CD＝6,则BG的长是A.233 B.C.433 D.12.点P是抛物线y＝-x2+2a-1x-a2-1的顶点,点A（－1,m）、B（t,m①当点P在x轴上时,a＝1;②点P在直线y＝2x上;③m+2t＜1;④当点P所在直线与线段AB没有交点时，a的取值范围是a＞2；⑤当点P在原点时，过点C0,-14的直线与抛物线交于M、N其中正确的结论有A.2个 B.3个 C.4个 D.5个二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.13.分解因式：a214.不等式3x－2＞5x－4的解集是.15.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE垂直且平分线段BO，垂足为点E.已知BD＝20cm，则AB的长为cm.16.如图,已知△ABC中,AB＝3,AC＝5,BC＝7,点P在BC边上运动，连接AP.当△ABP和△APC的内切圆半径相等时,设BP＝t,则AP＝（用含t的代数式表示）.17.某科研机构为训练机器人的判断和执行力，将100个机器人安排坐在编号依次为1到100的桌子前，每张桌子的桌面上只平放一张反面向上的扑克牌（扑克牌只有正面向上或反面向上），开始向每个机器人发送1，2，3，…，100的数字指令，每个机器人作出判断和执行：当机器人所坐桌子的编号是指令数字的整数倍时，就将桌面上扑克牌翻一面，否则就不动.假设每个机器人判断全部正确且按要求完成了操作，则正面向上的张数是.18.如图,∠ABC＝135°,AB+BC＝8,将AC绕点A逆时针旋转90°得到AD.连接BD，则BD的最小值为.三、解答题：本大题共7个小题，共78分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本题满分10分）（1）计算: 4－2＋10＋tan420.（本题满分10分）如图,▱ABCD中,AE、CF分别垂直对角线BD于点E、F.求证:AE＝CF.21.（本题满分10分）某校组织全校1000名学生进行“爱祖国，爱家乡”知识竞赛.从中随机抽取了m名学生，并按竞赛成绩分成A、B、C、D四组，绘制出以下不完整的统计图.请结合图中信息解答下列问题：（1）m＝,补全条形统计图;（2）根据竞赛成绩，C、D组的学生被评为优秀，估算全校优秀的人数；（3）竞赛中有2名女生和1名男生获得满分，从这三名学生中随机抽取2名学生代表学校参加下一轮竞赛.请用列表或画树状图的方法，求抽到1名男生和1名女生的概率.22.（本题满分10分）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽.某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图1），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有25根柱子，每两根柱子之间的距离为4米（如图2），组长站在最中间柱子EC正下方，背对车站向正前方走了20米到达F点，转身测得D、E两点的仰角分别是50.3°和58°（不计测角仪的高度）（如图3）.（1）求DE的长;（2）求正大门穹顶圆弧所在圆的半径.（结果保留整数.参考数据：sin5823.（本题满分12分）如图，一次函数.y＝x+b（b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与反比例函数y＝mx的图象交于横坐标为1的点P，过点P作PA⊥x轴于点A.已知（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）若Q是A点关于y轴的对称点，M、N分别是y轴和线段BC上的动点，求△MNQ周长的最小值.24.（本题满分12分）如图,△ABC是等腰三角形,AC＝BC,∠ACB＝120°,点D是AB中点,CE平分∠ACD交AB于点E.（1）求∠BCE的度数;（2）求证:AC与△BCE的外接圆相切;（3）P为△BCE外接圆上任意一点，试探究PD与PA的数量关系，并说明理由.25.（本题满分14分）抛物线y＝ax2+bx+ca≠0与x轴交于A（－1,0）、B（2C（0,－2）.（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，连接AD.试判定△ABD的形状，并说明理由；（3）如图2,点E、F是直线AC上两动点,且∠EBF＝∠ABC.求△EBF面积的最小值.