初高中数学暑假衔接材料：第04讲 函数的奇偶性（原卷版及解析）

12/13第04讲函数的奇偶性内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1判断函数的奇偶性题型2由函数奇偶性求函数值、解析式题型3由奇偶性求参数题型4函数奇偶性的应用题型5由函数奇偶性解不等式题型6函数的单调性和奇偶性、对称性的综合应用04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航函数的奇偶性1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题.3.了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件.4.通过本节内容的学习，让学生结合实例，利用图象抽象出函数性质，提升学生的直观想象和逻辑推理素养；通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升学生的逻辑推理素养；通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升学生的直观想象和数学抽象素养.学习重点：函数奇偶性的概念与判断；学习难点：利用函数的奇偶性解决问题知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01函数的奇偶性1．函数的奇偶性(1)定义：定义偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数.奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数.非奇非

偶函数既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数.定义域

特征定义域必须是关于原点对称的区间.等价

形式设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，-x∈I，且

f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，-x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立.(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.(3)奇、偶函数图象对称性的应用①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.2．函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.3．函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.知识点02函数的图像1．函数图象的对称性(1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数.(2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数.2．函数图象的识别、判断(1)排除法：利用特殊点的值来排除；(2)利用函数的奇偶性、单调性来判断.3．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.题型1判断函数的奇偶性【例1】(1)fx(2)fx(3)fx(4)fx(5)fx【易错提醒】/【方法总结】【变式1-1】下列函数既是奇函数又在区间0,+∞上递增的是（

）A．y=-x B．y=-x2 【变式1-2】已知函数fx=1x，A．fx+gx是奇函数 C．fxgx是奇函数 【变式1-3】设函数f(x)=A．f(x+1)+1 B．f(x+1)-1题型2由函数奇偶性求函数值、解析式【例2】已知y=fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=x2−2x，则在A．−xx−2 B．xx−2 C．xx【易错提醒】/【方法总结】【变式2-1】已知fx为R上的奇函数，当x>0时，fx=x3+2x+1，则A．fx=−xC．fx=x【变式2-2】设fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=2x2A．−2 B．1 C．−1 D．−3【变式2-3】若奇函数fx和偶函数gx满足fx+gxA．1 B．2 C．3 D．4题型3由奇偶性求参数【例3】若函数是上的偶函数，则的值为.【易错提醒】/【方法总结】【变式3-1】若函数是定义在上的偶函数，则（

）A．6 B．5 C．4 D．3【变式3-2】函数是定义在上的奇函数．若，则的值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【变式3-3】已知函数为偶函数，则．题型4函数奇偶性的应用【例4】设偶函数fx的定义域为R，当x∈0,+∞时，fx是增函数，则f−7，A．fπ>f−3C．fπ<f−3【易错提醒】/【方法总结】【变式4-1】设偶函数fx在区间−∞,−1A．f−32C．f2<f−1【变式4-2】函数的图象大致是（）A． B．C． D．【变式4-3】函数fx的大致图象如图所示，则fx可能是（

A．fx=1C．fx=x题型5由函数奇偶性解不等式【例5】已知偶函数fx的定义域为R，对于任意x1,x2∈0,+∞(x1≠A．2，+∞ B．1,2 C．−∞,1【易错提醒】/【方法总结】【变式5-1】定义在R上的奇函数fx，在−∞,0上单调递增，且f2=0，则满足xfA．−2,0∪2,4 C．−2,2∪5,+∞【变式5-2】设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0．若f(x)在(0,+∞)上单调递减，则不等式(x−1)f(x)>0的解集是（A．(−∞,−2)∪(1,2) C．(−2,0)∪(0,2) D．(−2,0)∪(2,+【变式5-3】已知fx为R上的奇函数，f2=2，若∀x1,x2∈A．−∞,0∪4,+∞B．−∞,0题型6函数的单调性和奇偶性、对称性的综合应用【例6】已知函数fx的定义域为R，fx+4为偶函数，f−x+2为奇函数，且fA．fB．x=4为函数fxC．函数fx在4,8D．f1【易错提醒】/【方法总结】【变式6-1】已知y=fx奇函数，fx=f2−x恒成立，且当0≤x≤1时，fx=x，设A．gB．函数y=gxC．函数y=gxD．函数y=gx在区间2022,2023【变式6-2】已知函数fx的定义域为R，fx+y=fA．f0=0 B．函数C．若f2=2，则f2024=−2 D．函数【变式6-3】已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有．(1)求函数的解析式；(2)解不等式．一、单选题1．下列函数中为偶函数的是（

