线性代数课件 第五章 二次型

二次型|二次型矩阵《线性代数》引例二次型例题拓展基本概念研究平面解析几何曲线性质，经常遇到下列二次曲线引例坐标旋转变换：方程化为标准形：观察：

(1)(3)（1）式左端是变量的二次齐次多项式(2)（2）式可逆正交线性变换.（3）式左端是（1）式左端的二次齐次标准形.含交叉项只含平方项引例二次型例题拓展基本概念定义1含有个变量的二次齐次多项式称为元二次型，简称二次型.称为二次型的系数.例13元二次型注：为实数时，当称为实二次型.引例二次型例题拓展基本概念定义2仅含有平方项的二次型称为二次型的标准形.例24元二次型的标准形思考：

二次型是乘积的和式，可以用矩阵表示？如何进行表示？令引例二次型例题拓展基本概念定义3称为二次型的矩阵表示，令即是阶实对称矩阵，则称为二次型的矩阵.定义4二次型的秩：的秩.思考：

若给定二次型，如何写出它的矩阵？有什么特点？引例二次型例题拓展基本概念二次型矩阵通过二次型的定义与矩阵关系，不难发现，有如下规律：（1）二次型矩阵对角线元素是二次型中平方项的系数；（2）二次型矩阵其余元素是交叉项系数的一半.例2写出二次型的矩阵.解：的矩阵:故二次型对角线元素依次为3,0,1.解

引例二次型例题拓展基本概念例2已知二次型的秩为2，的矩阵:由题知，二次型求的值.二次型的秩故主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞二次型|合同矩阵与线性变换《线性代数》合同矩阵矩阵合同线性变换定义1设为阶方阵，若存在可逆矩阵使称与合同，或合同于记例1已知验证：合同于解：由可知，是可逆矩阵.线性变换变量与变量则称为从到的线性变换.合同矩阵矩阵合同线性变换(1)当是可逆矩阵，称可逆线性变换;(2)当是正交矩阵，称正交线性变换.思考：

如何寻找可逆线性变换对二次型使化为标准形？启发：经过线性变换不难发现，合同于即合同矩阵矩阵合同线性变换定理1：可逆线性变换后的二次型矩阵与原二次型的矩阵合同.定理2：则经过可逆线性变换得二次型(1)是实对称矩阵；(2)证明：(1)二次型矩阵

是实对称矩阵，则因为合同于则故(2)是可逆矩阵，且故合同矩阵矩阵合同线性变换主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞二次型|正交变换法《线性代数》正交变换正交变换法例题拓展计算方法回顾合同于化为标准形，等价于二次型矩阵（1）二次型一个对角矩阵，即存在可逆矩阵使(2)二次型矩阵

是实对称矩阵，则存在正交矩阵使定理1任意元实二次型都可经过正交变换化为标准形其中为的全部特征值.正交变换正交变换法例题拓展计算方法计算方法Step1：

Step2：

写出二次型的矩阵Step3：

Step4：

用正交变换化二次型为标准形的具体计算步骤：将所求特征向量进行施密特正交化后进行单位化；写出正交矩阵使的全部特征值求出及对应于的线性无关特征向量；Step5：

令则二次型化为标准形：解

例1则的特征值求一正交变换化为标准形.正交变换正交变换法例题拓展计算方法二次型的矩阵正交变换正交变换法例题拓展计算方法(i)当时，则得线性无关的特征向量：(ii)当时，则得线性无关的特征向量：正交变换正交变换法例题拓展计算方法易验证故两两相互正交.进行单位化：取则正交变换将二次型化为标准形：主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞二次型|配方法《线性代数》配方原理配方法无平方项含平方项回顾中学阶段学过配完全平方式，如何配方为平方和或平方差的形式？完全平方式：例1将进行配方，写成平方和的形式.显然，观察：

配方项是交叉项除外一半的平方.思考：

能否借助配方法将一般的二次型化为标准形？配方原理配方法无平方项含平方项例2用配方法将化为标准形.解

含的平方项含的平方项令即可逆线性变换矩阵为：故二次型对应的标准形为：配方原理配方法无平方项含平方项这是一个可逆线性变换配方原理配方法无平方项含平方项例3用配方法将化为标准形.解

因中不含平方项，含有交叉项故作可逆线性变换将二次型转化为含平方项:即其中配方原理配方法无平方项含平方项平方项系数不为零，配方得令即设则故二次型对应的标准形为：所用可逆线性变换为：其中主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞二次型|初等变换法《线性代数》正交变换初等变换法例题拓展计算方法回顾合同于化为标准形，等价于二次型矩阵（1）二次型一个对角矩阵，即存在可逆矩阵使(2)二次型矩阵

是实对称矩阵，则存在正交矩阵使定理1任意元实二次型都可经过正交变换化为标准形其中为的全部特征值.正交变换正交变换法例题拓展计算方法计算方法Step1：

Step2：

写出二次型的矩阵Step3：

Step4：

用正交变换化二次型为标准形的具体计算步骤：将所求特征向量进行施密特正交化后进行单位化；写出正交矩阵使的全部特征值求出及对应于的线性无关特征向量.Step5：

令则二次型化为标准形：解

例1则的特征值求一正交变换化为标准形.正交变换正交变换法例题拓展计算方法二次型的矩阵正交变换正交变换法例题拓展计算方法(i)当时，则得线性无关的特征向量：(ii)当时，则得线性无关的特征向量：正交变换正交变换法例题拓展计算方法易验证故两两相互正交.进行单位化：取则正交变换将二次型化为标准形：主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞二次型|惯性定理与规范形《线性代数》惯性定理二次型的规范形例题拓展规范形思考：

