初高中数学暑假衔接材料：第02讲 对数（原卷版及解析）

16/16第02讲对数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1对数的概念判断与求值题型2指数式与对数式的互化题型3对数的运算性质的应用题型4运用换底公式化简计算题型5指、对数方程的求解题型6带附加条件的指、对数问题题型7对数的实际应用04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航对数、对数的运算性质换底公式1.理解对数的概念并掌握对数的运算性质；2.了解对数的换底公式；3.能运用对数的运算性质及换底公式进行对数的化简、求值、证明．4.通过理解根式的概念及运算性质，推导有理数指数幂的运算，理解根式的概念及运算学习重点：对数的运算及应用学习难点：对数的运算知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01对数的概念1．对数的定义、性质与对数恒等式(1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)对数的性质：①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数.

②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1).(3)对数与指数的关系：根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N.

用图表示为：2．常用对数与自然对数名称定义符号常用对数以10为底的对数叫做常用对数简记作lgN自然对数以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e

≈2.71828简记作lnN知识点02对数的运算1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有：运算数学表达式自然语言描述积的对数正因数积的对数等于同一底数的各因数的对数的和商的对数两个正数的商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂的对数正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂的底数的对数2．对数的换底公式及其推论(1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=.(2)换底公式的推论：①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

②(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).3．对数运算的常用技巧(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.题型1对数的概念判断与求值【例1】对数loga+35−a中实数a的取值范围是（A．−∞,5 B．−3,5 C．−3,−2∪−2,5 【易错提醒】/【方法总结】【变式1-1】若代数式log8x2−2xA．−∞,−1 B．−1,3C．3,+∞ D．−∞,−1【变式1-2】在b=loga5−aA．a>5或a<0 B．0<C．0<a<1 【变式1-3】有下列说法：①以10为底的对数叫作常用对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以e为底的对数叫作自然对数；④零和负数没有对数.其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型2指数式与对数式的互化【例2】下列指数式与对数式互化不正确的一组是（

）A．e0=1与ln1=0 B．C．log39=2与912=3【易错提醒】/【方法总结】【变式2-1】若m2024=n（m>0且m≠1），则（A．logmn=2024 C．log2024m=n 【变式2-2】已知ax=4，loga3=y，则A．5 B．6 C．7 D．12【变式2-3】将log30.81=x化成指数式可表示为（A．3x=0.81 B．x0.81=3 C．题型3对数的运算性质的应用【例3】计算：log153−logA．－2 B．0 C．1 D．2【易错提醒】/【方法总结】【变式3-1】已知ab≠1,logam=2,logbA．110 B．17 C．710【变式3-2】若log2m+log4n=2A．3 B．4 C．9 D．16【变式3-3】若a>0且a≠1，b>0，c>0，n、m∈N+，n>1，给出下列等式：①logab2−c2=2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型4运用换底公式化简计算【例4】设lg2=a，lg3=b，则A．b−a+1a+2b B．b+a+1a+2b C．b−a+1a−2b【易错提醒】/【方法总结】【变式4-1】若a=log35，5b=6A．1 B．−1 C．2 D．−2【变式4-2】若2x=6，y=log44A．3 B．log23 C．8 【变式4-3】已知m>0，n>0，log33m+log3A．−1或0 B．1 C．−1 D．1或0题型5指、对数方程的求解【例5】若lga，lgb是方程5x2−10x+3=0A．2 B．12 C．100 D．【易错提醒】/【方法总结】【变式5-1】若方程lgx2+lg7+lg5lgx+A．lg7⋅lg5 B．lg35 【变式5-2】设方程lgx2−lgx2−3=0的两实根是aA．1 B．－2C．−103【变式5-3】方程log3x=logA．0个 B．1个 C．2个 D．3个题型6带附加条件的指、对数问题【例6】（1）已知2a=5（2）已知32x=4【易错提醒】/【方法总结】【变式6-1】已知5x=2，5y=3，则A．223 B．324 C．【变式6-2】（1）已知lg2=a，lg3=b，试用a、b表示（2）已知3x=6【变式6-3】已知：2x=3题型7对数的实际应用【例7】星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值m1，m2和它们对应的亮度E1，E2满足关系式A．2等星的亮度是7等星亮度的100倍B．7等星的亮度是2等星亮度的100倍C．2等星的亮度是7等星亮度的10倍D．7等星的亮度是2等星亮度的10倍【易错提醒】/【方法总结】【变式7-1】2025年1月西藏定日发生6.8级地震，已知M（里氏震级）的计算公式为M=lgA−lgA0（其中A是被测地震最大振幅，常数AA．1.8 B．18 C．63 D．128【变式7-2】声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级L来表示声强强度大小，规定声强级L=10lgII0（单位：分贝），其中I0为标准声强.若声强I1是声强I2的150倍，则声强A．14 B．21 C．22 D．23【变式7-3】酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家规定，100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时10A．10 B．14 C．15 D．16一、单选题1．计算22+log2A．7 B．9 C．10 D．202．若代数式log8x2−2x−3有意义，则实数A．−∞,−1 C．3,+∞ D．3．若ab=2a>0,a≠1A．loga2=b C．2a=b 4．已知a=lg3,b=lg5，则用a,b表示A．a+2b B．2ab C．3ab D．3b−a5．计算：log23⋅logA．2 B．4 C．5 D．66．努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（

