第部分整数规划

第部分整数规划演示文稿1第一页，共32页。2（优选）第部分整数规划第二页，共32页。目标规划问题举例例3．投资企业投资时不仅仅要考虑收益率，还要考虑风险。一般地，风险大的投资其收益率更高。因此，企业管理者只有在对收益率和风险承受水平有明确的期望值时，才能得到满意的决策。例4．裁员同样的，企业裁员时要考虑很多可能彼此矛盾的因素。裁员的首要目的是压缩人员开支，但在人人自危的同时员工的忠诚度就很难保证，此外，员工的心理压力、工作压力等都会增加，可能产生负面影响。例5．营销营销方案的策划和执行存在多个目标。既希望能达到立竿见影的效果，又希望营销的成本控制在某一个范围内。此外，营销活动的深入程度也决定了营销效果的好坏和持续时间。

第三页，共32页。

例6．一位投资商有一笔资金准备购买股票。资金总额为90000元，目前可选的股票有A和B两种（可以同时投资于两种股票）。其价格以及年收益率和风险系数如表1：从上表可知，A股票的收益率为（3／20）×100％＝15％，股票B的收益率为4／50×100％＝8％，A的收益率比B大，但同时A的风险也比B大。这也符合高风险高收益的规律。试求一种投资方案，使得一年的总投资风险不高于700，且投资收益不低于10000元。目标规划的图解法股票价格（元）年收益（元）／年风险系数A2030.5B5040.2第四页，共32页。目标规划的图解法

显然，此问题属于目标规划问题。它有两个目标变量：一是限制风险，一是确保收益。在求解之前，应首先考虑两个目标的优先权。假设第一个目标（即限制风险）的优先权比第二个目标（确保收益）大，这意味着求解过程中必须首先满足第一个目标，然后在此基础上再尽量满足第二个目标。建立模型：设x1、x2分别表示投资商所购买的A股票和B股票的数量。首先考虑资金总额的约束：总投资额不能高于90000元。即

20x1＋50x2≤90000。第五页，共32页。目标规划的图解法一、约束条件再来考虑风险约束：总风险不能超过700。投资的总风险为0.5x1＋0.2x2。引入两个变量d1+和d1-,建立等式如下：

0.5x1+0.2x2=700+d1+-d1-

其中，d1+表示总风险高于700的部分，d1-表示总风险少于700的部分，d1+≥0。目标规划中把d1+、d1-这样的变量称为偏差变量。偏差变量的作用是允许约束条件不被精确满足。第六页，共32页。目标规划的图解法把等式转换，可得到

0.5x1+0.2x2-d1++d1-=700。再来考虑年收入:

年收入=3x1+4x2

引入变量d2+和d2-，分别表示年收入超过与低于10000的数量。于是，第2个目标可以表示为

3x1+4x2-d2++d2-=10000。

第七页，共32页。目标规划的图解法二、有优先权的目标函数本问题中第一个目标的优先权比第二个目标大。即最重要的目标是满足风险不超过700。分配给第一个目标较高的优先权P1,分配给第二个目标较低的优先权P2。针对每一个优先权，应当建立一个单一目标的线性规划模型。首先建立具有最高优先权的目标的线性规划模型，求解；然后再按照优先权逐渐降低的顺序分别建立单一目标的线性规划模型，方法是在原来模型的基础上修改目标函数，并把原来模型求解所得的目标最优值作为一个新的约束条件加入到当前模型中，并求解。

第八页，共32页。目标规划的图解法三、图解法1．针对优先权最高的目标建立线性规划建立线性规划模型如下：

Mind1+s.t.20x1＋50x2≤900000.5x1+0.2x2-d1++d1-=7003x1+4x2-d2++d2-=10000x1,x2,d1+,d1-≥0第九页，共32页。目标规划的图解法图2图解法步骤2010002000300040005000200030004000x1x220x1＋50x2≤9000010000.5x1+0.2x2=700第十页，共32页。目标规划的图解法2．针对优先权次高的目标建立线性规划优先权次高（P2）的目标是总收益超过10000。建立线性规划如下：

