3.5.1 齐次线性方程组解的结构_第1页
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主讲人：王飞线性方程组|齐次解的结构《线性代数》齐次方程解的性质齐次方程组解的结构通解结构基础解系矩阵形式：思考：

当齐次线性方程组有非零解（无穷解）时，（1）解与解之间有什么关系？（2）解的结构是怎样？性质1解的性质齐次方程组解的结构通解结构基础解系若是方程组的解，则是方程组的解;(1)是方程组的解.(2)证：

是方程组的解.故是的解.推论1性质2解的性质齐次方程组解的结构通解结构基础解系也是方程组的解.若均是方程组的解，则它们的线性组合例1已知是齐次线性方程组的解向量,则().0例2若是的解向量,则线性方程组的解向量也可以表示为___________________________________.基础解系解的性质齐次方程组解的结构通解结构基础解系设是齐次线性方程组的一组解，若线性无关；(1)(2)方程组的任一解可由线性表示,则称是齐次线性方程组的一个基础解系.注：

(1)的基础解系的全体解向量组的极大无关组.是(2)的基础解系的解空间的基.也是定理1解的性质齐次方程组解的结构通解结构基础解系元齐次线性方程组的系数矩阵的秩存在基础解系，且基础解系所含解向量的个数为则方程组思考：

当满足什么条件时齐次线性方程组的基础解系存在？它的个数如何确定？例3求方程组的一个基础解系.解：

系数矩阵显然，矩阵的秩为2，故基础解系个数为1.取则故基础解系为通解结构解的性质齐次方程组解的结构通解结构基础解系注：

(1)齐次方程组的基础解系不唯一；的全部通解（非零解）可表示为：则方程组设是齐次线性方程组的一个基础解系，(2)任意个线性无关解都是方程组的基础解系.解的性质齐次方程组解的结构通解结构基础解系例4求齐次线性方程组的基础解系,并表示其通解.解

系数矩阵矩阵转化为则取则解的性质齐次方程组解的结构通解结构基础解系

由可知，方程组的基础解系有2个，分别为故齐次线性方程组的通解为：也可取则注：基础解

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