线性代数课件 第三章 向量与线性方程组

线性方程组|高斯消元法《线性代数》线性方程组增广矩阵高斯消元法例题拓展高斯消元个方程个未知变量的线性方程组的一般形式：系数矩阵变量矩阵常数矩阵矩阵形式增广矩阵注：

线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的.增广矩阵高斯消元法例题拓展高斯消元（1）当时，（2）当不全为零时，齐次线性方程组非齐次线性方程组增广矩阵高斯消元法例题拓展高斯消元例1写出非齐次线性方程组的增广矩阵.解：

线性方程组的增广矩阵为：增广矩阵高斯消元法例题拓展高斯消元在中学阶段，学过消元法解简单线性方程组，常用的三种变换是什么？（1）互换两个方程的位置；回顾：

（2）用一个不等于零的数乘以某个方程；（3）一个方程的k倍加到（减去）另外一个方程.不难发现，三种变换不会改变方程的同解性.线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的,对原线性方程组施行三种变换，对应于将增广矩阵施行三种初等行变换得到同解的新方程组的增广矩阵.启发：

增广矩阵高斯消元法例题拓展高斯消元例2解线性方程组线性方程组①②③①②①③④⑤⑥增广矩阵增广矩阵高斯消元法例题拓展高斯消元⑤④⑤⑥⑦⑦⑧⑨⑩⑩⑧⑩⑨增广矩阵高斯消元法例题拓展高斯消元增广矩阵化为行最简形矩阵,可得上述解线性方程组的过程，可以通过其增广矩阵施行初等行变换实现的方法，(1)写出方程组的增广矩阵,对其施行初等行变换化为行阶梯形——消元过程；称为高斯消元法.观察可知，用消元法解方程组的步骤:(2)对行阶梯形矩阵施行初等行变换化成行最简形，从而直接写出原方程组的解——回代过程.例3利用高斯消元法解线性方程组解

故线性方程组的解为：增广矩阵高斯消元法例题拓展高斯消元主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞线性方程组|非齐次解判定《线性代数》几何案例非齐次解的判定例题拓展解的判定几何案例(1)(2)(3)两条直线位置关系OOO增广矩阵系数,增广的秩与解唯一解无穷解无解几何案例非齐次解的判定例题拓展解的判定相容性线性方程组有解,则称该线性方程组相容，否则称为不相容.思考:线性方程组相容时，有唯一解或无穷解，该如何求解和表达它的解？启示:线性方程组的解可以通过增广矩阵化为行阶梯形或行最简形.通过几何案例发现，线性方程组可以通过系数矩阵与增广矩阵的秩判定解的情况.定理1线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等.(2)则方程组有唯一解.(3)则方程组有无穷解.(1)则方程组无解.几何案例非齐次解的判定例题拓展解的判定证明:对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换化为行最简形矩阵，即初等行变换（i）当时，故线性方程组无解;几何案例非齐次解的判定例题拓展解的判定（ii）当时，故线性方程组有解;矩阵同解的矩阵对应的方程组为（1）当时，易知线性方程组有唯一解，即几何案例非齐次解的判定例题拓展解的判定（2）当时，易知线性方程组有无穷解.将看作自由未知量，给定一组数可得线性方程组的通解为：例1解非齐次线性方程组几何案例非齐次解的判定例题拓展解的判定解

线性方程组对应的增广矩阵为可知故线性方程组无解.例2解非齐次线性方程组几何案例非齐次解的判定例题拓展解的判定解

可知故线性方程组有唯一解，即例3求非齐次线性方程组的通解.解

增广矩阵故几何案例非齐次解的判定例题拓展解的判定

矩阵转化为则即非齐次线性方程组有无穷多解.故非齐次线性方程组的通解令自由未知量几何案例非齐次解的判定例题拓展解的判定主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞线性方程组|齐次解判定《线性代数》解的判定齐次方程解的判定例题拓展定理2线性方程组一定有解：零解和非零解.(1)则方程组只有零解.(2)则方程组有非零解.回顾:非齐次方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等.时,齐次线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩是相等的，当启示:即注:对齐次线性方程组更关心是否有非零解.例1利用高斯消元法求解齐次线性方程组解