Mind2-s.t.20x1＋50x2≤900000.5x1+0.2x2-d1++d1-=7003x1+4x2-d2++d2-=10000d1+＝0x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0第十一页，共32页。目标规划的图解法3x1+4x2=10000图3图解法步骤3010002000300040005000200030004000x1x220x1＋50x2≤9000010000.5x1+0.2x2=700d1+>0d1+＝0d2-=0d2->0(810,1476)第十二页，共32页。目标规划的图解法目标规划的这种求解方法可以表述如下：

1．确定解的可行区域。

2．对优先权最高的目标求解，如果找不到能满足该目标的解，则寻找最接近该目标的解。

3．对优先权次之的目标进行求解。注意：必须保证优先权高的目标不变。

4.重复第3步，直至所有优先权的目标求解完。

第十三页，共32页。目标规划的图解法四、目标规划模型的标准化例6中对两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解。为简便，把它们用一个模型来表达，如下：

MinP1（d1+）+P2（d2-）

s.t.20x1＋50x2≤900000.5x1+0.2x2-d1++d1-=7003x1+4x2-d2++d2-=10000x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0

第十四页，共32页。目标规划的基本概念（1）目标规划数学模型的形式有：线性模型、非线性模型、整数模型、交互作用模型等（2）一个目标中的两个偏差变量di-、di+至少一个等于零，偏差变量向量的叉积等于零：d－×d＋=0（3）一般目标规划是将多个目标函数写成一个由偏差变量构成的函数求最小值，按多个目标的重要性，确定优先等级，顺序求最小值（4）按决策者的意愿，事先给定所要达到的目标值当期望结果不超过目标值时，目标函数求正偏差变量最小;当期望结果不低于目标值时，目标函数求负偏差变量最小;当期望结果恰好等于目标值时，目标函数求正负偏差变量之和最小第十五页，共32页。目标规划的基本概念（5）由目标构成的约束称为目标约束，目标约束具有更大的弹性，允许结果与所制定的目标值存在正或负的偏差，如例4.1中的5个等式约束；如果决策者要求结果一定不能有正或负的偏差，这种约束称为系统约束，如例4.1的材料约束；（6）目标的排序问题。多个目标之间有相互冲突时，决策者首先必须对目标排序。排序的方法有两两比较法、专家评分等方法，构造各目标的权系数，依据权系数的大小确定目标顺序；（7）合理的确定目标数。目标规划的目标函数中包含了多个目标，决策者对于具有相同重要性的目标可以合并为一个目标，如果同一目标中还想分出先后次序，可以赋予不同的权系数，按系数大小再排序。第十六页，共32页。目标规划的基本概念式中pk

为第k

级优先因子,k=1、2、……K；wkl-、wkl+，为分别赋予第l个目标约束的正负偏差变量的权系数；gl为目标的预期目标值，l=1,…L．(4.1b)为系统约束,（4.1c）为目标约束（8）目标规划的一般模型．设xj（j=1,2,…,n）为决策变量第十七页，共32页。10、目标规划问题的解------------满意解目标规划问题的求解是分级进行的，首先求满足级目标的解，然后在保证级目标不被破坏的前提下再求满足级目标的解.以此类推，因此，这样最后求出的解就不是通常意义下的最优解，称之为满意解.