）A． B．C． D．2．若，函数为上的奇函数，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件3．已知函数，若，则（

）A．0 B．2 C．4 D．64．若函数是定义在上的偶函数，则（

）A． B． C． D．25．函数，经过点，则关于的不等式解集为（

）A． B．C． D．6．定义在R上的奇函数fx，在−∞,0上单调递增，且f2=0，则满足xfA．−2,0∪2,4C．−2,2∪5,+二、多选题7．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（

）A． B．C． D．8．已知定义在上的函数满足fx−1为奇函数且，以下说法一定正确的是（

）A．B．，都有，且C．D．9．已知函数，下列结论正确的是（

）A．的图象关于轴对称 B．在上单调递减C．当时， D．的值域是三、填空题10．设fx=−x311．若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是_____________四、解答题12．已知函数，且其定义域为．(1)判定函数的奇偶性；(2)利用单调性的定义证明：在上单调递减；(3)解不等式．13．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象．(1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间；(2)写出函数的解析式；(3)若函数，求函数的最小值．14.已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且.(1)求，的值；(2)用函数单调性的定义证明在上单调递增；(3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围.

第04讲函数的奇偶性内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1判断函数的奇偶性题型2由函数奇偶性求函数值、解析式题型3由奇偶性求参数题型4函数奇偶性的应用题型5由函数奇偶性解不等式题型6函数的单调性和奇偶性、对称性的综合应用04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航函数的奇偶性1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题.3.了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件.4.通过本节内容的学习，让学生结合实例，利用图象抽象出函数性质，提升学生的直观想象和逻辑推理素养；通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升学生的逻辑推理素养；通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升学生的直观想象和数学抽象素养.学习重点：函数奇偶性的概念与判断；学习难点：利用函数的奇偶性解决问题知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01函数的奇偶性1．函数的奇偶性(1)定义：定义偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数.奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数.非奇非

偶函数既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数.定义域

特征定义域必须是关于原点对称的区间.等价

形式设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，-x∈I，且

f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，-x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立.(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.(3)奇、偶函数图象对称性的应用①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.2．函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.3．函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.知识点02函数的图像1．函数图象的对称性(1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数.(2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数.2．函数图象的识别、判断(1)排除法：利用特殊点的值来排除；(2)利用函数的奇偶性、单调性来判断.3．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.题型1判断函数的奇偶性【例1】(1)fx(2)fx(3)fx(4)fx(5)fx【答案】(1)偶函数；(2)奇函数；(3)奇函数；(4)非奇非偶函数；(5)既是奇函数又是偶函数【分析】（1）（2）（3）（4）（5）求得定义域，利用奇偶性的定义判断即可；.【解析】（1）因为f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(−所以f(x)为偶函数．（2）因为f(x)的定义域为(−又f(−所以f(x)为奇函数．（3）由题设得：1−x2≥0|x+2|且x+2>0，所以|x+2|=x+2，所以f(x)=1所以f(−所以f(x)是奇函数．（4）非奇非偶函数，理由如下：由x−1≥01−x≥0解得x≥1则f(x)=x（5）既是奇函数又是偶函数，理由如下：由1−x2≥0x因为对定义域内的每一个x，都有fx=0，所以f−所以fx【易错提醒】/【方法总结】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.注：判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功．【变式1-1】下列函数既是奇函数又在区间0,+∞上递增的是（