故故线性方程组有无穷解.解的判定齐次方程解的判定例题拓展

矩阵转化为则故齐次线性方程组的通解令自由未知量解的判定齐次方程解的判定例题拓展齐次线性方程组的系数矩阵是方阵时，能否借助其行列式判定解？思考:定理3(1)齐次线性方程组有零解的充要条件是系数行列式(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式例2根据的取值讨论齐次线性方程组解的情况.解:则解的判定齐次方程解的判定例题拓展(1)当时，故齐次线性方程组只有零解；解的判定齐次方程解的判定例题拓展(2)当时，故齐次线性方程组有无穷解.注:当为方阵时，可借助的行列式是否为零判定方程组为零解或非零解.故齐次线性方程组的通解为令自由未知量主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞向量组相关性|线性表示《线性代数》定义1向量组向量组线性表示例题拓展线性表示如：

由个数组成的有序数组称为维向量.行向量.列向量.矩阵角度

例1已知求解：

引例向量组向量组线性表示例题拓展线性表示非齐次线性方程组：系数矩阵：向量组向量组向量组线性表示例题拓展线性表示观察：

线性方程组是否有解向量方程：是否存在一组数满足定义2对维向量组如果存在数使则称向量是向量组的一个线性组合；或称向量可由向量组线性表示.例2则即可由向量组线性表示.向量组向量组线性表示例题拓展线性表示已知向量组如何判断能否由线性表示？回顾思考：

非齐次线性方程组有解有解定理1向量可由向量组线性表示的充分必要条件是向量组的秩等于向量组的秩.即向量组向量组线性表示例题拓展线性表示例3已知判断能否由向量组线性表示？解：

对增广矩阵施行初等行变换，得由故可唯一线性表示为向量组向量组线性表示例题拓展线性表示例4已知判断能否由向量组线性表示？解：

对增广矩阵施行初等行变换，得由故可由线性表示，但不唯一.向量组向量组线性表示例题拓展线性表示同解方程组为即故总结：

向量能否由向量组线性表示的判定步骤Step1：

写出增广矩阵Step2：

将增广矩阵进行初等行变换化为行阶梯形；Step3：

根据是否相等判定线性表示；与Step4：

在线性表示情况下，化增广矩阵为行最简形，确定表示系数.主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞向量组相关性|线性相关《线性代数》引例案例导读向量组线性相关性例题拓展相关性非齐次线性方程组：第二个方程减去第一个方程就得到第三个方程,即第三个方程是多余的.也就是说原方程与线性方程组是同解方程组.1、如何判断线性方程组中是否有多余的方程？思考：

2、若有多余的方程，如何找出多余的方程？观察：

案例导读向量组线性相关性例题拓展相关性定义1设维向量组若存在不全为零的数使则称向量组线性相关.例1存在不全为零的数使得故向量组线性相关.案例导读向量组线性相关性例题拓展相关性定义2设维向量组若存在全为零的数则称向量组线性无关.例2对任意的一组数则当且仅当使线性无关有已知向量组如何判断线性相关性？回顾思考：

齐次线性方程组一定有解有解定理1向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组即零解非零解有非零解，向量组线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组即有零解，定理2案例导读向量组线性相关性例题拓展相关性解

例3已知判断线性相关性？对系数矩阵施行初等行变换，得由案例导读向量组线性相关性例题拓展相关性故线性无关.例4设向量组根据的取值，讨论线性相关性.解

分析：通过行列式的值是否为零可以判定其线性相关性.向量组表示为是3阶方阵，根据定理1和2，(1)当或时，即线性相关.(2)当且时，即线性无关.案例导读向量组线性相关性例题拓展相关性总结：

判定向量组线性相关性的步骤：Step1：

写出系数矩阵Step2：

将系数矩阵进行初等行变换化为行阶梯形；Step3：

通过判定向量组的线性相关性.注：

当向量组为方阵时，可借助其行列式判定其线性相关性.案例导读向量组线性相关性例题拓展相关性主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞向量组的秩|极大无关组《线性代数》向量组秩向量组的秩例题拓展极大无关组思考：