宜宾市2026年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学答案及解析题号12345678910答案ABCDBDADBC题号1112答案DB1.A【详解】解：|－2026|＝2026.2.B【详解】解:A、a＋a＝2a，原式计算错误，不符合题意；B、2a－a＝a，原式计算正确，符合题意;C、D、3.C【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可.【详解】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、梯形不一定是轴对称图形，且所有的梯形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.4.D【分析】一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数，据此可得答案.【详解】解：∵在这组数据中，1出现2次，2出现1次，3出现2次，4出现3次，∴4是这组数据中出现次数最多的数，∴这组数据的众数为4.5.B【分析】根据等边三角形的性质得到∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得到∠ABC的度数.【详解】解：∵△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∵xC＝xC，∴6.D【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可.【详解】解：∵∴（x－2）（x－7）＝0，∴x－2＝0或x－7＝0，解得x＝2或x＝7，∵方程x2∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7，∴该菱形的面积为17.A【分析】设买甜果x个，买苦果y个，根据甜果和苦果共1000个，可得方程x＋y＝1000，求出单个甜果的价格为119文，单个的苦果价格为47文，根据总花费一共是999文，可得方程【详解】解：设买甜果x个，买苦果y个，∵甜果和苦果共1000个，∴x＋y＝1000，∵11文钱可以买9个甜果，4文钱可以买7个苦果，∴单个甜果的价格为119文，单个的苦果价格为4∵总花费一共是999文，∴∴可得方程组x＋8.D【分析】根据作图痕迹可知AD是∠BAC的角平分线，利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于CD的长，再根据三角形面积公式求解即可.【详解】解：由作图痕迹可知，AD是∠BAC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，Q∠ACB＝90°，即DC⊥AC，∴DE＝CD＝2，∴9.B【分析】如图，过点A作AE⊥OD于点E，过点B作BF⊥OD于点F，证明△DBF∽△DAE，得到BFAE＝BDAD＝25，设AE＝5a，BF＝2a得到Ak5a5【详解】解:如图，过点A作AE⊥OD于点E，过点B作BF⊥OD于点F，∵2AB＝3BD∴∴∵AE⊥OD，BF⊥OD∴AEPBF∴∴设AE＝5a，BF＝2a∴∴O∴∵AEPBF∴∴∴FD∴∵CO⊥OD∴OCPBF∴△DBF∽△DCO∴∴OC＝7a∵∴∴10.C【分析】根据天平平衡原理，物体质量等于两边砝码质量之差或和，通过分类讨论列举出所有可能的质量值即可.【详解】解：设物体质量为x，砝码可以放在天平的左盘或右盘，则x的值为砝码质量的代数和（取正值，分三种情况讨论：只使用一个砝码:x＝1，x＝3，x＝9，共3种;使用两个砝码：两砝码放在异侧（做减法）：3－1＝2，9－1＝8，9－3＝6;两砝码放在同侧（做加法）:1＋3＝4，1＋9＝10，3＋9＝12;共6种;使用三个砝码：9＋3＋1＝13;9＋3－1＝11;9＋1－3＝7;9－3－1＝5;共4种综上所述，能称出的整数克质量有:1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，共13种.11.D【分析】过点G作GH⊥BC于点H，利用相似三角形的性质求出GH和BH的长，最后在RiNBGH中利用勾股定理求解.