）A．y=-x B．y=-x2 【解题思路】根据常见函数的奇偶性、单调性判断各选项即可.【解答过程】对于A，函数y=-x定义域为R，奇函数，在对于B，函数y=-x2定义域为R对于C，函数y=-1x定义域为x对于D，函数y=1x定义域为x故选：C.【变式1-2】已知函数fx=1x，A．fx+gx是奇函数 C．fxgx是奇函数 【解题思路】根据奇偶性的概念分别判断函数fx【解答过程】函数fx=1x的定义域为−∞函数gx=x的定义域为R，所以g所以f−xf−xf−xg−xfg−x=f故选：C.【变式1-3】设函数f(x)=A．f(x+1)+1 B．f(x+1)-1【解题思路】分离常数可得f(【解答过程】易知f(显然f(x)=-1+而y=2x即向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得奇函数，即f(故选：C.题型2由函数奇偶性求函数值、解析式【例2】已知y=fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=x2−2x，则在A．−xx−2 B．xx−2 C．xx【答案】C【解题思路】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可.【解答过程】当x<0时，−x>0，即有f−x再由y=fx是定义在R上的奇函数，所以f即有fx所以当x<0时，fx当x≥0时，fx综上可得：fx故选：C.【易错提醒】/【方法总结】由函数的奇偶性求函数值：若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值由函数的奇偶性求函数值解析式：抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式【变式2-1】已知fx为R上的奇函数，当x>0时，fx=x3+2x+1，则A．fx=−xC．fx=x【解题思路】利用奇函数的定义计算即可.【解答过程】因为fx为R上的奇函数，当x>0时f因为x<0，所以−x>0，f所以fx故选：C.【变式2-2】设fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=2x2A．−2 B．1 C．−1 D．−3【解题思路】根据奇函数的定义可得f−1=−f1【解答过程】因为fx是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f所以f−1故选：D.【变式2-3】若奇函数fx和偶函数gx满足fx+gxA．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】利用奇函数和偶函数的性质可得出关于fx、gx的方程组，解出这两个函数的解析式，代值计算可得出【解答过程】因为奇函数fx和偶函数gx满足则f−x即fx+gx因此，f1故选：C.题型3由奇偶性求参数【例3】若函数是上的偶函数，则的值为.【答案】【分析】根据偶函数的定义域的对称性得到a的值，进一步根据偶函数的定义和函数的解析式得到b的值，即得.【解析】函数是定义在上的偶函数，，即．，，，∴,故答案为：.【易错提醒】/【方法总结】由函数的奇偶性求参数：若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数【变式3-1】若函数是定义在上的偶函数，则（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【解析】函数是定义在上的偶函数，，即．，，，∴,∴,故选：B【变式3-2】函数是定义在上的奇函数．若，则的值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】由奇函数的定义域可得的值，再由解出，进而求出答案．【解析】函数是定义在上的奇函数，则，解得．又，则，所以．故选：A【变式3-3】已知函数为偶函数，则．【答案】【分析】令时，则，由偶函数的定义可得出，可得出、的值，进而可得出的值.【解析】因为函数为偶函数，当时，，此时，，所以，，，故.故答案为：.题型4函数奇偶性的应用【例4】设偶函数fx的定义域为R，当x∈0,+∞时，fx是增函数，则f−7，A．fπ>f−3C．fπ<f−3【答案】A【解题思路】根据偶函数的性质，结合单调性即可求解.【解答过程】由于fx为偶函数，故f−7由于x∈0,+∞时，fx故fπ故选：A.【易错提醒】/【方法总结】1.若f(x)是偶函数，则f(x)=f(|x|)2.若f(x)是奇函数且定义域内含有0，则f(0)=0，奇函数的图像关于原点对称。【变式4-1】设偶函数fx在区间−∞,−1A．f−32C．f2<f−1【解题思路】根据偶函数的性质得到f2【解答过程】因为fx为偶函数，所以f又fx在区间−∞,−1上单调递增，−2<−则f2故选：B.【变式4-2】函数的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】令且定义域为R，，即为奇函数，排除C、D；当时，恒成立，排除B.故选：A因为π−2>2−3，所以故f0<fπ故选：D.【变式4-3】函数fx的大致图象如图所示，则fx可能是（