当增广矩阵的行向量线性相关时，出现多余的方程，一个线性方程组中会有多少个多余方程？多余方程的个数由什么来确定？定义1设维向量组由组成，有个向量满足条件：(1)向量组线性无关；(2)任意向量线性表示；可由则称是向量组的一个极大线性无关组.注：

由条件(2)可知,线性相关.向量组秩向量组的秩例题拓展极大无关组例1求的极大无关组.解：

因对应的分量不成比例，故线性无关.又因故可由线性表示，所以是的一个极大无关组.同理：与也是的极大无关组.说明：

一个向量组的极大无关组不唯一,但任意两个极大无关组所含向量的个数相同.定义2个数称为向量组的秩，记作：向量组秩向量组的秩例题拓展极大无关组设维向量组所含极大无关组向量的求的秩.例2解：

因此，例3解：

令施行初等行变换，得故向量组秩向量组的秩例题拓展极大无关组已知求该向量组的秩和一个极大无关组.一个极大无关组为或总结：

求解向量组的秩、极大线性无关组及其表示的步骤：Step1：

写出向量组Step2：

将向量组进行初等行变换化为行最简形矩阵；Step3：

通过观察行最简形矩阵得到向量组的秩向量组秩向量组的秩例题拓展极大无关组Step4：

找到秩为的一个极大无关组及其余向量的表示.取是一个极大无关组，则其余向量：主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞向量空间|基本概念《线性代数》定义1设是维向量非空集合，如满足下列运算：基本概念向量空间生成空间则向量加法和数乘是封闭运算，并称集合构成一个向量空间.如：

直线空间(1)(1)任意则(2)任意则维向量的全体组成的集合是一个向量空间.二维平面空间(2)三维立体空间(3)运算规律(1)加法交换律:设是维向量空间，则满足：(2)加法结合律:(3)零元律:(4)负元律:(5)单位元律:(6)结合律:(7)数分配律:(8)元素分配律:基本概念向量空间生成空间子空间设是一个线性空间，是的一个非空子集，满足对向量加法和数乘是封闭运算，则称是的一个子空间.例1几何空间中，过原点的平面上所有向量构成几何空间的一个子空间.定理1线性空间的一个非空子集是线性空间的充分必要条件为对向量的线性运算是封闭的.基本概念向量空间生成空间验证：是向量空间.例2已知验证：不是向量空间.解设解而对数乘不封闭，故不是向量空间.例3已知设则对数乘和加法封闭，故是向量空间.基本概念向量空间生成空间定义2设基本概念向量空间生成空间令则构成的子空间，称为向量组的生成空间，记作：例4已知是验证：的生成子空间.根据生成空间的定义，此题留作同学们课后练习.例5齐次线性方程组的解向量的全体：构成的生成子空间.解首先，即设则即即对数乘与加法是封闭的，构成的生成子空间.注：

向量组生成空间是齐次线性方程组的解空间.基本概念向量空间生成空间主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞向量空间|基、维数与坐标《线性代数》定义1设是向量空间，且满足基与维数基、维数与坐标坐标(1)线性无关;(2)线性表示.中任一向量均可由则称为向量空间的一个基,称为向量空间的维数，记作：并称是维向量空间.如：

不难判断，线性无关，且因此，向量空间的一个基是向量空间中有向量组维数例1中维基本单位向量组求的一组基和维数.解：

易知线性无关，且故的一组基是维数基与维数基、维数与坐标坐标说明(1)只含零向量的向量空间没有基,规定维数为零.