因为对于这种解来说，前面的目标是可以保证实现或部分实现的，后面的目标就不一定能保证实现或部分实现，有些可能就不能实现.满意解这一概念的提出是对最优化概念的一个突破.显然它更切合实际，更便于运用.9、目标规划的目标函数目标规划的目标函数，是由各目标约束的偏差变量及相应的优先因子和权系数构成，当一个目标规划确定后决策者的要求是尽可能接近各既定目标值，也就是偏差变量尽可能小，目标函数一定是极小化的，三种基本表达式.（1）要求恰好达到目标值.这时决策值超过或低于目标值都是不希望的，因此有：（2）要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，因此有：

（3）要求不低于目标值，即允许超过目标值，就是负偏差变量要尽可能地小，因此有：第十八页，共32页。复杂情况下的目标规划例7．一工艺品厂商手工生产某两种工艺品A、B，已知生产一件产品A需要耗费人力2工时，生产一件产品B需要耗费人力3工时。A、B产品的单位利润分别为250元和125元。为了最大效率地利用人力资源，确定生产的首要任务是保证人员高负荷生产，要求每周总耗费人力资源不能低于600工时，但也不能超过680工时的极限；次要任务是要求每周的利润超过70000元；在前两个任务的前提下，为了保证库存需要，要求每周产品A和B的产量分别不低于200和120件，因为B产品比A产品更重要，不妨假设B完成最低产量120件的重要性是A完成200件的重要性的1倍。试求如何安排生产？第十九页，共32页。复杂情况下的目标规划解：本问题中有3个不同优先权的目标，不妨用P1、P2、P3表示从高至低的优先权。对应P1有两个目标：每周总耗费人力资源不能低于600工时,也不能超过680工时；对应P2有一个目标：每周的利润超过70000元；对应P3有两个目标：每周产品A和B的产量分别不低于200和120件。第二十页，共32页。复杂情况下的目标规划采用简化模式，最终得到目标线性规划如下：

MinP1(d1+)+P1(d2－)+P2(d3-)+P3(d4-)+P3(2d5-)s.t.

2x1+3x2-d1++d1-=680对应第1个目标

2x1+3x2-d2++d2-=600对应第2个目标

250x1+125x2-d3-+d3+＝70000对应第3个目标

x1-d4++d4-=200对应第4个目标

x2-d5++d5-=120对应第5个目标

x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3-,d4+,d4-,d5+,d5-≥0第二十一页，共32页。复杂情况下的目标规划使用运筹学软件求解可得：x1=250；x2=60；d1+=0；d1-=0；d2+=80；d2-=0；d3+=0；d3-=0；d4+=50；d4-=0；d5+=0；d5-=60，目标函数d4-+2d5-=120。可见，目标1、目标3和目标4达到了，但目标2、目标5都有一些偏差。

第二十二页，共32页。【例8】某企业集团计划用1000万元对下属5个企业进行技术改造，各企业单位的投资额已知，考虑2种市场需求变化、现有竞争对手、替代品的威胁等影响收益的4个因素，技术改造完成后预测单位投资收益率(（单位投资获得利润/单位投资额）×100％)如表4－2所示．集团制定的目标是：（1）希望完成总投资额又不超过预算；（2）总期望收益率达到总投资的30%；（3）投资风险尽可能最小；（4）保证企业5的投资额占20%左右．集团应如何作出投资决策．复杂情况下的目标规划第二十三页，共32页。企业1企业2企业3企业4企业5单位投资额(万元)1210151320单位投资收益率预测rij市场需求14.3255.845.26.56市场需求23.523.045.084.26.24现有竞争对手3.162.23.563.284.08替代品的威胁2.243.122.62.23.24期望(平均)收益率％3.313.344.273.725.03表4－2复杂情况下的目标规划第二十四页，共32页。【解】设xj（j=1,2,…,5）为集团对第j个企业投资的单位数．

（1）总投资约束：（2）期望利润率约束：整理得复杂情况下的目标规划第二十五页，共32页。

（4）企业5占20%的投资的目标函数为,约束条件即(3）投资风险约束．投资风险值的大小一般用期望收益率的方差表示，但方差是x的非线性函数．这里用离差（rij－E(rj)）近似表示风险值，例如，集团投资5个企业后对于市场需求变化第一情形的风险是：则4种因素风险最小的目标函数为：，约束条件为复杂情况下的目标规划第二十六页，共32页。根据目标重要性依次写出目标函数，整理后得到投资决策的目标