A．fx=1C．fx=x【答案】C【分析】根据图象分析fx【解析】由图象可知，fx为奇函数且定义域为x对于A：定义域为xx≠±1关于原点对称，f对于B：定义域为xx≠1对于C：定义域为xx≠±1关于原点对称，f对于D：定义域为xx≠±2故选：C.题型5由函数奇偶性解不等式【例5】已知偶函数fx的定义域为R，对于任意x1,x2∈0,+∞(x1≠A．2，+∞ B．1,2 C．−∞,1【解题思路】由题意可得在0,+∞单调递减，又函数fx所以不等式f2x−3>0等价于f2x−3【解答过程】因为fx的定义域为R，且对于任意x1,x2所以fx在0,+又函数fx为偶函数，且由f2x−3>0，得f2x−3所以2x−3<1即−1<2x−3<1，解得：1<x<2，所以实数x的取值范围是：1,2，故选：B.【易错提醒】/【方法总结】若f(x)是偶函数，则f(x)=f(|x|)，解抽象函数不等式问题是将不等式两边化为两函数值的形式再利用单调性脱掉符号即可构造不等式【变式5-1】定义在R上的奇函数fx，在−∞,0上单调递增，且f2=0，则满足xfA．−2,0∪2,4 C．−2,2∪5,+∞【解题思路】根据题意得到f(0)，f(−2)的值与f(x)的单调性，再分类讨论x=0，x=2，x>2，0<x<2与x<0五种情况，结合f(x)的性质即可得解.【解答过程】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，在区间(−∞,0)上单调递增，且所以f(0)=0，f(−2)=−f2=0，f(x)在当x=0时，xfx−2当x=2时，xfx−2当x>2，即x−2>0时，fx−2≥0=f2，即有x−2≥2当0<x<2时，x−2<0，fx−2≥0=f−2，可得x−2≥−2当x<0时，x−2<0，fx−2≤0=f−2，可得x−2≤−2综上，x≤2或x≥4，即x的取值范围是−∞故选：B.【变式5-2】设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0．若f(x)在(0,+∞)上单调递减，则不等式(x−1)f(x)>0的解集是（A．(−∞,−2)∪(1,2) C．(−2,0)∪(0,2) D．(−2,0)∪(2,+【答案】B【解题思路】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可.【解答过程】由题意可知f(x)>0的解集是(−f(x)<0的解集是(−2,0)∪(2,+∞因为不等式(x−1)f(x)>0等价于不等式组x−1>0,f(x)>0或所以不等式(x−1)f(x)>0的解集是(−2,0)∪(1,2)．故选：B.【变式5-3】已知fx为R上的奇函数，f2=2，若∀x1,x2∈A．−∞,0∪4,+∞B．−∞,0【答案】D【解题思路】设gx=xfx，由题意得到gx为偶函数且在0,+∞上单调递增，由2f2=g【解答过程】设gx=xfx，由∀x则gx在0,+∞上单调递增，∵fxg故gx而gx−2则−2<x−2<2，解得：0<x<4，故选：D.题型6函数的单调性和奇偶性、对称性的综合应用【例6】已知函数fx的定义域为R，fx+4为偶函数，f−x+2为奇函数，且fA．fB．x=4为函数fxC．函数fx在4,8D．f1【答案】D【解题思路】由f−x+2为奇函数可得f−x+2+fx+2=0，取x=0，即可判断A；由fx+4为偶函数可得fx+4=f−x+4【解答过程】A选项，因f−x+2为奇函数，则f令x=0，得2f2=0，可得B选项，因fx+4为偶函数，则f即x=4为函数fxC选项，由f−x+2+fx+2=0，得又fx在0,2上单调递增，则f所以fx在0,4又由B选项可知函数fx在4,8D选项，由B选项，fx+4=f−x+4，令x=−3故选：D．【易错提醒】/【方法总结】抽象函数的奇偶性要抓住函数奇偶性的定义去判断【变式6-1】已知y=fx奇函数，fx=f2−x恒成立，且当0≤x≤1时，fx=x，设A．gB．函数y=gxC．函数y=gxD．