【详解】解:过点G作GH⊥BC于点H，∴AB∥GH∥CD，∴△△EGH∽△EAB，△FGH∽△FDC，QBF＝EF＝2，CE＝1，∴BE＝BF＋EF＝4，FC＝EF＋CE＝3设GH＝h，∵△EGH∽△EAB∴∴EH＝h，∵△FGH∽△FDC，∴GHCD＝∴FHQEF＝EH＋FH＝2∴h解得∴∴∴在12.B【分析】先对抛物线配方得到顶点坐标，再逐个验证五个结论，利用二次函数顶点坐标性质、对称点性质、交点判断等初中知识逐一分析，统计正确结论个数即可.【详解】解：∵y∴顶点P坐标为（a－1，－2a＋2），①若P在x轴上，则顶点纵坐标为0，即－2a＋2＝0，解得a＝1，故①正确;②将x＝a－1代入y＝2x＝2（a－1）＝2a－2，当a≠1时，2a－2≠－2a＋2，∴点P不在直线y＝2x上，故②错误；③∵A（－1，m），B（t，m）纵坐标相同，对称轴为x＝a－1，∴解得t＝2a－1，将A（－1，m）代入抛物线得m∴m当a＝1时m＋2t＝1，不满足m＋2t＜1，故③错误;④∵顶点P坐标为（a－1，－2a＋2），∴∴P所在直线为y＝－2x，将y＝m代入y＝－2x得，m＝－2x，解得∵当点P所在直线与线段AB没有交点时，∴x＜－1或x＞t＝2a－1，∴整理得，a（a＋2）＜0或a（a－2）＞0，∵t＝2a－1＞－1，∴a＞0，∴a（a＋2）＜0无解;∵a（a－2）＞0，∴a－2＞0，∴a＞2，故④正确;⑤∵点P（a－1，－2a＋2）在原点，∴a－1＝0，－2a＋2＝0，∴a＝1，∴抛物线为y当过C0-14的直线是x＝0时，此时直线与抛物线只有一个交点不符合题意，则可设过联立得-整理得，4设M∴∴∴x12∴∣∴同理可得，故⑤正确.综上，正确结论为①④⑤，共3个.13.a（a－4）【分析】根据提公因式法进行因式分解即可.【详解】解：原式＝故答案为:a（a－4）.【点睛】本题主要考查提公因式进行因式分解，找出多项式中各项的公因式是解题的关键.14.x＜1【详解】解:3x－2＞5x－4移项得3x－5x＞－4＋2，合并同类项得－2x＞－2，系数化为1得x＜1.15.10【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AO，再由矩形的性质得到AO＝12BD＝10cm，【详解】解：∵AE垂直且平分线段BO，∴AB＝AO，∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，BD＝20cm，∴∴AB＝AO＝10cm.16.【分析】设则可设同理可得而【详解】解:设左边圆的圆心为O，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BP，OF⊥AP，垂足分别为点D，E，F，∵eO为△ABP的内切圆，∴OD＝OE＝OF设AP＝x，OD＝OE＝OF＝r∵S∵AB＝3，BP＝t，AC＝5，BC＝7，∴PC＝7－t∴∵△ABP和△APC的内切圆半径相等S∴又∴解得17.10【分析】初始所有扑克牌反面向上，每张牌被翻动的次数等于对应桌子编号的正因数个数，翻动奇数次后牌变为正面向上，而只有完全平方数的正因数个数为奇数，非完全平方数的正因数个数为偶数，故只需计算1到100中完全平方数的个数即可.【详解】解：由题意，初始所有扑克牌反面向上，对编号为n（1≤n≤100，n为正整数）的桌子，当指令数字k是n的因数时，n是k的整数倍，对应扑克牌被翻动一次，因此编号n的扑克牌被翻动次数等于n的正因数个数；若扑克牌最终正面向上，则需翻动奇数次，∵对任意正整数，正因数总是成对出现（一个正整数能分解成两个正整数的乘积），且只有完全平方数的算术平方根是重复因数，∴只有完全平方数的正因数个数为奇数，非完全平方数的正因数个数为偶数.∵在1到100中，完全平方数为1²，2²，3²，…，10²，共10个，∴正面向上的张数是10.18.【分析】首先构造辅助线与全等三角形，将BD转化为CE；再用代数表达式表示CE的长度；最后通过二次函数的性质求CE的最小值，即BD的最小值.【详解】解:过A作AE⊥AB，使AE＝AB，连接CE、BE.∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∵∠ABC＝135°，∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝90°;又AB＋BC＝8，设AB＝m，则BC＝8－m.由旋转性质，得AD＝AC，∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE＝90°－∠BAC，又AE＝AB，∴△DAB≌△CAE（SAS），∴BD＝CE.在Rt△BAE中，BE在Rt△CBE中，由勾股定理得，C代入BC化简得：C∵3＞0，∴抛物线开口向上，故19.