重庆市九龙坡区2025-2026学年度高二数学下学期第一次月考试题【含答案】

重庆市高2027届高二下期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设是可导函数，且，则（）A.2 B. C.-1 D.-2【答案】B【解析】【详解】，即.2.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得，令，求得，得到的解析式，进而求得的值.【详解】由函数，可得，令，可得，解得，所以，可得.3.用1，2，2，3，3，3这六个数字可组成（）个不同的三位数A.19 B.15 C.27 D.18【答案】A【解析】【详解】三个数字全不同：只能选1、2、3各1个，全排列得个；三个数字全相同：只有3能凑出三个相同，仅333这个；恰好两个数字相同：相同数字为2：不同数字可选1或3，共2种选择，选位置放不同数字共种，得个；相同数字为3：不同数字可选1或2，同理个，共个.将所有情况相加：6+1+12=19，因此可组成19个不同的三位数.4.将函数及其导函数的大致图象画在同一个直角坐标系内，下列选项不正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据各选项的两个函数图象特征，确定函数与其导函数图象即可.【详解】对于A，在轴上方的曲线为的图象，该函数单调递减，则恒成立，的图象在轴下方，符合题意，A正确；对于B，与轴有3个交点的曲线为的图象，另一条曲线为的图象，的零点即为的极值点，的单调性与的正负情况吻合，B正确；对于C，平行于轴的直线为的图象，否则，不符合题意，此时是大于0的常数，则是单调递增的一条直线，矛盾，C错误；对于D，与轴相交的曲线为的图象，该函数单调递增，则恒成立，的图象在轴上方，符合题意，D正确.5.已知，则下列说法正确的是（）A. B.C.除以5所得的余数是1 D.【答案】C【解析】【分析】根据二项展开式的形式，结合选项，合理利用赋值法求解，即可得到答案.【详解】对于A，令，可得，所以A错误；对于B，令，可得，因为，所以，所以B错误；对于C，由，所以除以5所得的余数是，所以C正确；对于D，由二项式展开式的通项为，可得为正数，为负数，所以，令，可得，因为，所以，所以D错误.6.如图，某小区的花园分为5个不同区域，现在花园内种植花朵，要求相邻区域不得种植相同颜色的花朵，已知有4种颜色的花朵可供选择，则不同的种植方法种数是（）A.24 B.72 C.20 D.48【答案】B【解析】【分析】按照的序号分步选择颜色，在4号区域选颜色时根据它与2号区域是否同色分类.【详解】由题意第一步1号区域有4种方法，第二步2号区域有3种方法，第三步3号区域有2种方法，第四步4号区域有2种方法：与2号相同颜色的一种，则第五步有2种方法，与2号不同颜色的一种，则第五步有1种方法，所以方法数为.7.已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设，则，由条件可得在-π2,0上单调递增，进一步可得在上单调递增，将fx<2fπ3cosx可化为f【详解】设，则当时，有成立，此时所以在-π2,0又为奇函数，则，则为奇函数，又则在上单调递增，所以在上单调递增.当，恒有fx<2fπ3即gx由在上单调递增，所以，故不等式f(x)<2fπ3cosx8.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由得，设，由确定，对求导判断函数的单调性，作出函数的图象，数形结合即可求得参数的取值范围.【详解】由可得，即，设，则，因，代入解得，则，则，由得，由，得或，故函数在上单调递增，在和上单调递减，且当，当，作出函数的图象.由图知，，又，且当时，，由图可知，要使不等式的解集中恰有两个整数，需使，即，故实数的取值范围是.故选：C.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全对得6分，部分选对得部分分，多选、错选不得分）9.小杨正在安排五一五天假期（5月1日-5月5日）的旅行计划，他决定在这5天里每天去一个不同的景点（其中包含甲、乙、丙三个景点），则下列说法正确的是（）A.若甲、乙两景点必须在相邻的两天去，则不同的安排方法共有48种B.若去甲、乙两景点的两天不相邻，则不同的安排方法共有72种C.若去甲、乙、丙三个景点的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法有60种D.若5月1日不去甲景点，5月5日不去乙景点，则不同的安排方法共有78种【答案】ABD【解析】【分析】利用捆绑法、插空法分别求解判断AB；利用定序问题列式求解判断C；利用排除法列式求解判断D.【详解】对于A，将甲、乙捆绑视为一个整体，不同安排方法有种，A正确；对于B，先安排除甲乙外的其它3个景点的时间，再将甲乙景点插入空隙，不同安排方法有种，B正确；对于C，先取3天安排甲乙丙3个景点，再排余下2个景点的时间，不同安排方法有种，C错误；对于D，去5个景点的全排列为，5月1日去甲景点有种，5月5日去乙景点有种，5月1日去甲景点且5月5日去乙景点有种，不同安排方法有种，D正确.10.已知函数，则下列说法正确的有（）A.在上单调递增 B.的极小值为C.的图象关于原点对称 D.有两个零点【答案】ABC【解析】【分析】求出函数的导数，求出单调递增区间判断A；求出极小值判断B；利用奇偶函数定义判断C；求出函数的零点判断D.【详解】函数的定义域为R，求导得，对于A，由，得或，函数在上单调递增，A正确；对于B，由，得，函数在上单调递减，结合选项A得函数在取得极小值，B正确；对于C，，函数是奇函数，其图象关于原点对称，C正确；对于D，由，解得，函数有3个零点，D错误.11.已知函数，则下列选项正确的有（）A.函数有唯一零点B.若方程有两个实数解，则实数的取值范围为C.若对任意恒成立，则实数的取值范围为D.记，则【答案】ACD【解析】【分析】借助导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理、分离参数，逐一判断选项即可.【详解】对于A：函数的定义域为，又因为，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在取到最大值，且，又因为当时，，当时，，故有唯一零点，故A正确；对于B：函数的定义域为，又因为，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在取到最大值，且，又因为当时，，当时，，所以若方程有两个实数解，则，故B错误；对于C：若对任意恒成立，分情况讨论：当时，左边，不等式成立；当时，，不等式变形为，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得最大值，最大值为，故；当时，，不等式变形为，令，求导同，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得最小值，最小值为，故，综上，，故C正确；对于D：因为，令，所以在上恒成立，故，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的最大值在或上取得，因为，而，故，故D正确.【点睛】以导数为工具，精准分析和的单调性、极值与最值，是解决本题的关键.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.的展开式中，含项的系数为__________.【答案】55【解析】【分析】将原式拆解成两个二项式的和，借助于通项的分析即得.【详解】，因二项式的通项为，则的展开式中含项的系数为；对于，只需求其中的展开式含项的系数，即.故的展开式中，含项的系数为.故答案为：55.13.如图所示为函数的图象，则不等式的解集为________.【答案】【解析】【分析】根据图象得到函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而求得不等式的解集．【详解】由图象可知，在，上单调递增，在上单调递减，故当，时，，当时，.原不等式等价于或，则或.所以不等式的解集为.14.已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】先利用导数判断函数的单调性，求出，.由已知可推得，只需满足，代入即可得出不等式，求解即可得出答案.【详解】设fx=x+3x+1gx=ax+1+xf'x=1-3x所以函数在上单调递减，所以，fxming'因为，所以x+12∈当时，x+12-a≥0，即，则在上单调递增，则，当时，令得(或舍去)，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，当时，x+12-a≤0，即，则在上单调递减，则，故当时，，得，当时，，得，舍，当时，，得，舍，综上知，实数a的取值范围为：四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16-17题每小题15分，第18-19题每小题17分，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数.（1）求在点处的切线方程.（2）求的单调区间.【答案】（1）（2）单调递增区间为：，单调递减区间为：【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求解；（2）求导，求解不等式进行求解．【小问1详解】，得切点为，，得，得切线方程为：，即．【小问2详解】函数的定义域为，，由，得；由，得，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为。16.已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a为常数且.（1）求n的值：（2）当时，求展开式中含项的系数；（3）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a的值及展开式中系数最大的项.【答案】（1）8（2）112（3）【解析】【分析】（1）由二项式系数和公式直接计算得解；（2）由通项公式求出相应项即可得解.（3）确定二项式系数最大的项，结合通项公式求出相应项计算系数，建立关于a的方程即可求解；【小问1详解】由题意知，，解得.【小问2详解】当时，二项式2x+1x​