(2)向量空间的基不唯一,但基所含向量个数唯一确定.(3)向量空间中任意一个极大无关组都是的基.(4)对维向量空间任意个线性无关的向量均可作为的一个基，故的维数是称维向量空间为(5)将看作向量组，则它的秩就是向量空间的维数.启发：

求向量空间的一个基和维数，本质就是向量组的极大无关组及其秩基与维数基、维数与坐标坐标例2解：

已知生成的子空间,求它的一个基和维数.由下列向量组行变换故的一组基是维数线性无关.基与维数基、维数与坐标坐标定义2若是向量空间的基，对任意的存在唯一的数使则称数为向量在基下的坐标.记为：如：

则在基下的坐标为线性无关(基),向量空间中的向量组思考：

给定向量空间中的一个基，如何求解另一向量在这个基下的坐标？启发：

定义出发易知，所求坐标就是非齐次线性方程组的唯一解.矩阵初等变换行最简形矩阵秩及唯一解基与维数基、维数与坐标坐标例3解：

已知中的两组基：行变换及求向量分别在两个基下的坐标.由题易知：故在基下的坐标为易得：故在基下的坐标为基与维数基、维数与坐标坐标主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞向量空间|基与坐标变换《线性代数》定义1已知中的两个基：及且即基变换公式称为基到基的可逆过渡矩阵.思考：

同一个向量在不同基下有不同坐标，那么向量在不同基下的坐标有什么关系？基变换基变换与坐标变换例题拓展坐标变换例1已知中的两个基：及满足则基到基的可逆过渡矩阵为基变换基变换与坐标变换例题拓展坐标变换根据矩阵的乘法可知，定理1已知向量空间中的两个基：及且向量在基及下的坐标分别为则或坐标变换公式基变换基变换与坐标变换例题拓展坐标变换例1(1)求由基到的过渡矩阵.(2)写出坐标变换公式.是向量空间中的两个基，已知向量组及解：

设到的过渡矩阵为根据基变换公式，有则行变换基变换基变换与坐标变换例题拓展坐标变换故过渡矩阵为(2)设向量在基及下的坐标分别为则坐标变换公式为：基变换基变换与坐标变换例题拓展坐标变换Step1：

写出向量组Step2：

对进行初等行变换化为Step3：

写出过渡矩阵Step4：

写出坐标变换公式基变换基变换与坐标变换例题拓展坐标变换总结：

基到基的过渡矩阵的求解步骤：主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞线性方程组|齐次解的结构《线性代数》齐次方程解的性质齐次方程组解的结构通解结构基础解系矩阵形式：思考：

当齐次线性方程组有非零解（无穷解）时，（1）解与解之间有什么关系？（2）解的结构是怎样？性质1解的性质齐次方程组解的结构通解结构基础解系若是方程组的解，则是方程组的解;(1)是方程组的解.(2)证：

是方程组的解.故是的解.推论1性质2解的性质齐次方程组解的结构通解结构基础解系也是方程组的解.若均是方程组的解，则它们的线性组合例1已知是齐次线性方程组的解向量,则().0例2若是的解向量,则线性方程组的解向量也可以表示为___________________________________.基础解系解的性质齐次方程组解的结构通解结构基础解系设是齐次线性方程组的一组解，若线性无关；(1)(2)方程组的任一解可由线性表示,则称是齐次线性方程组的一个基础解系.注：

(1)的基础解系的全体解向量组的极大无关组.是(2)的基础解系的解空间的基.也是定理1解的性质齐次方程组解的结构通解结构基础解系元齐次线性方程组的系数矩阵的秩存在基础解系，且基础解系所含解向量的个数为则方程组思考：

当满足什么条件时齐次线性方程组的基础解系存在？它的个数如何确定？例3求方程组的一个基础解系.解：

系数矩阵显然，矩阵的秩为2，故基础解系个数为1.取则故基础解系为通解结构解的性质齐次方程组解的结构通解结构基础解系注：

(1)齐次方程组的基础解系不唯一；的全部通解（非零解）可表示为：则方程组设是齐次线性方程组的一个基础解系，(2)任意个线性无关解都是方程组的基础解系.解的性质齐次方程组解的结构通解结构基础解系例4求齐次线性方程组的基础解系,并表示其通解.解

系数矩阵矩阵转化为则取则解的性质齐次方程组解的结构通解结构基础解系

由可知，方程组的基础解系有2个，分别为故齐次线性方程组的通解为：也可取则