）天后进步的是落后的200倍A．264 B．266 C．268 D．270二、多选题7．下列指数式与对数式互化正确的一组是（

）A．e0=1与ln1=0 B．C．log39=2与912=38．下列关系表示正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若设，且，则D．若，则9．若实数x>0，y>0，a>0，且a≠1，m≠0，n≠0，则下列各式中，恒成立的是（

）A．ax+y=aC．logamx三、填空题10．若，则的值为.11．已知，则=．12．计算.四、解答题13．求下列各式中x的值．(1)log8(2)log2(3)3log14．已知6m=2，(1)求62m−n(2)用m，n表示log2015．已知正实数满足．(1)①试用以k为底的一个对数表示；②若，求实数m的值；(2)若不等式恒成立，求实数t的最大值．

第02讲对数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1对数的概念判断与求值题型2指数式与对数式的互化题型3对数的运算性质的应用题型4运用换底公式化简计算题型5指、对数方程的求解题型6带附加条件的指、对数问题题型7对数的实际应用04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航对数、对数的运算性质换底公式1.理解对数的概念并掌握对数的运算性质；2.了解对数的换底公式；3.能运用对数的运算性质及换底公式进行对数的化简、求值、证明．4.通过理解根式的概念及运算性质，推导有理数指数幂的运算，理解根式的概念及运算学习重点：对数的运算及应用学习难点：对数的运算知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01对数的概念1．对数的定义、性质与对数恒等式(1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)对数的性质：①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数.

②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1).(3)对数与指数的关系：根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N.

用图表示为：2．常用对数与自然对数名称定义符号常用对数以10为底的对数叫做常用对数简记作lgN自然对数以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e

≈2.71828简记作lnN知识点02对数的运算1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有：运算数学表达式自然语言描述积的对数正因数积的对数等于同一底数的各因数的对数的和商的对数两个正数的商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂的对数正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂的底数的对数2．对数的换底公式及其推论(1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=.(2)换底公式的推论：①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

②(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).3．对数运算的常用技巧(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.题型1对数的概念判断与求值【例1】对数loga+35−a中实数a的取值范围是（A．−∞,5 B．−3,5 C．−3,−2∪−2,5 【答案】C【解题思路】根据对数真数和底数的性质进行求解即可.【解答过程】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数，所以有5−a>0a+3>0故选：C.【易错提醒】/【方法总结】对数的真数大于0，对数的底数大于0且不等于1【变式1-1】若代数式log8x2−2xA．−∞,−1 B．−1,3C．3,+∞ D．−∞,−1【解题思路】由对数的真数大于0列式即可求.【解答过程】由题可得x2−2x−3>0，解得故实数x的取值范围为−∞,−1∪故选：D.【变式1-2】在b=loga5−aA．a>5或a<0 B．0<C．0<a<1 【解题思路】由对数的定义，真数大于0，底数大于0且不等于1，得到关于a的不等式组，求解不等式即可.【解答过程】由对数的定义可知5−a解得0<a<5，且故选：B．【变式1-3】有下列说法：①以10为底的对数叫作常用对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以e为底的对数叫作自然对数；④零和负数没有对数.其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解题思路】根据对数的相关概念和性质，一一判断每个选项，可得答案.【解答过程】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确，只有当a>0且a≠1时，指数式ax故选：C.题型2指数式与对数式的互化【例2】下列指数式与对数式互化不正确的一组是（

