浙江省绍兴市诸暨市2026年5月高三数学适应性考试试卷【含答案】

诸暨市年5月高三适应性考试试题数学注意：．本试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，满分分，考试时间分钟．．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂､写在答题纸上．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据复数乘法计算.【详解】.故选：D2.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】应用集合的并运算求集合.【详解】由题设.故选：D3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（）A.4B.2C.D.【答案】A【解析】第1页/共17页

的焦点与双曲线的右焦点重合可得.【详解】由双曲线得，所以，，所以双曲线的右焦点为，因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以，所以.故选：A4.已知函数，则是（）A.0B.1C.2D.4【答案】C【解析】【分析】由分段函数解析式中自变量的范围，先求，再求即可.【详解】由题设，，∴.故选：C.5.在二项式展开式中，若某一项含有不能化为有理数的根式（即字母指数不全为整数，或化简后仍含无限的展开式中（）A.一定有常数项，没有无理项B.一定有常数项，可能有无理项C.一定没有无理项，没有常数项D.一定没有无理项，可能有常数项【答案】A【解析】第2页/共17页

【分析】根据二项式展开式通项、无理项以及常数项的求解分析求解即可.【详解】的通项公式.由于都是整数，因此的指数必为整数.原式展开为，所有项的指数要么是，要么是，且所有项的系数都是整数，因此一定没有无理项.若常数项来自乘的项，令，当为偶数时，是整数，存在该项，因此有常数项；若常数项来自乘的项：令，当为奇数时，是整数，且满足，存在该项，因此也有常数项.对任意正整数，要么为奇数要么为偶数，总有常数项存在，因此一定有常数项.综上，一定有常数项，没有无理项.6.已知正三棱台的上､下底面的边长分别为2和4，则此三棱台的侧面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】正三棱台上下底面为等边三角形，计算边心距差，结合侧面与底面所成的二面角求出斜高，进而得到三棱台的侧面积.【详解】如图，是上、下底面的中心，，为在上的垂足，棱台的侧面与底面所成的二面角为分别为边长为2和4的等边三角形，，，，所以三棱台的侧面积为.第3页/共17页

7.已知是上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则直线的斜率为（）A.或B.或C.2或-2D.或【答案】D【解析】1的点的个数确定圆心到直线距离，最后结合点到直线距离公式求出直线斜率.【详解】因为是的等差中项，所以，即，由题意可得圆的圆心为，半径，若圆上到直线距离为的点恰好有个，则圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式，圆心到的距离：，又因为，所以，整理得，即，，所以直线的斜率，因此，即.8.已知，且满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用差角的余弦公式及辅助角公式化简，再利用正弦函数性质列出不等式求解.【详解】由，得，则，其中由确定，第4页/共17页

因此，解得，所以的取值范围是.二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.随机变量，则B.随机变量服从两点分布，且，则C.随机变量的分布列为，则D.随机变量满足，且，则【答案】ABD【解析】【分析】根据正态分布、两点分布以及数学期望、概率的性质求解即可.【详解】选项A：随机变量，根据正态分布性质，则，选项A正确；选项B：随机变量服从两点分布，且，则，进而，选项B正确；选项C：随机变量的分布列为，则，解得，选项C错误；选项D：随机变量满足，且，则，进而，选项D正确.10.设的内角的对边分别为，若，且，则（）A.第5页/共17页

B.C.的面积可以是1D.的周长可以是3【答案】BD【解析】【分析】对于A、B选项，由正弦定理结合两角和的正弦定理可求出角C即可；对于C，利用基本不等式可得，结合三角形面积公式可求解；对于D，利用余弦定理可得的最小值，从而得到周长的最小值.【详解】已知，由正弦定理可得，，，，，，即.所以B正确；根据已知条件无法得出，所以A错误；对于C：，又，，当且仅当时等号成立，，所以C错误；对于D：由余弦定理，，即，当且仅当等号成立.此时，，所以的周长范围为.当，即时，，则存在实数解.所以D正确.如图，圆柱被平面所截而得的几何体的截面是椭圆，则将其侧面展开后得到的曲线恰好是函数在一个周期内的图象，则（）第6页/共17页

A.圆柱底面的直径为B.圆柱底面和平面所成角为，则C.椭圆的焦距长为D.椭圆的离心率为【答案】ABD【解析】【分析】当截面椭圆上的点在正弦曲线上移动时，它在底面的投影点在正弦曲线下方的直线上移动，所以底面周长就等于正弦函数的一个周期，可判断A；椭圆的长轴两端对应正弦曲线的波谷和波峰，可得两端的高度差，又因为长轴在底面的投影为底面直径，故可得截面和底面的夹角正切，可判断B；由B选项可得椭圆的长轴，而椭圆的短轴即为底面直径，于是可求出焦距和离心率，可判断C和D.【详解】设圆柱底面直径为，依题意可知圆柱底面周长等于正弦函数的一个周期，即，得，A正确；设截面椭圆的左右端点分别为，当椭圆上的点经过半周从移动到时，它在展开曲线上经过半个周期从波谷移动到波峰，所以的高度差为，而在圆柱底面上的投影即为底面直径，可知，B正确；截面椭圆的短轴即为底面直径，长轴，则椭圆的焦距长，C错误；由前述结论可知，D正确.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共分．12.已知，则__________．第7页/共17页