函数y=gx在区间2022,2023【答案】D【解题思路】推导出函数fx是周期函数，可推导出函数gx为周期函数，结合周期性可判断AB选项；利用函数的对称性可判断C选项；求出函数y=gx【解答过程】因为函数y=fx为奇函数，f则fx=−fx−2故函数fx是周期为4对于A选项，gx+4所以，函数gx是周期为4则g2022当当0≤x≤1时，fx=x，则f3所以，g2022对于B选项，由A选项可知，B对；对于C选项，因为g=fx+1所以，函数gx的图象关于直线x=又因为g−1−x所以，gx+g−x−1=0，故函数因此，函数y=gx对于D选项，当2022<x<2023时，2023<x+1<2024，0<x−2022<1，0<2023−x<1，则fxfx+1此时，gx所以，函数gx在区间2022,2023故选：D.【变式6-2】已知函数fx的定义域为R，fx+y=fA．f0=0 B．函数C．若f2=2，则f2024=−2 D．函数【解题思路】对A，赋值法令x=y=0求解；对B，赋值法结合奇函数的定义判断；对C，令y=2求得函数的周期求解；对D，利用单调性定义结合赋值法求解判断.【解答过程】对于A，令x=y=0，可得f0=f0对于B，令y=−x，可得f0=fx则f−x−2=−fx对于C，令y=2，得fx+2=fx+f2对于D，令x=x1，y=x2−即fx2−fx1故选：B.【变式6-3】已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有．(1)求函数的解析式；(2)解不等式．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得，因为，所以，所以，所以当时，，当时，，则，综上所述，．（2）任取，且，则，因为，所以，所以，即，故在上为增函数；因为函数是定义在上的奇函数，所以，又由在上为增函数，所以，解得，故原不等式的解集为．一、单选题1．下列函数中为偶函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，函数的定义域为，关于数0不对称，是非奇非偶函数，A不是；对于B，函数的定义域为，是奇函数，B不是；对于C，函数的定义域为，，是偶函数，C是；对于D，函数的定义域为，是奇函数，D不是.故选：C2．若，函数为上的奇函数，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【答案】D【解析】若函数为上的奇函数，则，解得或，当时，，因为，，所以，即函数不是奇函数；当时，，该函数的定义域为，，即函数为奇函数.故当函数为上的奇函数时，，因此，是的充要条件.故选：D.3．已知函数，若，则（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】D【解析】令，，所以为奇函数，所以，所以，所以，所以．故选：D.4．若函数是定义在上的偶函数，则（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以且，则，所以，则.故选：D．5．函数，经过点，则关于的不等式解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由函数的图象经过点，得，则，所以函数在上单调递减，在0,+∞上单调递减，所以在R上单调递减，又，即函数是奇函数，不等式，则，即，解得，所以原不等式的解集为.故选：B.6．定义在R上的奇函数fx，在−∞,0上单调递增，且f2=0，则满足xfA．−2,0∪2,4C．−2,2∪5,+【答案】B【分析】根据题意得到f(0)，f(−2)的值与f(x)的单调性，再分类讨论x=0，x=2，x>2，0<x<2与x<0五种情况，结合f(x)的性质即可得解.【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，在区间(−∞,0)所以f(0)=0，f(−2)=−f2当x=0时，xfx当x=2时，xfx当x>2，即x−2>0时，fx−2当0<x<2时，x−2<0，fx−2当x<0时，x−2<0，fx−2综上，x≤2或x≥4，即x的取值范围是−∞故选：B.二、多选题7．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】对于A