）A．e0=1与ln1=0 B．C．log39=2与912=3【解题思路】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案.【解答过程】根据指数式与对数式互化可知：对于选项A：e0=1等价于对于选项B：8−13对于选项C：log39=2等价于对于选项D：log77=1等价于故选：C.【易错提醒】/【方法总结】结合指数式与对数式互化即可【变式2-1】若m2024=n（m>0且m≠1），则（A．logmn=2024 C．log2024m=n 【答案】A【解题思路】根据对数的定义将指数化为对数.【解答过程】因为m2024=n（m>0且m≠1），所以故选：A.【变式2-2】已知ax=4，loga3=y，则A．5 B．6 C．7 D．12【答案】D【解题思路】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案.【解答过程】由loga3=y，得故ax+y故选：D.【变式2-3】将log30.81=x化成指数式可表示为（A．3x=0.81 B．x0.81=3 C．【解题思路】根据对数式的含义，将对数式转化为指数式.【解答过程】把对数式log30.81=x化成指数式，为故选：A．题型3对数的运算性质的应用【例3】计算：log153−logA．－2 B．0 C．1 D．2【答案】B【解题思路】利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值.【解答过程】原式=log故选：B.【易错提醒】/【方法总结】利用对数的运算性质即可求解【变式3-1】已知ab≠1,logam=2,logbA．110 B．17 C．710【解题思路】应用对数运算律结合已知计算求解.【解答过程】因为ab≠1,logam=2,则logm则logab故选：D.【变式3-2】若log2m+log4n=2A．3 B．4 C．9 D．16【解题思路】根据对数的运算性质即可求解.【解答过程】由log2m+log故log4m2故选：D.【变式3-3】若a>0且a≠1，b>0，c>0，n、m∈N+，n>1，给出下列等式：①logab2−c2=2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】利用对数的运算性质判断①②③④即可.【解答过程】因为a>0且a≠1，b>0，c>0，n、m∈N+，对于①，2log对于②，loga对于③，loga对于④，−log故正确的个数为2.故选：B.题型4运用换底公式化简计算【例4】设lg2=a，lg3=b，则A．b−a+1a+2b B．b+a+1a+2b C．b−a+1a−2b【答案】A【解题思路】利用对数换底公式和对数运算性质即可求解.【解答过程】∵lg2=a，log18即log18故选：A.【易错提醒】/【方法总结】利用换底公式将所求的式子换成已知条件的对数式的底再进行计算【变式4-1】若a=log35，5b=6A．1 B．−1 C．2 D．−2【答案】A【解题思路】指数式化为对数式，利用对数运算法则和换底公式进行求解.【解答过程】由5b故ab−=log故选：A.【变式4-2】若2x=6，y=log44A．3 B．log23 C．8 【解题思路】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系及对数换底公式及运算法则计算即得.【解答过程】由2x=6，得x=log所以x+2y=log故选：A.【变式4-3】已知m>0，n>0，log33m+log3A．−1或0 B．1 C．−1 D．1或0【解题思路】由题设等式，利用对数运算性质化简得4m2=n【解答过程】因为log=log39所以由log3得9m2n=即4m2−nm2−又log2故当4m2=n时，log当m2=n时，综上，log2m−log故选：A.题型5指、对数方程的求解【例5】若lga，lgb是方程5x2−10x+3=0A．2 B．12 C．100 D．【答案】C【解题思路】由韦达定理可得：lga+【解答过程】由韦达定理可得：lga+所以lgab=lga+故选：C.【易错提醒】/【方法总结】由韦达定理建立等式，再用对数的运算性质求解【变式5-1】若方程lgx2+lg7+lg5lgx+A．lg7⋅lg5 B．lg35 【答案】D【解题思路】运用一元二次方程根的求法，结合对数性质可解.【解答过程】lgx2+则lgx+lg7=0,解得x=17或x=1故选：D.【变式5-2】设方程lgx2−lgx2−3=0的两实根是aA．1 B．－2C．−103【解题思路】解方程得出lga=3，lg【解答过程】方程lgx2−lgx解得lgx=3或lgx=−1，不妨设lgloga故选：C.【变式5-3】方程log3x=logA．