【答案】【解析】【详解】由，得，所以，所以．13.已知数列满足，且，设，则当时，的值为__________．【答案】4或5##5或4【解析】【详解】因，则由可知数列为等差数列，则或.①当时，，则，解得或；②当时，则，解得或.综上，或.14.已知，从集合中随机取出两个数且，连接原点和两点，则的概率为__________．【答案】【解析】古典概型概率公式计算出结果．【详解】从集合中任取两个不同的数，不考虑顺序时，总共有种取法.第8页/共17页

已知为原点，，设，斜率（其中为直线斜率（其中为直线则.由题，则.不妨设，整理得，式分解得.因，故，所以满足条件的两个数中，一个是另一个的2倍.集合中满足条件的无序数对有，共4对.因此概率.四､解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.甲和乙两个箱子中各装有105个红球､58个红球､2义一轮游戏：掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱随机摸出1个球放入乙箱；如果点数为，从乙箱中随机摸出1个球放入甲箱．（1）求一轮游戏后，甲箱中红球个数多于白球个数的概率；（2）一轮游戏后，设乙箱中白球的个数为，求的分布列及数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析；期望为【解析】1）根据相互独立事件的概率乘法公式分别求出从甲箱，乙箱摸出红球的概率，再根据互斥事件的概率加法公式，即可求解．（2）由题意可得的所有取值为，得到分布列，再根据数学期望公式求解即可.【小问1详解】记事件为一轮游戏中，从甲箱随机摸出1个球放入乙箱，事件为一轮游戏中，从甲箱随机摸出红球放入乙箱，事件为一轮游戏中，从乙箱随机摸出红球放入甲箱，第9页/共17页

则：．记事件为一轮游戏后，甲箱中红球个数多于白球个数，则与互斥，则.【小问2详解】由题意知，，.分布列为123.16.在等差数列中，．（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中位于区间内的项的个数记为，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】1）由题意，根据等差数列基本量的计算，结合等差数列的通项公式即可求解；（2）由题意得，解得，则，结合等比数列前项求和公式计算即可求解.【小问1详解】第10页/共17页

由题意知，，两式相减，得，，代入，得，解得，所以；【小问2详解】对任意，，即，而，故，由题意可知，于是即.17.如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，为的中点．（1）若，证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）根据面面垂直的性质以及相似三角形的性质，结合线面垂直的性质求解即可.第11页/共17页

（2）根据线面角的概念，找到直线与平面所成角，再根据三角形性质求解即可.【小问1详解】取中点，连接交于，连接，是正三角形，是中点，.∵平面平面，平面平面，平面，与中，，.平面平面，.【小问2详解】作于，连.∵平面平面，平面平面，而，平面.又平面，平面平面，平面.到平面的距离即，则直线与平面所成角为，第12页/共17页

∴直线与平面所成角的余弦值的取值范围为.18.已知双曲线的离心率为是双曲线上关于原点对称的两个动点（的斜率为1时，．（1）求双曲线的标准方程；（2）已知为双曲线的右焦点，连接交双曲线于另一点，连接交双曲线于另一点．①求证：直线恒过定点；②记直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，当取最小值时，求直线的方程．【答案】（1）（2）①证明见解析；②【解析】，将曲线方程与直线联立，利用韦达定理，结合弦长公式求解.（2为：理可求得点坐标，再将直线表示出来，化简求解；②由（i）知，，结合正切的两角和公式及基本不等式可求解.【小问1详解】由题意知，，所以，则双曲线为．设直线为，由，得，解得，则，第13页/共17页

故双曲线为．【小问2详解】（i）设为，则为，设直线：，直线：，由，得又式可化简为故，故，代入直线得：所以．同理，则．直线：，整理得，故直线恒过定点．（ii）由（i）知，，当且仅当时，即取等号．故直线为．第14页/共17页

19.已知函数．（1）当时，求函数在上的最小值；（2）若是的导函数的极大值点，求的取值范围；（3）证明：．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】1）利用导数，分析函数的单调性，得到函数的最小值，求解即可.（2）根据极大值点以及的取值范围，分析讨论函数的单调性，结合零点存在定理，求出的取值范围；（3）利用（2）中的结论以及二倍角的正弦公式得到，进而证明即可.【小问1详解】，，令单调递增，且，唯一使得，在递增，在递减，．【小问2详解】令，.第15页/共17页

令，易知，故为奇函数．而．当时，有，又因为，有