对二次型所用可逆线性变换不同，则化化成的标准形一般不同.但对同一个二次型，不同的标准形有什么共同特性？例1二次型经可逆线性变换化为下列形式的标准形：标准形(1)：标准形(2)：标准形(3)：观察：

（1）含非零平方项项数不变：3；（2）含”+”,

”-”项数不变:2,1.惯性定理二次型的规范形例题拓展规范形定理1和分别把它化为两种标准形则正惯性指数：含“+”号项的个数负惯性指数：含“—”号项的个数符号差：正惯性指数与负惯性指数的差设实二次型两种可逆线性变换的秩为惯性定理二次型的规范形例题拓展规范形例2设4阶实对称矩阵二次型的特征值为求二次型的正惯性指数、负惯性指数、符号差.解:二次型的标准形为故的正惯性指数为3,负惯性指数为1，符号差为2.由二次型的标准形与实对称矩阵特征值的关系可知，结论：

二次型的正负惯性指数与实对称矩阵特征值的正负个数一一对应.惯性定理二次型的规范形例题拓展规范形例3解:设二次型的正、负惯性指数都是1，求参数二次型的标准形对应的对角矩阵元素有一个为零.由的正、负惯性指数都是1,可知即的特征值为零.根据特征值的性质，的行列式为零，则即惯性定理二次型的规范形例题拓展规范形探索设二次型的标准形作可逆线性变换则二次型化为：作可逆线性变换则二次型化为：交换正负项次序平方项系数为1或-1惯性定理二次型的规范形例题拓展规范形定义1将元二次型化为标准形后，可交换正负项的次序（可逆线性变换），化标准形为作可逆线性变换则称为二次型的规范形，且唯一.惯性定理二次型的规范形例题拓展规范形定理2任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形，且规范形是由二次型本身唯一决定，与所作可逆线性变换无关.计算方法化二次型化为规范形的基本步骤.Step1：

采用配方法或正交变换法，将二次型化为标准形；Step2：

作可逆线性变换，交换标准形的正负项次序；Step3：

作可逆线性变换，使得二次型的系数均为1或-1；Step4：

写出二次型的规范形.解

惯性定理二次型的规范形例题拓展规范形例4将二次型化为规范形,并求二次型的正、负惯性指数、符号差.采用配方法化二次型为标准形，令则二次型对应的标准形为：令故二次型的规范形为：不难发现，二次型的正、负惯性指数分别为2

和1.惯性定理二次型的规范形例题拓展规范形主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞二次型|正定二次型《线性代数》基本概念正定二次型主子式判定方法定义1设实二次型如果对任意都有称为正定二次型，相应的矩阵称为正定矩阵，记为：定义2如果对任意都有称为负定二次型，相应的矩阵例1正定二次型负定二次型称为负定矩阵，记为：基本概念正定二次型主子式判定方法定义3定义4称为半正定矩阵.如：如果对任意都有称为半正定二次型，相应的矩阵有定性称为半负定矩阵.如：如果对任意都有称为半负定二次型，相应的矩阵二次型的正(负)定、半正(负)定统称为二次型及其矩阵的有定性.思考：

对二次型的标准形，易于由平方项系数的特点判别有定性，那么对于一般的二次型，该如何判定它的有定性？基本概念正定二次型主子式判定方法定理1元实二次型正定的充分必要条件是它的标准形的个系数均为正.证明：存在可逆线性变换使化为标准形当时，即结论得证.基本概念正定二次型主子式判定方法推论1元实二次型正定的充分必要条件是正惯性指数等于推论2元实二次型正定的充分必要条件是的特征值推论3元实二次型正定的充分必要条件是合同于单位矩阵.即存在可逆矩阵，使得推论4元实二次型正定,则例2已知矩阵正定，求满足条件.解：由推论4可知，故基本概念正定二次型主子式判定方法例3判断二次型的正定性.解

采用特征值法判定令得的特征值因三个特征值都大于零，故二次型是正定的.基本概念正定二次型主子式判定方法定义5思考：

一般情况下，借助二次型矩阵的特征值或将二次型化为标准形来判别正定性比较麻烦，是否可以直接利用二次型的矩阵进行判定正定性？阶矩阵的子式设称为矩阵的阶顺序主子式.基本概念正定二次型主子式判定方法例4已知则1阶顺序主子式：2阶顺序主子式：3阶顺序主子式：定理2元实二次型正定的充分必要条件是的各阶顺序主子式注：

利用顺序主子式判别二次型的正定，必须依次由低阶到高阶，且都大于零.基本概念正定二次型主子式判定方法例5已知二次型当满足什么条件时，二次型正定.解

二次型矩阵显然，故故主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞二次型|负定二次型《线性代数》判定方法负定二次型例题拓展如果对任意都有称为负定二次型，相应的矩阵例1负定二次型称为负定矩阵，记为：观察：

对上述二次型的标准形，平方项系数全部是负值，可借助标准形系数判定.定理1元实二次型负定的充分必要条件是它的标准形的个系数均为负.回顾：

推论1元实二次型负定的充分必要