（1）22【详解】（＝2－1＋1＝2;（＝＝＝＝20.证明:∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，ABPCD，∴∠ABE＝∠CDF∴△ABE≌△CDF（AAS）∴AE＝CF.【分析】根据平行四边形的性质证明△ABE≌△CDF（AAS）.【详解】略（2）680人1000（2）解:答：全校优秀的人数为680人；（3）解：用A表示女生，用B表示男生，根据题意画树状图为：由树状图可知：共有6种等可能的结果数，其中1名男生和1名女生的结果数为4，∴抽到1名男生和1名女生的概率为422.（1）8米（2）148米【分析】（1）分别解Rt△DFC，Rt△EFC，求出DC，EC，进而根据DE＝EC－DC解答即可求解;（2）设MEN的圆心为O，连接NO，CO，根据题意可得DN＝48，设eO的半径为r米，则OD＝OE－DE＝（r－8）米，在Rt△ODN中根据勾股定理建立方程即可求解.【详解】（1）解:如图3，在Rt△DFC中，tan∠DFC∴DC≈20×1.20＝24米，在∴EC≈20×1.60＝32米，∴DE＝EC－DC＝32－24＝8（米），答：DE的长为8米；（2）解:如图2，设MEN的圆心为O，连接NO，CO，∵圆弧下面有25根柱子，每两根柱子之间的距离为4米，∴MN＝（25－1）×4＝96米，∵点D是MN的中点，∴DN＝12MN＝48米设eO的半径为r米，则（OD＝OE－DE＝（r－8）米，在Rt△ODN中，O∴解得r＝148，答：正大门穹顶圆弧所在圆的半径为148米.23.（1）一次函数和反比例函数的表达式分别为.y＝x＋3，y＝4x（2）【分析】（1）先求出P（1，1＋b），A（1，0），则PA＝1＋b，然后求出一次函数与x轴的交点B（－b，0），则AB＝1－（－b）＝1＋b，再由三角形面积建立方程求解b，再根据待定系数法求解函数表达式即可；（2）过点Q作直线BC的对称点T，连接AM，BT，AT，TN，则C△MNO＝QM＋QN＋MN＝AM＋TN＋MN≥AT，那么当点A，M，N，T共线时，△MNQ的周长取得最小值，即为AT，然后证明△ABT为直角三角形，再由勾股定理求解最小值即可.【详解】（1）解:由题意得，将x＝1代入y＝x＋b（b＞0），则y＝1＋b，∴P（1，1＋b）∵PA⊥x轴∴A（1，0），PA＝1＋b，对于一次函数y＝x＋b（b＞0），当y＝0时，x＋b＝0，解得x＝－b∴B（－b，0）∴AB＝1－（－b）＝1＋b，∵PA⊥x轴∴∴解得b1＝3∴一次函数表达式为y＝x＋3，1＋b＝1＋3＝4∴P（1，4），将点P（1，4）代入y＝mx，则m＝1×∴反比例函数表达式为y（2）解:对于直线y＝x＋3，当y＝0时，x＋3＝0，解得x＝－3;当x＝0时，y＝3∴B（－3，0），C（0，3）∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵Q是A点关于y轴的对称点，A（1，0）∴Q（－1，0），∴BQ＝BO－OQ＝3－1＝2过点Q作直线BC的对称点T，连接AM，BT，AT，TN，∴BT＝BQ＝2，∠TBN＝∠QBN＝45°，QN＝TN，QM＝AM∴C△MNQ＝QM＋QN＋MN＝AM＋TN＋MN≥AT，∠ABT＝∠TBN＋∠QBN＝90°∴当点A，M，N，T共线时，△MNQ的周长取得最小值，即为AT，∵AB＝OB＋OA＝1＋3＝4∴AT∴△MNQ的周长最小值为2524.（1）90°（2）证明:由（1）知∠BCE＝90°，∴EB是△BCE的外接圆的直径，设圆心为点O，连接OC，∵∴∠∵OC＝OB，∴∴∠∵OC为半径，∴AC与△BCE的外接圆相切;（3）解:PA＝2PD，理由如下:连接OP，设OP＝OE＝OC＝R，∵∠∴∵∴∠∴CA＝CB，点D是AB中点，∴CD⊥AB∴∠DCO＝90°－∠COE＝30°，∴∴∴∵∠DOP＝∠POA∴△DOP∽△POA∴∴PA＝2PD.【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”性质以及角平分线的定义求解即可；（2）可得EB是△BCE的外接圆的直径，设圆心为点O，连接OC，先由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到∠B＝∠CAB＝30°，再由OC＝OB，得到∠OCB＝∠B＝30°，则∠ACO＝∠ACB－∠OCB＝90°，即可证明；（3）连接OP，设OP＝OE＝OC＝R，导角