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解题思路】由换底公式变形解对数方程即可.【解答过程】log3x=lnxln所以x=1或x=36，所以方程log3故选：C.题型6带附加条件的指、对数问题【例6】（1）已知2a=5（2）已知32x=4【答案】（1）13【解题思路】先利用指对互化，再利用换底公式化简.【解答过程】（1）由已知，a=log所以1a（2）因为32x=43y=3y=log412所以3x【易错提醒】/【方法总结】将指数式化为对数式，再利用换底公式即可【变式6-1】已知5x=2，5y=3，则A．223 B．324 C．【解题思路】先利用对数与指数的互化求出x,y，再利用对数的运算法则求解即可.【解答过程】因为5x=2，5y=3，所以所以3x−2y2所以53x−2y故选：A.【变式6-2】（1）已知lg2=a，lg3=b，试用a、b表示（2）已知3x=6【解题思路】（1）利用换底公式和对数的运算性质可得结果；（2）由指数式和对数式的互化得出x=log32【解答过程】（1）log2（2）因为3x=6y=2，则x=log3所以，2x【变式6-3】已知：2x=3【答案】证明见详解【解题思路】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明.【解答过程】设2x=3则x=log2a,y=所以2x题型7对数的实际应用【例7】星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值m1，m2和它们对应的亮度E1，E2满足关系式A．2等星的亮度是7等星亮度的100倍B．7等星的亮度是2等星亮度的100倍C．2等星的亮度是7等星亮度的10倍D．7等星的亮度是2等星亮度的10倍【解题思路】设2等星的亮度是x，7等星亮度是y，由题中所给信息结合对数运算性质可得答案.【解答过程】设2等星的亮度是x，7等星亮度是y，则7−2=−2.5lg故选：A.【易错提醒】/【方法总结】将对数式化为指数式即可【变式7-1】2025年1月西藏定日发生6.8级地震，已知M（里氏震级）的计算公式为M=lgA−lgA0（其中A是被测地震最大振幅，常数AA．1.8 B．18 C．63 D．128【答案】C【解题思路】根据题意可得A=A0⋅10M【解答过程】由M=lgA−lgA0当M=6.8时，地震最大振幅为A1当M=5时，地震最大振幅为A2则A1故选：C.【变式7-2】声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级L来表示声强强度大小，规定声强级L=10lgII0（单位：分贝），其中I0为标准声强.若声强I1是声强I2的150倍，则声强A．14 B．21 C．22 D．23【解题思路】求出声强对应的声强级，再结合对数性质和公式运算即可.【解答过程】设声强I1的声强级为L1，声强I2则L1−L则L1故选：C.【变式7-3】酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家规定，100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时10A．10 B．14 C．15 D．16【答案】D【解题思路】由题设列不等式1001−10【解答过程】由题可得经过t个小时后驾驶员血液中酒精含量为1001−10则令1001−10%t所以tlg0.9<lg所以该驾驶员至少经过16个小时才能驾驶.故选：D.一、单选题1．计算22+log2A．7 B．9 C．10 D．20【解题思路】利用指数运算及对数的定义计算得解.【解答过程】22+故选：D.2．若代数式log8x2−2x−3有意义，则实数A．−∞,−1 C．3,+∞ D．【解题思路】由对数的真数大于0列式即可求.【解答过程】由题可得x2−2x−3>0，解得x<−1或故实数x的取值范围为−∞故选：D.3．若ab=2a>0,a≠1A．loga2=b C．2a=b 【解题思路】利用指数式与对数式的互化直接判断即可.【解答过程】当a>0,a≠1时，由ab=2及对数定义得故选：A.4．已知a=lg3,b=lg5，则用a,b表示A．a+2b B．2ab C．3ab D．3b−a【解题思路】根据对数的运算律，可得答案.【解答过程】因为a=lg3,b=lg故选：A.5．计算：log23⋅logA．2 B．4 C．5 D．6【解题思路】由对数的运算公式及换底公式，计算即可.【解答过程】log2故选：D.6．努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（

）天后进步的是落后的200倍A．264 B．266 C．268 D．270【答案】A【分析】设天后进步的是落后的200倍，则，利用指对数运算求解即可.【