令，解得，则该项系数为：

C86⋅2【小问3详解】为偶数，二项式系数最大的项为第项，由题意可得该项的系数为70，则

C84⋅24⋅(-a)4=70此时通项系数Ar比较相邻系数比值Ar+1Ar=8-r4(r+1)，​

当时，当时，Ar+1Ar<1对应系数最大的项为T217.已知函数.（1）讨论函数的单调性（2）若函数在其定义域的一个子集内存在两个极值点，求实数a的取值范围并求的极值.【答案】（1）时，在，上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增；时，在，上单调递增，在上单调递减；（2），的极大值为，极小值为.【解析】【分析】（1）求导，含参讨论导数的正负，得函数的单调性；（2）由（1）若要有两个极值点，这两个极值点必是，由两个极值点都在区间上得出参数范围，再由单调性求极值.【小问1详解】，由得或，当时，在，上恒大于0，在上恒小于0，在，单调递增，在上单调递减；时，在上恒成立，在上单调递增；时，在，上大于0恒成立，在上小于0恒成立，在，上单调递增，在上单调递减；综上，时，在，上调递增，在上单调递减；时，在上单调递增；时，在，上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】由（1）知的极值点是，1，因此这两个极值点需在区间内，则0<2a-1<12a-1<1a<4且的极大值为，极小值为.18.已知．（1）讨论的单调性；（2）若对恒成立，求整数a的最小值．【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）2【解析】【分析】（1）求导，根据和两种情况讨论.（2）把不等式分离参量得，求函数的最大值，但是求导后求不出具体的根，所以设隐零点，整体代入求解.【小问1详解】的定义域为，（ⅰ）当时，，∴在上单调递增；（ⅱ）当时，令，令，∴当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．【小问2详解】由，可得：，∵，∴原命题等价于对恒成立．令，∴，令，∴，∴在上单调递增．又，故存在唯一的，使得．当时，，∴，∴在上单调递增，当时，，∴，∴在上单调递减．∴，∴时，恒成立．∴，又，∴a的最小整数值为2．【点睛】求某个函数的单调性时，发现极值点不容易求出，则用隐零点解决.第一步设出隐零点，然后代入得到等式，第二步根据设出的隐零点得到函数的单调区间，求出函数的极值第三步极值分离出代入，化简成新的表达式第四步求的最值.19.定义运算：，已知函数.（1）当时，求在处的切线方程；（2）设，.若，是方程的两个不同实根，求证：.（3）若对任意，都有，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）分别求解与，结合点斜式求解曲线的切线斜率；（2）令，可得，设，于是可将证明不等式转化为证明，构造函数，求导确定单调性从而证得结论；（3）令，将已知不等式转化为，由函数的单调性可得，讨论，，验证不等式是否恒成立，从而得实数的取值范围．